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2025-12-07T14:37:08Z

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{{Infobox Polyeder
|Name=Ikosaederstumpf
|Bild=Truncatedicosahedron.svg
|Bildtext=3D-Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders ([[:Datei:Truncatedicosahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 32
|Flächentyp= 12 × [[Datei:Polig 05.svg|22px]] 20 × [[Datei:Polig 06.svg|20px]]
|Ecken= 60
|Eckentyp= 60 × {5.6.6}
|Kanten= 90
|Symmetriegruppe= [[Ikosaedergruppe]] <math>I_h</math>
|Schläfli= t{3,5}
|Dual= [[Pentakisdodekaeder]]
|Netz=Ikosaederstumpfnetz.svg
|Netztext=[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Ikosaederstumpfs
}}
Der '''Ikosaederstumpf''' (auch '''abgestumpftes Ikosaeder''' oder '''Fußballkörper''') ist ein [[Polyeder]] ''(Vielflächner),'' das durch Abstumpfung der Ecken eines [[Ikosaeder]]s entsteht und zu den dreizehn [[Archimedische Körper|archimedischen Körpern]] zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige [[Fünfeck]]e; die 20 [[Dreieck]]e des Ikosaeders werden zu regelmäßigen [[Sechseck]]en. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.

Die Bezeichnung als Fußballkörper geht auf die Verwendung eines aus Fünf- und Sechsecken zusammengenähten und dann zur Kugel aufgeblasenen Ikosaederstumpfs zur Herstellung eines [[Fußball (Sportgerät)|Fußball]]s zurück.

Der zum Ikosaederstumpf [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist das [[Pentakisdodekaeder]].

Das mit Abstand am besten untersuchte [[Fullerene|Fullerenmolekül]] C60 besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes.
[[Datei:Comparison of truncated icosahedron and soccer ball.png|mini|[[Fußball (Sportgerät)|Fußball]]: Projektion der Flächen eines Ikosaederstumpfes auf die [[Kugel#Differenzierung zwischen Kugelfläche und Kugelkörper|Kugeloberfläche]]]]
[[Datei:Piero della Francesca - Libellus de quinque corporibus regularibus - p52b (cropped).jpg|mini|Das erste bekannte Bild eines Ikosaederstumpfs stammt aus [[Piero della Francesca]]s Buch ''Libellus de quinque corporibus regularibus'' (ca. 1460).]]

== Kartesische Koordinaten ==

Die geraden [[Permutation]]en von
:<math>\left( 0, \pm 1, \pm 3 \Phi \right),</math>
:<math>\left( \pm 2, \pm (1 + 2 \Phi), \pm \Phi \right),</math>
:<math>\left( \pm 1, \pm (2 + \Phi), \pm 2 \Phi \right)</math>
ergeben die Ecken eines Ikosaederstumpfs mit Mittelpunkt im Ursprung, Umkugelradius <math>\sqrt{9 \Phi + 10}</math> und Kantenlänge 2.

Dabei ist <math>\Phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}2</math> das Verhältnis des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]].

== Formeln ==
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines regelmäßigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlänge <math>a</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{a^3}{4} \left(125 + 43 \sqrt{5} \right) \approx a^3 \cdot 55{,}288</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_\text{O} = 3 a^2 \left(10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} \right) \approx a^2 \cdot 72{,}607</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
| <math>r_u = \frac{a}{4} \sqrt{58 + 18 \sqrt{5}} \, \approx \, a \cdot 2{,}478</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Inkugel]]radius  ([[Fünfeck|Pentagon]])'''
| <math>r_{i,5} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{125 + 41 \sqrt{5}}{10}} \approx \, a \cdot 2{,}327</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Inkugelradius  ([[Sechseck|Hexagon]])'''
| <math>r_{i,6} = \frac{a}{4} \sqrt{3} \left(3 + \sqrt{5} \right) \approx \, a \cdot 2{,}267</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r_k = \frac{3}{4} a \left(1 + \sqrt{5} \right) \approx \, a \cdot 2{,}427</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Flächenwinkel]]  (Hexagon–Hexagon)  ≈ 138° 11′ 23″'''
| <math>\beta_1=2\arctan \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\approx 138{,}19^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel  (Hexagon–Pentagon)  ≈ 142° 37′ 21″'''
| <math>\beta_2 =90^\circ+\arctan\left(\frac{3+\sqrt{5}}{4}\right)\approx 142{,}62^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken[[raumwinkel]]  ≈ 1,3524 π'''
| <math>\Omega = \pi+ 2\arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\approx 4{,}24874\;\mathrm{sr} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,96662'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {180\,\pi \left(2487 + 1075 \sqrt{5}\right)}} {6 \left(10 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}\right)} </math>
|}

