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2025-09-26T19:14:05Z

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'''Idempotenz''' ist eine Bezeichnung aus der [[Mathematik]] und [[Informatik]].

In der Mathematik bezeichnet man ein Objekt <math>a</math> als ''idempotent'' bezüglich einer [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] <math>\circ</math>, das mit dieser Verknüpfung die Eigenschaft <math>a \circ a = a</math> hat. Ein wichtiger Spezialfall sind idempotente [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] bezüglich der [[Hintereinanderausführung]].

Analog dazu wird in der Informatik ein Stück [[Programmcode]] als idempotent bezeichnet, das mehrfach hintereinander ausgeführt das gleiche Ergebnis liefert wie bei einer einzigen Ausführung.

== Etymologie ==
[[Neologismus]] (sprachliche Neubildung) aus lateinisch ''idem <sup>→ la</sup>'' für „derselbe“ oder „dasselbe“ und dem Substantiv ''Potenz'' („''in der Mathematik:'' Produkt mehrerer gleicher Faktoren“), abgeleitet von lateinisch ''potentia <sup>→ la</sup>'' für „Vermögen“, „Kraft“ oder „Wirksamkeit“.<ref>{{Literatur |Titel=Idempotenz |Sammelwerk=Wiktionary |Datum=2019-05-20 |Online=https://de.wiktionary.org/w/index.php?title=Idempotenz&oldid=7038290 |Abruf=2022-10-21}}</ref>

== Definitionen ==
=== Idempotente Elemente ===
Ein Element <math>a</math> einer Menge <math>X</math> heißt ''idempotent'' bezüglich einer <math>n</math>-stelligen Verknüpfung <math>v\colon X^n \rightarrow X,\, n \in \N</math> und <math>n > 1,</math> falls gilt:
:<math>v(a,\dotsc,a) = a.</math>
Falls <math>n = 2</math> ist und die Verknüpfung (wie etwa bei der Multiplikation in Ringen üblich) in Potenzschreibweise notiert wird, schreibt sich die Bedingung als
:<math>a^2 = a,</math>
woraus unmittelbar
:<math>a^n = a</math> für alle <math>n \in \N</math>
folgt, was die Bezeichnung ''Idempotenz'' (lat. für gleiche Potenz) erklärt.

Erfüllt dagegen <math>a</math> für eine [[einstellige Verknüpfung]] <math>f\colon X \rightarrow X</math> die [[Gleichung]]
:<math>f(a) = a,</math>
dann ist <math>a</math> ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] von <math>f.</math>

=== Idempotente Funktionen ===
Man nennt eine [[einstellige Verknüpfung]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon\, X \rightarrow X</math> ''idempotent'', wenn sie bezüglich der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] idempotent ist:
:<math>f\circ f = f,</math>
d. h., für alle <math>x \in X</math> ergibt eine zweimalige Anwendung von <math>f</math> den gleichen Wert wie die einmalige: <math>f(f(x)) = f(x)</math>.

=== Idempotente algebraische Strukturen ===
Sind alle Elemente einer [[Halbgruppe]] (oder allgemeiner eines [[Magma (Mathematik)|Magmas]]) <math>(S,*)</math> idempotent bezüglich <math>*</math>, dann wird auch <math>(S,*)</math> selbst ''idempotent'' genannt. Alternativ wird eine idempotente Halbgruppe auch oft als ein ''Band'' bezeichnet.<ref>{{EoM|Autor=[[L. N. Shevrin]]|Titel=Semi-group of Idempotents|Url=http://eom.springer.de/i/i050090.htm|id=}}</ref><ref>[[Günther Eisenreich]], Ralf Sube: ''Langenscheidts Fachwörterbuch Mathematik''. Langenscheidt 1996, ISBN 3-86117-074-4, S. 381 ({{Google Buch |BuchID=laSrvpWpYoEC |Seite=381 |Linktext=Auszug |Land=}})</ref> Jedes [[kommutativ]]e Band heißt [[Halbverband]]. Man nennt eine Halbgruppe <math>(S,*)</math> '''global idempotent''', falls gilt:
:<math>S*S = S</math> mit <math>S*S := \{a*b \mid a,b \in S\}</math>.

