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2025-09-29T01:00:30Z

Falsche Verwendung des Operators <math>:</math> als Doppelpunkt <math>\colon</math> korrigiert

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In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] ist ein '''Ideal''' eine [[Teilmenge]] einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] mit mindestens einer [[Produkt (Mathematik)|multiplikativen]] [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistelligen Operation]], die [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.

Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein ''[[Hüllensystem]]'', das '''Idealsystem''' genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender ''Hüllenoperator'' gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige '''Idealoperator'''.

Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der [[kommutativ]]e Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um ''Linksideale'', und vertauscht man bei ''jedem'' [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend ''Rechtsideale''. ''Zweiseitige Ideale'' oder einfach nur ''Ideale'' sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.

== Ringideale ==

[[Zahlentheorie|Zahlentheoretische]] Untersuchungen von [[Zahl]]enbereichen, bei denen eine eindeutige [[Primfaktorzerlegung]] von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der [[Ideal (Ringtheorie)|„klassischen“ Idealtheorie]] für kommutative [[Ring (Algebra)|Ringe]].

=== Definition ===

Ist <math>(R, +, \cdot)</math> ein Ring, dann ist ein ''([[Richard Dedekind|dedekindsches]]) [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]]'' oder ''<math>d</math>-Ideal'' die [[Algebraische Struktur|Trägermenge]] <math>A_d \subseteq R</math> einer Untergruppe von <math>(R, +)</math>, für die gilt:
:<math>\forall r \in R \;\forall a \in A_d\colon</math>
:<math>r \cdot a \in A_d.</math>

=== Eigenschaften ===

* Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der [[Homomorphismus|Ringhomomorphismen]] des Ringes.
* Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein [[Hüllensystem]], so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator <math>(\;)_d</math> gegeben sind.

=== Bemerkungen ===

* Es entstanden weitere Idealbegriffe für Ringe, aber auch für andere algebraische Strukturen wie [[Verband (Mathematik)|Verbände]], [[Halbgruppe]]n, [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbringe]] usw., die (mindestens) eine [[Assoziativgesetz|assoziative]] [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistellige Operation]] besitzen.
* Es gibt auch Ideale bei algebraischen Strukturen mit nicht assoziativen zweistelligen Operationen, beispielsweise [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]].
* Der Begriff des [[Ideal (Verbandstheorie)|Verbandsideals]] wurde auch für beliebige [[Ordnungsrelation|halbgeordnete Mengen]] zum [[Ordnungsideal]] verallgemeinert.
* In der Regel lässt man den Index weg, wenn klar ist, um welchen Hüllenoperator es sich handelt.

== Allgemeine Idealoperatoren ==

Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:

Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe <math>(S, \cdot)</math>, und es sei
:<math>\cdot\colon\, \mathfrak P(S)\times\mathfrak P(S) \to \mathfrak P(S), (A, B) \mapsto A \cdot B := \{a\cdot b \mid a \in A, b \in B\},</math>
die [[Komplexprodukt|Komplexmultiplikation]] über <math>(S, \cdot)</math>, wobei <math>\mathfrak P(S) := \{A \mid A \subseteq S\}</math> die [[Potenzmenge]] von <math>S</math> ist.

<math>\bigl(\mathfrak P(S), \cup, \cap, \cdot\bigr)</math> bildet dann einen unter anderem kommutativen, assoziativen, vollständigen [[Algebraische Struktur#Arten algebraischer Strukturen|multiplikativen Verband]] mit einem Nullelement <math>\emptyset</math>.

