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2024-03-21T01:30:33Z

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[[Datei:Cubic with double point.svg|thumb|right|Eine nicht injektive Immersion: '''R''' → '''R'''2, ''t'' ↦ (''t''2 − 1, ''t'' · (''t''2 − 1))]]
In der [[Differentialtopologie]] versteht man unter einer '''Immersion''' eine [[glatte Abbildung]] <math>F\colon M\rightarrow N</math> zwischen [[Mannigfaltigkeit]]en <math>M</math> und <math>N</math>, wenn der [[Pushforward]] <math>F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N</math> dieser Abbildung an jedem Punkt <math>p\in M</math> [[Injektivität|injektiv]] ist. Ist darüber hinaus <math>F</math> eine [[Einbettung (Mathematik)#Topologie|topologische Einbettung]], so spricht man von einer [[Einbettung (Mathematik)#Differentialgeometrie|(glatten) Einbettung]]. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu <math>M</math> diffeomorphe [[Untermannigfaltigkeit]] von <math>N.</math>

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag [[Immersierte Mannigfaltigkeit]] beschrieben.

== Immersion im euklidischen Raum ==

Liegt der Spezialfall <math>F:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n</math> einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt <math>F_\ast: T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n</math> nichts anderes als die [[totale Ableitung]] bzw. die [[Jacobi-Matrix]] <math>DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n</math> dar, wobei der [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] in natürlicher Weise mit seinem [[Tangentialraum]] und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

== Immersion in Mannigfaltigkeiten ==

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung <math>F:M\rightarrow N</math> genau dann eine Immersion, wenn für alle <math>p\in M</math> der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der linearen Abbildung <math>F_\ast</math> gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist, also gilt
:<math>\operatorname{rang} F_p = \dim(\operatorname{Bild}(F_{\ast p})) = \dim M.</math>

== Reguläre Homotopie ==
Zwei Immersionen <math>F_0,F_1\colon M\to N</math> heißen '''regulär homotop''', wenn es eine [[Homotopie]] <math>F\colon M\times[0,1]\to N</math> gibt mit <math>F(m,0)=F_0(m)</math> und <math>F(m,1)=F_1(m)</math> für alle <math>m\in M</math>, so dass für jedes <math>t\in\left[0,1\right]</math> die Abbildung
:<math>F_t\colon \left\{\begin{aligned}
M&\to N\\
m &\mapsto F(m, t)\end{aligned}\right.</math>
wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die [[Hirsch-Smale-Theorie]].

== Siehe auch ==
* [[Submersion]]

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
 

[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Immersion (Mathematik) - Versionsgeschichte

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