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2024-03-05T20:18:02Z

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{{Redundanztext
|3=Fermi-Dirac-Statistik
|4=Quantenstatistik
|5=Ideales Fermigas|2=März 2024|1=[[Benutzer:Blaues-Monsterle|Blaues-Monsterle]] ([[Benutzer Diskussion:Blaues-Monsterle|Diskussion]]) 21:18, 5. Mär. 2024 (CET)}}
Als '''Fermigas''' (nach [[Enrico Fermi]], der es 1926 erstmals vorstellte<ref name = "Fermi" />) bezeichnet man in der [[Quantenphysik]] ein System [[identische Teilchen|identischer Teilchen]] vom Typ [[Fermion]], die in großer Anzahl vorliegen, so dass man sich zur Beschreibung auf [[statistisch]]e Aussagen (beispielsweise zu [[Temperatur]], [[Druck (Physik)|Druck]], [[Teilchendichte]]) beschränkt. Anders als bei der Behandlung der [[Gas]]e in der [[klassische Physik|klassischen Physik]] wird beim Fermigas das quantentheoretische [[Pauliprinzip|Ausschließungsprinzip]] berücksichtigt.

Das '''ideale Fermigas''' ist die einfachste Modellvorstellung hierzu, in der man die [[fundamentale Wechselwirkung|Wechselwirkung]] der Teilchen untereinander völlig vernachlässigt. Dies ist analog zum Modell des [[ideales Gas|idealen Gases]] in der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] und stellt eine starke Vereinfachung dar. Sie führt aber mithilfe einfacher Formeln in vielen praktisch wichtigen Fällen zu korrekten Voraussagen von klassisch nicht verständlichen Eigenschaften. Beispiele sind
* das [[Elektronengas]], das in [[metall]]ischen [[Festkörper]]n und [[Halbleiter]]n für die [[elektrische Leitfähigkeit]] sorgt,
* [[Proton]]en und [[Neutron]]en im [[Atomkern]],
* Neutronen in [[Neutronenstern]]en,
* flüssiges [[Helium-3]].

== Grundzustand (verschwindende Temperatur) ==
Da wegen des Ausschließungsprinzips nur wenige Teilchen das (Einteilchen-)[[Energieniveau|Niveau]] mit der tiefstmöglichen Energie (als <math> E = 0 </math> gesetzt) besetzen können, müssen im [[Grundzustand|energetisch tiefstmöglichen Zustand]] des ganzen Gases die meisten der Teilchen höhere Niveaus besetzen. Die Energie des höchsten besetzten Niveaus wird als [[Fermi-Energie]] <math> E_\mathrm{F} </math> bezeichnet. Sie hängt ab von der [[Teilchendichte]] <math> n = N/V </math> (Anzahl pro Volumen):

: <math> E_\mathrm{F} = \frac{\hbar^2}{2m}\;(3 \pi^2 n)^\frac{2}{3} \approx \frac{n^\frac{2}{3}}{m} h^2 \cdot 0{,}121\,215\,345 </math>

Darin ist
* <math> \hbar </math> die reduzierte (= durch <math> 2\pi </math> geteilte) [[Planck-Konstante]],
* <math> m </math> die Teilchenmasse.
Die Formel gilt für Teilchen mit [[Spin]] <math>\tfrac{1}{2}</math> wie z. B. Elektronen und wird in der [[Quantenstatistik]] begründet.

Bei einer räumlichen Dichte von 10<sup>22</sup> Teilchen pro cm<sup>3</sup> (etwa wie Leitungselektronen im Metall) ergibt sich die Fermienergie zu einigen [[Elektronenvolt]]. Das liegt in derselben Größenordnung wie die Energie [[elementare Anregung|atomarer Anregungen]] und wirkt sich deutlich auf das makroskopische Verhalten des Gases aus. Man spricht dann von einem [[Entartete_Materie|entarteten Fermigas]]. Die Fermienergie bildet sein hervorstechendes Charakteristikum, das weitreichende Konsequenzen für die physikalischen Eigenschaften der ([[kondensierte Materie|kondensierten]]) Materie hat.

Nur in extrem verdünntem Fermigas ist die Fermienergie zu vernachlässigen. Es verhält sich dann „nicht entartet“, d. h. wie ein normales (klassisches) verdünntes Gas.