=== Definition ===

Es soll nun
:<math>(\;)_{x^*\!}\colon\, \mathfrak P(S) \to \mathfrak P(S), A \mapsto (A)_{x^*},</math>
ein [[Hüllenoperator]] auf <math>S</math> sein, mit der Eigenschaft, dass
:<math>\forall A \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>S \cdot (A)_{x^*} \subseteq (A)_{x^*}.</math>
<math>(\;)_{x^*}</math> wird dann ein ''<math>x^*</math>-Idealoperator'' oder kurz ''<math>x^*</math>-Operator auf'' <math>(S, \cdot)</math> genannt, <math>\mathfrak I_{x^*} := \{(A)_{x^*} \mid A \in \mathfrak P(S)\}</math> ist das ''<math>x^*</math>-Idealsystem'' bzw. ''<math>x^*</math>-System zu'' <math>(\;)_{x^*}</math>, ein <math>A_{x^*} \in \mathfrak I_{x^*}</math> heißt ''<math>x^*</math>-Ideal'' und <math>(A)_{x^*}</math> ist das ''von <math>A \in \mathfrak P(S)</math> erzeugte <math>x^*</math>-Ideal''. <math>(a_1, \cdots, a_n)_{x^*} := (\{a_1, \cdots, a_n\})_{x^*}</math> bezeichnet das ''von <math>a_1, \cdots, a_n \in S, n \in \mathbb N,</math> erzeugte <math>x^*</math>-Ideal'' und <math>(a)_{x^*}</math> ist das ''von <math>a \in S</math> erzeugte <math>x^*</math>-[[Hauptideal]]''.

=== Bemerkung ===

* <math>\emptyset</math> ist gewöhnlich kein Ideal, weil es aber für die Idealarithmetik von Vorteil ist, soll hier auch <math>(\emptyset)_{x^*} = \bigcap\mathfrak I_{x^*}</math> ein unechtes <math>x^*</math>-Hauptideal sein, falls <math>(\emptyset)_{x^*} = \emptyset</math>.
* Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von <math>S</math> werden im Folgenden die Ideale, im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen, mit einem entsprechenden Index versehen.

=== Idealverbände ===

Auf <math>\mathfrak I_{x^*}</math> sind zwei zweistellige Operationen
:<math>\vee_{x^*\!}\colon\, \mathfrak I_{x^*}\times\mathfrak I_{x^*} \to \mathfrak I_{x^*}, (A_{x^*}, B_{x^*}) \mapsto A_{x^*} \vee_{x^*} B_{x^*} := (A_{x^*} \cup B_{x^*})_{x^*},</math>
:<math>\wedge_{x^*\!}\colon\, \mathfrak I_{x^*}\times\mathfrak I_{x^*} \to \mathfrak I_{x^*}, (A_{x^*}, B_{x^*}) \mapsto A_{x^*} \wedge_{x^*} B_{x^*} := (A_{x^*} \cap B_{x^*})_{x^*},</math>
gegeben, so dass <math>(\mathfrak I_{x^*}, \vee_{x^*}, \wedge_{x^*})</math> einen [[Verband (Mathematik)|vollständigen Verband]] bildet, den ''Verband der <math>x^*</math>-Ideale von <math>(S, \cdot)</math>''. Dabei ist <math>\vee_{x^*}</math> die ''<math>x^*</math>-Idealverbindung'', <math>\wedge_{x^*}</math> der ''<math>x^*</math>-Idealdurchschnitt''.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes <math>x^*</math>-Idealsystem:
:<math>\forall A, B \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>A_{x^*} \wedge_{x^*} B_{x^*} = A_{x^*} \cap B_{x^*}.</math>

=== Algebraische Idealoperatoren ===

<math>(\mathfrak I_{x^*}, \vee_{x^*}, \wedge_{x^*})</math> ist genau dann [[Verband (Mathematik)|algebraisch]], wenn <math>(\;)_{x^*}</math> ''algebraisch'' ist, also
:<math>\forall a \in S \;\forall A \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>A \neq \emptyset </math> und <math> a \in (A)_{x^*}
\implies \exists a_1, \cdots, a_n \in A; n \in \mathbb N\colon\, a \in (a_1, \cdots, a_n)_{x^*}.</math>

Bezeichnet <math>|A|</math> die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Menge <math>A</math>, so existiert mit
:<math>(\;)_{x^*_s\!}\colon\, \mathfrak P(S) \to \mathfrak P(S), A \mapsto (A)_{x^*_s} := \bigcup \{(N)_{x^*} \mid N \subseteq A, |N| \in \mathbb N_0\},</math>
immer ein algebraischer <math>x^*</math>-Idealoperator zu <math>(\;)_{x^*}</math>.

