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2026-03-13T18:30:16Z

Höhere Ableitungen: Lesbarkeit

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{{Dieser Artikel|behandelt die implizite Ableitung in der Mathematik. Zur Derivation ohne Ableitungsmorphem in der Linguistik siehe [[Derivation (Linguistik)#Implizite Derivation]].}}
Die '''implizite Differentiation''' (auch ''implizite Ableitung'') ist eine Möglichkeit, eine Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist (auch [[Implizite Kurve | ''implizite Kurve'']]), mit Hilfe der mehrdimensionalen [[Differentialrechnung]] abzuleiten.<ref>Gerhard Marinell: ''Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler.'' 7. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2001, ISBN 3-486-25567-3, S. 135–136 ({{Google Buch |BuchID=qxxz_BD09Z0C |Seite=135}}).</ref> Sie kann oft auch benutzt werden, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu bestimmen.

== Regel ==
Erfüllt die differenzierbare Funktion <math>f \colon \R \to \R</math> die Gleichung
:<math> F(x,f(x)) = 0 </math>,
wobei auch <math>F\colon \R^2 \to \R, \ F\colon (x,y) \mapsto F(x,y)</math>, eine differenzierbare [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ist, so bedeutet das, dass die Funktion <math>x \mapsto F(x,f(x))</math> konstant (nämlich die Nullfunktion) ist. Ihre [[Differentialrechnung|Ableitung]] ist dementsprechend auch konstant null. Mit Hilfe der [[Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] erhält man dann
:<math> 0 = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} F(x, f(x)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \, f' = F_x + F_y\,f'\,. </math>
Hierbei sind <math>F_x = \tfrac{\partial F}{\partial x }</math> und <math> F_y = \tfrac{\partial F}{\partial y}</math> die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] von <math>F</math>. Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente <math>(x,f(x))</math> weggelassen.

Gilt <math>F_y(x_0,f(x_0)) \neq 0</math> an einer Stelle <math>x_0</math>, so gilt dies auch für alle <math>x</math> in einer Umgebung von <math>x_0</math> und man kann die Gleichung nach <math>\,f'</math> auflösen:
:<math> f' = -\frac{F_x}{F_y}</math>
bzw. ausführlich
:<math> f'(x) = -\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}\,.</math>

=== Höhere Ableitungen ===
Durch Anwendung der [[Produktregel|Produkt- ]] und [[Kettenregel]] können auch höhere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden.
So ergibt sich die zweite Ableitung <math>f''</math> zu:
:<math>f''(x) = -\frac{F_{xx}F_y^2+F_{yy}F_x^2-2F_{xy}F_xF_y}{F_y^3}</math>
mit <math>F_{xx} = \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}</math>, <math>F_{yy} = \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}</math>, <math>F_{xy} = \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}</math>.<ref>Jörg Feldvoss, Höhere Ableitungen impliziter Funktionen, 2000: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/feldvoss/impldiff.pdf</ref>

== Beispiele ==

=== Beispiel 1 ===
Gesucht ist die Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math> des natürlichen Logarithmus <math>\ln(x)</math>. Man kann diesen auch implizit darstellen

:<math>f(x) = \ln(x) \Leftrightarrow e^{f(x)} - x = 0 </math>,

danach die Gleichung ableiten

:<math>e^{f(x)} \cdot f'(x) - 1 = 0 </math>,

wieder <math>f(x) = \ln(x) </math> setzen

:<math>x \cdot f'(x) - 1 = 0 </math>

und umstellen

:<math>f'(x) = \frac{1}{x} </math>.

=== Beispiel 2 ===
Die Funktion <math>f(x) = x^x</math>, <math>x > 0</math>, kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] variabel sind.
Zunächst kann man durch [[Logarithmus|Logarithmieren]] den Exponenten eliminieren:

:<math>\ln f(x) = x \ln x</math>.

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach <math>x</math> ableitet:

:<math> \frac{\mathrm d }{\mathrm d x } (\ln f(x))= \frac{\mathrm d }{\mathrm d x}(x \ln x) </math>

Die linke Seite kann mit der [[Kettenregel]], die rechte mit der [[Produktregel]] und der Regel für die Ableitung des Logarithmus berechnet werden:
:<math> \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \ln x + x \frac{1}{x} </math>

Löst man nach <math>f'(x)</math> auf und setzt <math>f(x) = x^x</math> ein, so erhält man als Lösung:

:<math> f'(x) = f(x) \,(\ln x + 1) = x^x\left( \ln x + 1\right) </math>.

=== Beispiel 3 ===
Der Kreis mit Mittelpunkt <math>(0,0)</math> und Radius <math>r</math> ist in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] gegeben durch die Gleichung <math>x^2 + y^2 = r^2</math>. Teile davon kann man als Graph einer Funktion <math>y = f(x)</math> schreiben. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man <math>y= f(x)</math> ein:
: <math>x^2 + f(x)^2 = r^2</math>
Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man
:<math> 2\,x + 2\, f(x)\,f'(x) = 0\,.</math>
Für <math>f(x) \neq 0</math> ergibt Auflösen nach <math>f'(x)</math>
:<math>f'(x) = - \frac{x}{f(x)} = -\frac{x}{y}\,.</math>

Daraus folgt, dass die [[Tangente]] an den Kreis im Punkt <math>(x,y)</math> mit <math>y \neq 0</math> die Steigung <math>-\frac{x}{y}</math> hat.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Implizite Differentiation - Versionsgeschichte

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