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Die '''Idealklassengruppe''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]]. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der [[Ganzheitsring]] in einem [[Algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörper]] davon entfernt ist, [[faktorieller Ring|eindeutige Primfaktorzerlegung]] zu besitzen. Ihre Ordnung wird ''[[Klassenzahl]]'' genannt.

== Definition (für Dedekindringe) ==
Es sei <math>A</math> ein [[Dedekindring]] mit [[Quotientenkörper]] <math>K</math>, beispielsweise der [[Ganzheitsring]] in einem [[Algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörper]]. Dann ist die ''Idealklassengruppe'' <math>\operatorname{Pic}A</math> definiert als die [[Faktorgruppe]]<ref>Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer 1992, 2007, S. 23/24</ref>
: <math>\operatorname{Pic}A=J_A/P_A.</math>
* <math>J_A</math> ist dabei die Gruppe der [[Gebrochenes Ideal|gebrochenen Ideale]], d. h. der [[Erzeuger (Algebra)|endlich erzeugten]] <math>A</math>-[[Untermodul]]n von <math>K</math>, die nicht nur die Null enthalten, mit dem Produkt
:: <math>IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\}</math>
: für <math>I,J\in J_A</math>. <math>J_A</math> ist die [[freie abelsche Gruppe]] auf den [[Primideal]]en von <math>A</math>.
* Und <math>P_A</math> ist die Untergruppe der gebrochenen [[Hauptideal]]e, d. h. der Untermoduln der Form
:: <math>(a)=A\cdot a\subset K</math>
: für <math>a\in K^{\times}</math>.

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist <math>\operatorname{Cl}_K</math> für <math>\operatorname{Pic}A</math>.

Die [[Äquivalenzklasse]]n der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale <math>I</math> und <math>J</math> sind äquivalent, wenn es ein Element <math>\lambda\in K^\times</math> gibt, sodass <math>I=\lambda J</math> gilt.

== Eigenschaften ==
* <math>\operatorname{Pic}A</math> ist genau dann trivial, d. h. die [[Klassenzahl]] ist 1, wenn <math>A</math> ein [[Hauptidealring]] ist, und das ist äquivalent dazu, dass es in <math>A</math> eine [[Faktorieller Ring|eindeutige Primfaktorzerlegung]] gibt.
* Ist <math>A</math> der [[Ganzheitsring]] eines [[Algebraischer Zahlkörper|algebraischen Zahlkörpers]] <math>K</math>, so ist <math>\operatorname{Cl}_K</math> endlich.
* Eine Verallgemeinerung des Konzepts der Idealklassengruppe liefert die [[algebraische K-Theorie]]. Wenn <math>A</math> der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers <math>K</math> ist, dann ist <math>\operatorname{K}_0(A)=\Z\oplus\operatorname{Cl}_K</math>.
* Die [[Klassenzahlformel]] setzt die Klassenzahl eines Zahlkörpers in Zusammenhang mit dem [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] seiner [[Dedekindsche Zeta-Funktion|Dedekindschen Zeta-Funktion]] in <math>1</math>.

== Beispiele und Klassenzahlproblem ==
Es sei <math>K</math> ein [[quadratischer Zahlkörper]], d. h., <math>K=\Q(\sqrt{d})</math> für eine [[quadratfreie Zahl]] <math>d\in\Z</math> (<math>d</math> heißt Diskriminante).

Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen <math>d < 0</math> (imaginär-quadratische Zahlkörper), für die die Idealklassengruppe von <math>K=\Q(\sqrt{d})</math> trivial (das heißt gleich 1) ist, sind
:<math>d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.</math>
Das wurde von [[Carl Friedrich Gauss]] vermutet und 1952 von [[Kurt Heegner]] bewiesen; Heegners Beweis fand allerdings erst nach einer 1967 von [[Harold Stark]] veröffentlichten Arbeit Anerkennung. Mit einer ganz anderen Methode wurde das von [[Alan Baker (Mathematiker)|Alan Baker]] etwa gleichzeitig mit Stark bewiesen.

Gauß vermutete auch, dass für die Klassenzahl imaginär quadratischer Zahlkörper <math>h(d)</math> gilt <math>h(d) \to \infty</math> für <math>d \to -\infty</math>. Das wurde von [[Hans Heilbronn]] bewiesen. Gauß stellte auch Vermutungen über die Anzahl der imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 2 und 3 an, die inzwischen ebenfalls bewiesen wurden (ebenso wie die Auflistung der imaginär-quadratischen Zahlkörper bis Klassenzahl 100 durch M. Watkins).<ref>{{MathWorld|GausssClassNumberProblem|Gauss’s Class Number Problem}}</ref><ref>M. Watkins, ''Class Numbers of Imaginary Quadratic Fields'', Math. Comput., Band 73, 2004, S. 907–938</ref> Der Fall der Klassenzahl 2 (es gibt genau 18 solche imaginär-quadratische Zahlkörper) wurde 1971 von Stark und unabhängig Baker bewiesen.<ref>[[Dorian Goldfeld]], [https://www.ams.org/journals/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/ Gauss’ class number problem for imaginary quadratic fields], Bull. AMS, Band 13, 1985, S. 23–37</ref>

Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen <math>d > 0</math> gibt (der Fall reell-quadratischer Zahlkörper mit Klassenzahl 1), für die die Idealklassengruppe von <math>K=\Q(\sqrt{d})</math> trivial ist, es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfür. Dass es unendlich viele gibt, wurde von Gauß vermutet.

== Verwandte Begriffe ==
Für einen algebraischen Zahlkörper <math>K</math> gibt es eine [[Körpererweiterung|Erweiterung]] <math>H/K</math>, den (kleinen) [[Hilbertscher Klassenkörper|hilbertschen Klassenkörper]]. Die [[Galoisgruppe]] <math>\operatorname{Gal}(H/K)</math> ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von <math>K</math> wird in <math>H</math> zu einem Hauptideal.

== Literatur ==
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Algebraische Zahlentheorie''. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Idealklassengruppe - Versionsgeschichte

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