Einen [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbring]] <math>(H,+,\cdot),</math> einen [[Fastring]] <math>(F,+,\cdot)</math> sowie einen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>(R,+,\cdot)</math> bezeichnet man als ''idempotent'', falls jeweils <math>(H,\cdot), (F,\cdot)</math> bzw. <math>(R,\cdot)</math> idempotent ist. Im Gegensatz dazu ist ein [[Dioid]] <math>(D,+,0,\cdot,1)</math> ein [[Hemiring]] mit Einselement und idempotenter Addition.

== Beispiele ==
Idempotente Verknüpfungen:
* Bezüglich der [[Multiplikation]] sind die Lösungen <math>0</math> und <math>1</math> der Gleichung <math>x^2 = x</math> die einzigen idempotenten [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].
* Bezüglich einer [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]] <math>*</math> ist ein (links- oder rechts-)[[neutrales Element]] <math>e</math> stets idempotent: <math>e * e = e.</math> In einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ist das neutrale Element das einzige idempotente Element.
* In einem [[Ring mit Eins]] sind <math>0</math> und <math>1</math> stets idempotente Elemente bezüglich der Multiplikation. Falls der Ring nicht [[Nullteiler|nullteilerfrei]] ist, können auch noch weitere idempotente Elemente existieren. Beispielsweise gilt im [[Restklassenring]] <math>\Z / (6)</math>
:: <math>\bar{3} \cdot \bar{3} = \bar{3}</math> und <math>\bar{4} \cdot \bar{4} = \bar{4}</math>.
* In einem [[Verband (Mathematik)|Verband]] <math>(V,\vee,\wedge)</math> sind alle Elemente idempotent bezüglich der Verknüpfungen <math>\vee</math> und <math>\wedge</math>. D.h. es gilt stets <math>u=u\vee u</math> und <math>u =u\wedge u</math>. Entsprechendes gilt für die Halbverbände <math>(V,\vee)</math> und <math>(V,\wedge)</math>.
* [[Absorbierendes Element|Absorbierende Elemente]] sind immer idempotent.

Idempotente Abbildungen:
* Konstante Funktionen: <math>f\colon x \mapsto c.</math>
* [[Identische Abbildung]]: <math>\operatorname{id}\colon x \mapsto x.</math>
* <math>g\circ f</math>, wenn <math>f\circ g = \operatorname{id}.</math>
* [[Projektion (lineare Algebra)|Projektionen]], z. B. <math>p\colon (x,y) \mapsto (x,0).</math>
* [[Betragsfunktion]]en: <math>|\cdot|\colon x \mapsto |x|.</math>
* [[Hüllenoperator]]en.
* [[Kernoperator]]en.

== Eigenschaften ==
* Eine [[Matrix (Mathematik)|<math>n\!\times\!n</math>-Matrix]] <math>A, n \in \N,</math> über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist genau dann idempotent bezüglich der üblichen [[Matrizenmultiplikation]], wenn die durch sie induzierte [[lineare Abbildung]]
::<math>f_A\colon\, K^n \to K^n,\; x \mapsto Ax,</math>
:idempotent ist. Insbesondere ist <math>A</math> diagonalisierbar und alle [[Eigenwert]]e von <math>A</math> sind <math>0</math> oder <math>1</math>. Geometrisch können idempotente lineare Abbildungen als [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] des [[Vektorraum]]s auf einen [[Untervektorraum]] interpretiert werden.

* Jeder idempotente Ring <math>(R,+,\cdot)</math> ist [[kommutativ]], denn es gilt für alle <math>a,b \in R\colon</math>
:: <math>\begin{alignat}{2}a + 0 + b &= a + b \\&= (a+b)\cdot(a + b) \\&= a\cdot(a+b) + b\cdot(a+b) \\&= a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b \\&= a + a\cdot b + b\cdot a + b,\end{alignat}</math>
: (zweite und fünfte Gleichung wegen der Idempotenz, dritte und vierte Gleichung wegen der Distributivität), also
:: <math>0 = a\cdot b + b\cdot a. \quad (1)</math>
: Damit gilt auch, indem man <math>a \leftarrow (a\cdot b)</math> und <math>b \leftarrow (a\cdot b)</math> setzt und wiederum die Idempotenz nutzt,
:: <math>0 = (a\cdot b)\cdot(a\cdot b) + (a\cdot b)\cdot(a\cdot b) = a\cdot b + a\cdot b.</math>
: Folglich ist
:: <math>\begin{alignat}{2}a\cdot b &= a\cdot b + 0 \\&= a\cdot b + a\cdot b + b\cdot a \\&= 0 + b\cdot a \\&= b\cdot a.\end{alignat}</math>
: Insbesondere gilt auch (wegen der Idempotenz und wegen (1) mit <math> b = a</math>)
:: <math>a + a = a\cdot a + a\cdot a = 0</math> bzw. <math>\,-a = a.</math>