=== Vereinfachte Herleitung ===
Wenn ein Gas aus <math> \,N </math> Teilchen in einem räumlichen Volumen <math> \,V </math> (mit [[potenzielle Energie|potenzieller Energie]] Null) den Grundzustand einnimmt, dann werden von unten an so viel Zustände mit verschiedener [[kinetische Energie|kinetischer Energie]] <math> \,E_\mathrm{kin}\mathord =\tfrac{p^2}{2m} \ge 0 </math> besetzt, bis alle Teilchen untergebracht sind. Die höchste so erreichte Energie ist <math> \,E_\mathrm{F}\mathord =\tfrac{{p_\mathrm{F}}^2}{2m} </math>, worin <math> \,p_\mathrm{F} </math> als [[Fermi-Impuls]] bezeichnet wird. Im dreidimensionalen [[Impulsraum]] kommen dann alle Teilchenimpulse zwischen <math> \,p\mathord =0</math> und <math> \,p\mathord =p_\mathrm{F} </math> vor, und zwar in allen Richtungen. Sie bilden eine Kugel mit Radius <math> \,p_\mathrm{F} </math> und Volumen <math>V_p \mathord = \tfrac{4\pi}{3}{p_\mathrm{F}}^3 </math> bzw. [[Fermi-Fläche#Fermi-Kugel|Fermi-Kugel]] mit Radius <math> \,k_\mathrm{F} = \frac{p_\mathrm{F}} {\hbar}</math> und Volumen <math>V_\mathrm{F} \mathord = \tfrac{4\pi}{3}{k_\mathrm{F}}^3 </math>. Wären die Teilchen [[Massenpunkt]]e, würden sie in ihrem 6-dimensionalen [[Phasenraum]] das Volumen <math> \,\Omega = V \cdot V_p </math> füllen. Für Teilchen mit Spin <math>\,s</math> ist mit der [[Multiplizität|Spin-Multiplizität]] <math>\mathord (2s+1)</math> zu multiplizieren. Da jeder (linear unabhängige) Zustand im Phasenraum eine Zelle von der Größe <math>(2 \pi \,\hbar)^3 </math> beansprucht, ergeben sich <math> \,(2s+1)\Omega / (2 \pi \hbar)^3 </math> verschiedene Zustände, die je eins der <math> \,N </math> Teilchen aufnehmen können (''Besetzungszahl 1''):

: <math>N = \frac{(2s+1)\Omega}{(2 \pi\hbar )^3} = \frac{(2s+1) V \cdot V_p}{(2 \pi \hbar )^3} = \frac{(2s+1) V}{(2 \pi\hbar )^3} \frac{4\pi}{3}{p_\mathrm{F}}^3 </math>

Durch Umrechnen auf <math> \,E_\mathrm{F}\mathord =\tfrac{{p_\mathrm{F}}^2}{2m} </math> und Einsetzen von <math> \,s=\tfrac{1}{2} </math> folgt die oben genannte Formel.

== Angeregter Zustand (endliche Temperatur) ==
Im Grundzustand hat ein ideales Fermigas die Temperatur {{nowrap|1=''T''= 0 K.}} Wird ihm Energie zugeführt, müssen Teilchen aus Niveaus unterhalb der Fermi-Energie in Niveaus oberhalb übergehen. Im [[thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]] bildet sich für die Zustände ein Verlauf der Wahrscheinlichkeit der Besetzung heraus, der stetig von Eins auf Null abfällt. Dieser Verlauf, der große Bedeutung in verschiedenen physikalischen Gebieten hat, heißt [[Fermi-Verteilung]] oder Fermi-Dirac-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, auch als ''mittlere Besetzungszahl'' bezeichnet, eines [[Quantenmechanik#Observable und Zustände|Zustands]] <math> |i \rang </math> mit der Energie <math> E_i </math> ist:

: <math> \lang n_i\rang = \frac {1}{\mathrm e^{\frac{E_i - \mu}{k_\mathrm{B} T}} + 1}</math>

Hierbei ist
* <math>\mu</math> das [[Fermi-Niveau]] oder [[chemisches Potential|chemische Potential]]
* <math>T</math> die Temperatur und
* <math>k_\mathrm{B}</math> die [[Boltzmann-Konstante]].

Die Fermi-Verteilung kann im Rahmen der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] mit Hilfe der [[Großkanonisches Ensemble|großkanonischen Gesamtheit]] hergeleitet werden.