== ''x''-Idealoperatoren ==

Die ''<math>x^*</math>-Idealmultiplikation''
:<math>\cdot_{x^*\!}\colon\, \mathfrak I_{x^*}\times\mathfrak I_{x^*} \to \mathfrak I_{x^*},
(A_{x^*}, B_{x^*}) \mapsto A_{x^*} \cdot_{x^*} B_{x^*} := (A_{x^*} \cdot B_{x^*})_{x^*},</math>
besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft
:<math>\forall A_{x^*}, B_{x^*} \in \mathfrak I_{x^*\!}\colon</math>
:<math>B_{x^*} \cdot_{x^*} A_{x^*} \subseteq A_{x^*},</math>
sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um <math>(S, \cdot)</math> gut untersuchen zu können. Als gut geeignet für eine allgemeine Idealtheorie hat sich hingegen die folgende Klasse von <math>x^*</math>-Idealoperatoren erwiesen.

=== Definition ===

So genannte ''<math>x</math>-Idealoperatoren'' bzw. ''<math>x</math>-Operatoren'' <math>(\;)_x</math> sind <math>x^*</math>-Idealoperatoren, bei denen
''[[Homothetie|Translationen]]''
:<math>\forall t \in S\colon</math>
:<math>\vartheta_{t}\colon S \to S, a \mapsto \vartheta_{t}(a) := a \cdot t,</math>
''„[[Stetige Funktion|stetig]]“'' sind wie bei [[Abgeschlossene Hülle|topologischen Abschlussoperatoren]]:
:<math>\forall t \in S \;\forall A \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>\vartheta_{t}\bigl((A)_x\bigr) \subseteq \bigl(\vartheta_{t}(A)\bigr)_x</math>
mit <math>\vartheta_{t}(A) := \{\vartheta_{t}(a) \mid a \in A\} = A \cdot \{t\}</math> für jedes <math>t \in S</math> und alle <math>A \in \mathfrak P(S)</math>.

=== Eigenschaften ===

* Mit jedem <math>x</math>-Idealoperator <math>(\;)_x</math> ist auch <math>(\;)_{x_s}</math> ein <math>x</math>-Idealoperator.
* Für jeden <math>x</math>-Idealoperator <math>(\;)_x</math> auf <math>(S, \cdot)</math> folgt sogar
:<math>\forall A, B \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>(A)_x \cdot B \subseteq (A \cdot B)_x.</math>
* Die zweiseitigen <math>x</math>-Ideale einer Halbgruppe <math>(S, \cdot)</math> sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von <math>(S, \cdot)</math>, und es gilt
:<math>\forall A, B \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>(A)_x \cdot_x (B)_x = (A \cdot B)_x.</math>
* Ein zweiseitiges <math>x</math>-Idealsystem bildet einen (kommutativen,) assoziativen, quasiganzen und vollständigen multiplikativen Verband <math>(\mathfrak I_x, \vee_x, \wedge_x, \cdot_x)</math>.
* Ebenso ist <math>(\mathfrak I_{x_s}, \vee_{x_s}, \wedge_{x_s}, \cdot_{x_s})</math> für zweiseitige <math>x</math>-Ideale ein solcher multiplikativer Verband, der zudem stets algebraisch ist.

=== Bemerkungen ===

* Ein beliebiger <math>x^*</math>-Idealoperator induziert stets einen <math>x</math>-Idealoperator, so dass auch <math>x</math>-Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind.
* Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
* In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie [[Maximalideal]], [[Primideal]] usw., problemlos für <math>x</math>-Ideale übernommen werden.

