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2026-02-17T06:02:42Z

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[[Datei:Function-x.svg|mini|Graph der identischen Abbildung auf den reellen Zahlen]]
Eine '''identische Abbildung''' oder '''Identität''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die genau ihr Argument zurückgibt. Obwohl sowohl die identische Abbildung als auch die [[Identitätsgleichung]] oft durch „Identität“ abgekürzt werden, handelt es sich um verschiedene Konzepte.

== Definition ==

Ist <math>M</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]], dann ist die ''identische Abbildung auf <math>M</math>'' definiert durch
:<math>\operatorname{id}_M\colon M \to M, \quad x \mapsto x,</math>
das heißt, für jedes <math>x</math> aus <math>M</math> gilt
:<math>\operatorname{id}_M(x) = x.</math>
Die identische Abbildung ist somit eine [[Bijektion]].
Der Index wird oft weggelassen, wenn die [[Definitionsmenge]] aus dem Kontext hervorgeht. In diesem Fall wird auch <math>1</math> statt <math>\mathrm{id}</math> geschrieben. Statt der Notation <math>\mathrm{id}</math> wird manchmal die Schreibweise <math>\mathrm{Id}</math>, mitunter auch nur <math>i</math> oder vor allem in der [[Funktionalanalysis]] <math>I</math>, benutzt.<br />
Der Graph der identischen Abbildung ist die ''[[Relation (Mathematik)#Homogene Relationen|Diagonale]]''<ref>Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre.'' Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, S. 59.</ref>
:<math>\Delta_M = \{ (m,m) \mid m \in M \}.</math>

== Eigenschaften ==

Ist <math>f\colon M \rightarrow N</math> eine beliebige Funktion, dann gilt für die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] (Hintereinanderausführung) mit der Identität:
:<math>\operatorname{id}_N \circ f = f</math>
und
:<math>f \circ \operatorname{id}_M = f</math>

Daher ist in der Menge aller Funktionen von <math>M</math> nach <math>M</math> die Identität das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der Komposition. Somit bilden diese Funktionen ein [[Monoid]]. Insbesondere ist
die Identität das neutrale Element in der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Permutation]]en der Menge <math>M</math>.

Die Identität <math>\operatorname{id}_\N</math> auf der Menge der [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] ist eine [[Zahlentheoretische Funktion|multiplikative Funktion]], die in der [[Zahlentheorie]] betrachtet wird.

Auf einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] ist die Identität eine [[stetige Funktion]]. Auf einem [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]], zum Beispiel einem [[Banachraum]], ist die Identität ein stetiger [[linearer Operator]], der Einsoperator genannt wird. Ist der Banachraum zusätzlich [[Dimension (Mathematik)|endlichdimensional]], so ist die Identität [[Kompakter Operator|kompakt]].

Die [[Matrizenmultiplikation]] mit der [[Einheitsmatrix]] (neutrales Element) ist eine Identitätsabbildung. In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] können [[Basiswechselmatrix|Basiswechselmatrizen]] als [[Abbildungsmatrix|Darstellungsmatrizen]] der identischen Abbildung bezüglich zweier unterschiedlicher [[Basis (Vektorraum)|Basen]] aufgefasst werden.

Die Existenz von Identitäten ist ein wesentlicher Bestandteil in der Definition der [[Kategorientheorie|Kategorie]]. In den bekanntesten Fällen handelt es sich dabei um die identischen Abbildungen, aber in der Kategorientheorie können die Identitäten auch abstraktere Objekte sein. Aber auch dann werden die Bezeichnungen <math>\mathrm{id}_M</math> oder <math>1_M</math> verwendet und es gelten die oben genannten Verknüpfungsregeln.

== Siehe auch ==
* [[Einheitstensor]]
* [[Selbstabbildung]]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Identische Abbildung - Versionsgeschichte

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