=== Vereinfachte Herleitung ===
Eine einfache Herleitung unter Rückgriff auf die klassische [[Boltzmann-Statistik]], das Prinzip des [[Detailliertes Gleichgewicht|detaillierten Gleichgewichts]] und des Ausschließungsprinzips folgt hier:<ref name = "Eisberg"/>

Betrachten wir den Gleichgewichtszustand eines Fermigases bei Temperatur ''T'' im thermischen Kontakt mit einem klassischen Gas. Ein Fermion mit Energie <math> E_1 </math> kann dann von einem Teilchen des klassischen Systems Energie aufnehmen und in einen Zustand mit Energie <math> E_2 </math> übergehen. Wegen der Energieerhaltung ändert das klassische Teilchen seinen Zustand im umgekehrten Sinn von <math> E_2'</math> zu <math> E_1' </math>, wobei <math> E_2'-E_1' =E_2-E_1 </math>. Die Besetzungszahlen sind <math> n_1 </math> bzw. <math> n_2 </math> für die beiden Zustände des Fermions, <math> n_1' </math> bzw. <math> n_2' </math> für die beiden Zustände des klassischen Teilchens. Damit diese Prozesse die Gleichgewichtsverteilung nicht ändern, müssen sie vorwärts und rückwärts mit insgesamt gleicher Häufigkeit auftreten. Die Häufigkeit (oder gesamte Übergangsrate) bestimmt sich aus dem Produkt der Übergangswahrscheinlichkeit <math> W </math>, wie sie für einzelne Teilchen gilt, wenn keine anderen Teilchen da wären, mit statistischen Faktoren, die die Anwesenheit der anderen Teilchen berücksichtigen:
: <math> n_1\cdot n_2' \cdot (1-n_2)\cdot W_{1 \rightarrow 2}= n_2\cdot n_1'\cdot (1-n_1) \cdot W_{2 \rightarrow 1}</math>

In Worten: Die Gesamtzahl der Übergänge eines Fermions von <math> E_1 </math> nach <math> E_2 </math> (linke Seite der Gleichung) ist proportional zur Anzahl von Fermionen im Zustand 1, zur Anzahl der Reaktionspartnerteilchen im Zustand 2', und – damit das Ausschließungsprinzip berücksichtigt wird – zur Anzahl der freien Plätze für das Fermion im Zustand 2. Analog für die Rückreaktion (rechte Seite der Gleichung). Da nach dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts <math> W </math> für Hin- und Rücksprung den gleichen Wert hat (<math> W_{2 \rightarrow 1}\mathord=W_{1 \rightarrow 2} </math>), sind auch die statistischen Faktoren für sich gleich. Nun gilt für die klassischen Teilchen der Boltzmannfaktor
: <math> \frac{n_2'}{n_1'} =\mathrm e^{-\tfrac{E_2'-E_1'}{k_\mathrm{B}T}}.</math>

Durch Einsetzen dieser Beziehung und Verwenden der oben genannten Gleichung <math> E_2'-E_1' =E_2-E_1 </math> folgt:

: <math> \frac{n_1}{1-n_1}\; \mathrm e^{\tfrac{E_1}{k_\mathrm{B}T}} = \frac{n_2}{1-n_2} \;\mathrm e^{\tfrac{E_2}{k_\mathrm{B}T}}.</math>

Diese Größe hat demnach für beide Zustände des Fermions denselben Wert. Da die Wahl dieser Zustände frei war, gilt diese Gleichheit für alle möglichen Zustände, stellt also eine für alle Einteilchenzustände im ganzen Fermigas konstante Größe dar, die wir mit <math>\mathrm e^{\tfrac{\mu}{k_\mathrm{B}T}} </math> parametrisieren:

: <math> \frac{n}{1-n}\; \mathrm e^{\tfrac{E}{k_\mathrm{B}T}} = \mathrm e^{\tfrac{\mu}{k_\mathrm{B}T}} .</math>

Aufgelöst nach ''n'' folgt:

: <math> n = \frac{1}{ \mathrm e^{\tfrac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}}+1} .</math>

Der Parameter <math> \mu </math> dieser Herleitung erweist sich somit als das Fermi-Niveau.

== Siehe auch ==
* [[Fermionen-Kondensat]]
* [[Ideales Bosegas]]
* [[Sommerfeld-Theorie der Metalle]]

== Quellen ==
<references>
<ref name="Eisberg">Robert Eisberg; Robert Resnick: ''Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei and particles'', Verlag Wiley, 1974 (NY), ISBN 0-471-23464-8.</ref>
<ref name="Fermi">Enrico Fermi: ''Zur Quantelung des einatomigen idealen Gases'', Zeitschrift für Physik Bd. 36, 1926, S. 902–912 [[DOI: 10.1007/BF01400221]].</ref>
</references>

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Enrico Fermi als Namensgeber]]

Ideales Fermigas - Versionsgeschichte

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