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[[Datei:Ikosaederstern.png|mini|Ikosaederstern]]

Der '''Ikosaederstern''', auch '''Großes Sterndodekaeder''' genannt, ist ein reguläres [[Polyeder]] und einer der vier [[Kepler-Poinsot-Körper]]. Er wird von 12 regelmäßigen [[Pentagramm|Pentagrammen]] begrenzt, die 60 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]] bilden. Der Sternkörper zeichnet sich durch die Gleichheit sämtlicher Flächenwinkel – sowohl innen als auch außen – von 63,44° aus. Eine Faltung mittels [[Origami#Teilbereiche des Origami|Modulorigami]] liefert den symmetriegleichen, aber geringfügig kleineren (bezogen auf die Pyramidenhöhe) [[Bascetta-Stern]].

== Eigenschaften ==
[[Datei:Bascetta-Stern, beleuchtet.jpg|mini|Ikosaederstern in Form des [[Bascetta-Stern]]s aus [[Transparentpapier]] Ø 30 cm]]

Werden sämtliche Kanten eines [[Ikosaeder]]s über seine Ecken hinaus verlängert, bis sich jeweils 3 von ihnen in einem Punkt schneiden, so entsteht ein Ikosaederstern, den man sich als Ikosaeder mit 20 aufgesetzten [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] vorstellen kann. Die Zacken des Ikosaedersterns bilden die 20 Eckpunkte eines regelmäßigen [[Dodekaeder]]s.
* Der Ikosaederstern ist der umschriebene Körper von 12 sich gegenseitig schneidenden [[Pentagramm]]en, die [[koinzident]] zu den pentagonalen [[Ikosaeder|Schnittflächen eines Ikosaeders]] sind
* [[Triakisikosaeder]] und Ikosaederstern sind [[Topologie (Mathematik)|topologisch]] gleichwertig.
* Die Oberflächen von [[Dodekaederstern]] und Ikosaederstern sind gleich, wobei ersterer das größere Volumen einschließt.
Der Ikosaederstern ist dual zum [[Großes Ikosaeder|Großen Ikosaeder]]. Jede [[Ecke]] des Ikosaedersterns ist einem [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreieck]] des Großen Ikosaeders zugeordnet, und jede Ecke des Großen Ikosaeders gehört zu einem regelmäßigen [[Pentagramm]] des Ikosaedersterns.

== Formeln ==
{| class="wikitable"
! colspan="2" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Ikosaedersterns mit Kantenlänge ''a''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{5}{4} \cdot a^3 \cdot (7 - 3 \cdot \sqrt{5}) </math> <math>\approx 0{,}365 \cdot a^3</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A_O = \frac{15}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{50 - 22 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 6{,}735 \cdot a^2</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Länge der Schenkel'''
'''der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>s = \frac{a}{2} \cdot (3 - \sqrt{5})</math> <math>\approx 0{,}382 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Länge der Basis'''
'''der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>b = a \cdot (\sqrt{5} - 2)</math> <math>\approx 0{,}236 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
|<math>r_u = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}</math> <math>\approx 0{,}866 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Kantenkugel|Kantenkugelradius]]'''
|<math>r_k = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}</math> <math>\approx 0{,}707 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel|Inkugelradius]]'''
|<math>r_i = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 0{,}688 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]]'''
|<math>k = \frac{a}{6} \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{5} - 1) </math> <math>\approx 0{,}357 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{5}{6 \cdot \pi} \cdot \sqrt{3} \cdot (7 - 3 \cdot \sqrt{5})</math> <math>\approx 0{,}134</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Innenwinkel des'''
'''regelmäßige [[Pentagramm|Pentagramms]]'''
|<math> \alpha = 36^\circ</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen benachbarten Flächen'''
|<math>\beta = \arccos \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \approx 63^\circ\; 26^\prime \; 6^{\prime\prime}</math>
|}

== Zusammenhang mit anderen Polyedern ==
[[Datei:Great stellated dodecahedron truncations.gif|mini|Durch Abstumpfen entsteht der abgestumpfte Ikosaederstern, der von außen wie ein Ikosaeder aussieht, das Große Ikosidodekaeder und schließlich das [[Großes Ikosaeder|Große Ikosaeder]].]]

Durch Abstumpfen entsteht der abgestumpfte Ikosaederstern, der von außen wie ein Ikosaeder aussieht, das Dodekadodekaeder und schließlich das [[Großes Dodekaeder|Große Dodekaeder]].

Die [[konvexe Hülle]] ist das [[Dodekaeder]].

Das [[Dualität (Mathematik)|duale]] Polyeder ist das [[Großes Ikosaeder|Große Ikosaeder]]. Das Große Ikosidodekaeder ist eine Rektifikation, wobei Kanten bis zu [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] abgestumpft werden. Der abgestumpfte Ikosaederstern kann als ein degeneriertes reguläres Polyeder angesehen werden, weil seine Ecken und Kanten übereinstimmen, aber es ist für die Vollständigkeit enthalten. Die Oberfläche sieht aus wie ein normales [[Ikosaeder]], aber es hat 40 [[Seitenfläche|Seitenflächen]], die paarweise übereinstimmen. Die Spitzen werden abgeschnitten, bis sie die Ebene des [[Pentagramm|Pentagramms]] unter ihnen erreichen. Die 40 Seitenflächen sind 20 [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] von den abgestumpften Ecken und 20 Dreiecke, die die ersten 20 Dreiecke überlappen. Diese werden gebildet, indem die ursprünglichen Pentagramme abgestumpft werden.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|GreatStellatedDodecahedron|Ikosaederstern}}

{{Navigationsleiste Kepler-Poinsot-Körper}}

[[Kategorie:Sternkörper]]

Ikosaederstern - Versionsgeschichte

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