== ''r''-Idealoperatoren ==

=== Definition ===

Ein ''<math>r</math>-Idealoperator'' <math>(\;)_r</math> auf
<math>(S, \cdot)</math> ist ein <math>x</math>-Idealoperator, der zusätzlich
''translationsabgeschlossen'' ist, also
:<math>\forall t \in S \;\forall A_r \in \mathfrak I_r\colon</math>
:<math>\vartheta_{t}(A_r) \in \mathfrak I_r,</math>
und für den auch noch gilt:
:<math>\forall a \in S\colon</math>
:<math>(a)_r = \{a\} \cup \vartheta_{a}(S).</math>

=== Eigenschaften ===

* Für jeden translationsabgeschlossenen <math>x</math>-Idealoperator <math>(\;)_x</math> auf <math>(S, \cdot)</math> folgt sogar
:<math>\forall t \in S \;\forall A \in \mathfrak P(S)\colon</math>
:<math>\vartheta_{t}\bigl((A)_x\bigr) = \bigl(\vartheta_{t}(A)\bigr)_x.</math>
* Besitzt <math>(S, \cdot)</math> ein Einselement 1, dann ist jeder translationsabgeschlossene <math>x</math>-Idealoperator <math>(\;)_x</math> auf <math>(S, \cdot)</math> bereits ein <math>r</math>-Idealoperator und
:<math>\forall a \in S\colon</math>
:<math>\left(1\right)_x = S</math> und <math>(a)_x = \vartheta_{a}(S) = S \cdot \{a\}.</math>
* <math>(\;)_{r_s}</math> ist ebenfalls ein <math>r</math>-Idealoperator.
* Jedes zweiseitige <math>r</math>-Hauptideal ist ein ''Multiplikationsideal'', das heißt
:<math>\forall a \in S \;\forall A_r \in \mathfrak I_r\colon</math>
:<math>A_r \subset (a)_r \iff \exists B_r \in \mathfrak I_r\colon\, B_r \cdot_r (a)_r = A_r \neq (a)_r.</math>
* Ein zweiseitiges <math>(a)_r</math> ist in <math>(\mathfrak I_r, \vee_r, \wedge_r, \cdot_r)</math> ''kürzbar'', also
:<math>\forall a \in S \;\forall A_r, B_r \in \mathfrak I_r\colon</math>
:<math>A_r \cdot_r (a)_r = B_r \cdot_r (a)_r \implies A_r = B_r,</math>
: wenn <math>a \in S</math> in <math>(S, \cdot)</math> [[kürzbar]] ist.

=== Bemerkung ===

* <math>r</math>-Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der <math>d</math>-Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in <math>(S, \cdot)</math> erlauben.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=H. Prüfer |Titel=Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern |Sammelwerk=J. reine angew. Math. |Band=168 |Datum=1932 |Seiten=1–36}}
* {{Literatur |Autor=K. E. Aubert |Titel=Theory of x-ideals |Sammelwerk=Acta Math. |Band=107 |Datum=1962 |Seiten=1–52}}
* {{Literatur |Autor=I. Fleischer |Titel=Equivalence of x-systems and m-lattices |Sammelwerk=Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai |Band=33. Contributions to Lattice Theory, Szeged, 1980 |Verlag=[[North Holland]] |Ort=Amsterdam/Oxford/New York |Datum=1983 |Seiten=381–400}}
* {{Literatur |Autor=P. Lorenzen |Titel=Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie |Sammelwerk=Math. Z. |Band=45 |Datum=1939 |Seiten=533–553}}
* {{Literatur |Autor=M. Ward, R. P. Dilworth |Titel=The lattice theory of ova |Sammelwerk=Ann. Math. |Band=40 |Datum=1939 |Seiten=600–608}}
* {{Literatur |Autor=L. Fuchs: |Titel=Teilweise geordnete algebraische Strukturen |Verlag=[[Vandenhoeck & Ruprecht]] |Ort=Göttingen |Datum=1966}}
* {{Literatur |Autor=G. Birkhoff |Titel=Lattice Theory |Auflage=3. |Verlag=[[American Mathematical Society]] |Ort=Providence (R. I.) |Datum=1973}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Idealoperator - Versionsgeschichte

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