* Ein idempotenter Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> ist genau dann [[Fastring|kommutativ]], wenn er [[Fastring|distributiv]] ist, denn:
: Falls <math>(F,+,\cdot)</math> kommutativ ist, gilt für alle <math>a,b,c \in F\colon</math>
:: <math>c \cdot (a + b) = (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) = (c \cdot a) + (c \cdot b).</math>
: Ist hingegen <math>(F,+,\cdot)</math> distributiv, so folgt daraus genau so wie bei einem idempotenten Ring die Kommutativität.

== Informatik ==

In der Informatik werden mit dem Begriff Idempotenz – je nach Kontext – zwei voneinander abweichende Definitionen verbunden:

# Bei [[Imperative Programmierung|imperativer Programmierung]] gilt ein [[Unterprogramm]] (Funktion) mit [[Wirkung (Informatik)|Auswirkungen]] als idempotent, wenn dessen mehrfache Ausführung denselben Zustand des Gesamtsystems bewirkt wie die einmalige Ausführung, oder in anderen Worten, wenn das Unterprogramm - als Abbildung des Gesamtsystems auf sich selbst verstanden - im mathematischen Sinne idempotent ist.
# Bei [[Funktionale Programmierung|funktionaler Programmierung]] ist eine [[reine Funktion]] (Funktion ohne Nebeneffekte mit gleichen Ein- und Ausgabeparametern) idempotent, wenn sie dies im mathematischen Sinne ist.

Dies ist eine nützliche Eigenschaft, da sie bedeutet, dass eine [[Operation (Informatik)|Operation]] so häufig wiederholt oder erneut versucht werden kann wie notwendig, ohne unbeabsichtigte Auswirkungen zu verursachen. Dagegen muss bei ''nicht''-idempotenten Operationen ein [[Algorithmus]] mitverfolgen, ob sie bereits ausgeführt wurden oder noch nicht.

Idempotenz wird beispielsweise von [[Rollback|Recovery-Maßnahmen]] bei [[Datenbank]]en und [[Dienst (Informatik)|Diensten]] gefordert, um [[Robustheit gegen Benutzungsfehler|Fehlertoleranz]] bei einem [[Absturz (Computer)|Absturz]] während einer Wiederanlaufphase zu gewährleisten. [[Undo|Undo- und Redo]]-Operationen müssen hier auch bei mehrfacher Hintereinanderausführung dasselbe Resultat zur Folge haben.

Rein lesende Services sind von Natur aus idempotent, da der Zustand der Daten nicht geändert wird. Jeder nicht idempotente schreibende Service kann zu einem idempotenten Service gemacht werden.

=== Beispiele ===
* Bei einem Service zum Verbuchen von Geldbeträgen ist der Aufruf ''einzahlen(100)'' nicht idempotent, da bei mehrmaligem Service-Aufruf der Betrag 100 mehrmals eingezahlt wird. Würde man hingegen ''neuerKontostand(600)'' aufrufen, so würde bei mehrmaligem Service-Aufruf der Kontostand gleich bleiben; dieser Aufruf wäre idempotent.
* ([[Stabilität (Sortierverfahren)|stabile]]) [[Sortierverfahren|Sortierfunktionen]] sind idempotent, da einmal sortierte Daten bei erneuter Sortierung ihre Reihenfolge im Ergebnis nicht mehr verändern.

== Siehe auch ==
* [[Nilpotenz]]
* [[Involution (Mathematik)]]

== Literatur ==
* Jeremy Gunawardena: ''An introduction to idempotency'' in J. Gunawardena (Hrsg.): ''Idempotency'', Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-55344-X, S. 1–49 (englisch; Vorabveröffentlichung [http://www.jeremy-gunawardena.com/papers/intro.pdf online], [[PDF]]-Datei, 414 kB)
* Munindar Paul Singh, Michael N. Huhns: ''Service-oriented Computing: Semantics, Processes, Agents''. Wiley 2005, ISBN 0-470-09148-7, S. 54 ({{Google Buch |BuchID=XsfBCwG4vPsC |Seite=54 |Linktext=Auszug |Land=}})

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Idempotenz - Versionsgeschichte

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