== Herleitung der Formeln ==
[[Datei:Anim troncature icosaèdre rotated.gif|mini|Ein Ikosaeder wird zu einem Ikosaederstumpf.]]
[[Datei:Truncated Platonic solid like a ball.svg|mini|Entstehung eines Ikosaederstumpfes durch Beschneiden eines Ikosaeders (jede Kante wird um 2/3 gekürzt)]]
[[Datei:Truncated icosahedron.png|mini|Ein Ikosaederstumpf besteht aus 20 Sechs- und 12 Fünfecken.]]
[[Datei:Ikosaeder-st-0-0.svg|mini|hochkant=1.2|Zur Berechnung von Eigenschaften, oben Ikosaeder, lila: Sechseck, rot: Fünfeck]]
[[Datei:Truncated icosahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Ikosaederstumpfs]]Der Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet <math>a_0</math> die Länge der Kante des Ikosaeders und <math> a</math> die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt
:<math>a_0=3\,a</math>

=== Winkel ===
Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel <math>\varphi,\psi</math> wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)
:<math>\tan\psi=\frac{c-a}{c}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\to
\psi\approx 20{,}9^\circ</math>
und damit gilt: Der
* ''Winkel'' zwischen zwei Sechsecken ist
:<math>\ \beta_1=180^\circ-2\psi=180^\circ-2 \,\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)</math>
:<math>\quad\approx 138{,}19^\circ</math>
Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel <math>\varphi</math> wichtig. Es gilt (siehe Bild)
:<math>\tan\varphi=\frac{a_0}{c}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\ \to \varphi\approx 31{,}72^\circ</math>
Es gilt mit <math>\Phi </math> als [[Goldener Schnitt]]

:<math>c=\Phi\, a_0</math>

Der
* ''Winkel'' zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist
:<math>\beta_2=90^\circ+\psi+\varphi</math>
:<math>=90^\circ +\arctan\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)
+\arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)</math>
:<math>=90^\circ+\arctan\left(\frac{3+\sqrt{5}}{4}\right)\quad </math> (siehe [[Formelsammlung Trigonometrie|Formelsammlung]])
:<math>\ \approx 142{,}62^\circ</math>

Für den Raumwinkel folgt aus der [[Raumwinkel#Ebenen-Formel|Ebenen-Formel]]

:<math>\Omega=\beta_1 + 2\beta_2 - \pi = \pi - 2\psi + 2 \left(\frac \pi 2 + \psi + \varphi\right) - \pi = \pi + 2\varphi</math>
* Der ''Raumwinkel'' in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also
:<math>\Omega=\pi+ 2 \, \arctan\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\approx 4{,}24874\;\mathrm{sr} .
</math>

=== Kugelradien ===
Der ''Kantenkugelradius'' ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von <math>a_0=3a</math> erhält man
* <math>\ r_k=\frac{c}{2}=\frac{3a}{4} (1+\sqrt{5})\approx 2{,}427\; a</math>.

Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung
:<math>r_u^2 = \left(\frac c 2\right)^2 + \left(\frac a 2\right)^2 = \left(\frac{3a}{4}(1+\sqrt{5})\right)^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{16}(58+18\sqrt{5})</math>
Also ist der
* ''Umkugelradius'' <math>\ r_u=\frac a 4 \sqrt{58+18\sqrt{5}}\approx 2{,}478\; a</math>

Der ''Inkugelradius'' der Kugel, die die ''Sechsecke'' berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:
:<math>r_{i,6}=\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{12}\;a_0 </math>
Mit <math>a_0=3a</math> ergibt sich für den
* ''Inkugelradius'' <math>\ r_{i,6}=\frac{\sqrt{3}\;(3+\sqrt{5})}{4}\;a
\approx 2{,}2673\;a </math>

Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt <math>(-\frac{ a}{2},\frac c 2)</math> mit der Steigung <math>m=\tan \varphi</math> vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist
:<math>z = m \left(y + \frac{a}{2}\right) + \frac c 2\ \to my-z + m\frac{a}{2} + \frac c 2 = 0</math>
Mit <math>\ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\ c=\frac{3a(\sqrt{5}+1)}{2}</math> ergibt sich
:<math>\ \to (\sqrt{5}-1)y-2z + a(2\sqrt{5}+1)=0 .</math>
Mit der [[Hessesche Normalform|Hesseschen Normalform]] folgt für das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt
:<math>r_{i,5}^2=\frac{a^2(2\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5}-1)^2+4}=
\frac{a^2}{40}(125+41\sqrt{5})</math>
Also ist der
* ''Inkugelradius für Fünfecke'' <math>\ r_{i,5}=\frac{a}{2\sqrt{10}}\sqrt{125+41\sqrt{5}}\approx 2{,}3274\;a</math>.

=== Oberfläche, Volumen ===
Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche <math>A_6</math> eines regelmäßigen [[Sechseck]]s plus 12-mal der Fläche <math>A_5</math> eines regelmäßigen [[Fünfeck]]s. Mit
:<math> A_6= \frac{3\sqrt 3}{2} \cdot a^2,\ \ A_5 = \frac{1}{4} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}\cdot a^2</math>
ist die
* ''Oberfläche'' des Ikosaederstumpfs
:<math>A_O=20\cdot A_6+12\cdot A_5=3\left(10\sqrt{3}+\sqrt{25+ 10\sqrt{5}}\right)\cdot a^2
</math>

Einen Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und <math>r_{i,5}</math> als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und <math>r_{i,6}</math> als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich
:<math>V=12\cdot \frac 1 3 A_5r_{i,5} + 20 \cdot \frac 1 3 A_6r_{i,6}</math>
:<math>=\frac{1}{ 2\sqrt{2}}\sqrt{(5+2\sqrt{5})(125+41\sqrt{5})}a^3+\frac{15}{2}(3+\sqrt{5})a^3</math>
Mit <math>\ (5+2\sqrt{5})(125+41\sqrt{5})= \frac 1 2 (35+13\sqrt{5})^2\ </math> ist
:<math>V=\frac 1 4 (35+13\sqrt{5})a^3 +\frac{15}{2}(3+\sqrt{5})a^3
</math> und damit
:<math>V= \frac{1}{4} \left(125 + 43 \sqrt{5}\right)a^3\approx 55{,}28773\;a^3
</math>

== Anwendungsbeispiele ==
<gallery mode="packed" heights="190">
Datei:Implosion nuclear weapon design - explosive lenses.svg|[[Kernwaffentechnik#Aufbau von Sprengstoffen um den Kern|Sprengstofflinsen]] um den Kern der [[Trinity-Test|Trinity]]-Bombe
Datei:Kletternetz Spielplatz Durchblick.JPG|[[Klettergerüst|Seilklettergerüst]]
Datei:2021 Wetterradarturm bei Langen cropped.jpg|[[Radom (Antennenkuppel)|Radom]] einer [[Wetterradar]]station
Datei:Buckminsterfullerene Model in Red Beads.jpg|[[Fullerene|Fullerenmolekül]] C60
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Truncated icosahedron|Ikosaederstumpf}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|TruncatedIcosahedron|Truncated Icosahedron}}
* [https://www.mathematische-basteleien.de/fussball.htm Mathematische Basteleien: Abgestumpftes Ikosaeder]

{{Navigationsleiste Archimedische Körper}}

[[Kategorie:Archimedischer Körper]]

Ikosaederstumpf - Versionsgeschichte

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