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'''IRB-Formeln''' sind im [[Bankwesen]] angewandte [[Formel]]n, mit denen die [[Mindesteigenkapitalanforderungen für Kreditrisiken]] ermittelt werden. Diese Formeln gehören zu einem auf internen [[Rating (Finanzwesen)|Ratings]] basierenden Ansatz (kurz ''IRB-Ansatz''; Abkürzung aus {{enS|internal ratings based approach}}).

== Allgemeines ==
Die [[Solvabilitätsverordnung]] (SolvV) vom Januar 2007 beruhte auf den Eigenkapitalvorschriften von [[Basel II]] und enthielt Vorgaben für die Ermittlung der [[Eigenmittel (Kreditinstitut)|Eigenmittelunterlegung]] des [[Kreditgeschäft]]s von [[Kreditinstitut]]en. Die regulatorischen Aufgaben der SolvV werden seit Januar 2014 von der [[Verordnung (EU) Nr. 575/2013 (Kapitaladäquanzverordnung)|Kapitaladäquanzverordnung]] (englische Abkürzung CRR; {{EU-Verordnung|2013|575|format=PDF}}) wahrgenommen. Die hierin enthaltenen IRB-Formeln zielen – wie die gesamte CRR – darauf ab, anhand dieser [[Indikator (Wirtschaft)|Präsenzindikatoren]] der [[Bankenaufsicht]] eine Möglichkeit zu eröffnen, ein funktionsfähiges Bankwesen und einen stabilen [[Finanzmarkt]] zu gewährleisten und damit [[Insolvenz]]risiken von Kreditinstituten anhand standardisierter Formeln rechtzeitig zu erkennen.

Die IRB-Formeln sind nur bei den beiden bankinternen [[Rating (Finanzwesen)|Rating]]verfahren anzuwenden. Sie gelten nicht für den IRB-Basisansatz (IRBB), bei dem – mit Ausnahme der [[Ausfallwahrscheinlichkeit (Finanzwesen)|Ausfallwahrscheinlichkeit]] – alle [[Parameter (Mathematik)|Risikoparameter]] von der Bankenaufsicht fest vorgegeben sind. Neben dem einheitlichen [[Umrechnungsfaktor]] von 0,75 % zur Ermittlung der [[Ausfallkredithöhe]] (EaD) und der festen [[Ausfallverlustquote]] von 45 % für vorrangig [[Kreditsicherheiten|besicherte]] [[Forderung]]en wird die Restlaufzeit im IRB-Basisansatz einheitlich auf 2,5 Jahre festgelegt (Art. 162 Abs. 1 CRR).

== Inhalt ==
Der auf internen Ratings basierende Ansatz (IRB-Ansatz) ermöglicht den Kreditinstituten einzelne Risikoparameter, die in die bankaufsichtsrechtlichen IRB-Formeln einfließen, aufgrund eigener Datenhistorie oder externer Datenquellen selbst zu ermitteln. Dazu gehören die ''Ausfallkredithöhe'', ''Ausfallwahrscheinlichkeit'' und ''Ausfallverlustquote''. Es handelt sich hierbei um hypothetische Größen, die auf [[Stochastik|stochastischen]] [[Wahrscheinlichkeit]]en beruhen. Dabei liegen folgende Annahmen zugrunde:
* Die [[Rendite|Unternehmensrenditen]] hängen von der Entwicklung eines [[Systematisches Risiko|systematischen]] und eines [[Unsystematisches Risiko|unsystematischen Faktors]] ab,
* eine Insolvenz tritt bei Unterschreitung einer Schwelle für Unternehmensrenditen ein und
* das [[Kreditportfolio]] besteht aus einer großen Zahl von Krediten; es ist vollständig [[Granularität (Kredit)|granular]].

Den IRB-Formeln liegt ein [[Asymptotische Analyse|asymptotisches]] „Ein-Faktor-Asset-Value-Kreditrisikomodell“ (ASRF-Modell)<ref>[https://books.google.de/books?id=XsIdfipjSzYC&pg=PA217&dq=Ein-Faktor-Asset-Value&hl=de&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Ein-Faktor-Asset-Value&f=false Jochen Klement: ''Kreditrisikohandel: Basel II und interne Märkte in Banken.'' 2007, S. 217 FN 622]</ref> mit einem Zeithorizont von einem Jahr zugrunde. Es baut auf den allgemein für [[Nichtbank]]en konzipierten Arbeiten von [[Oldřich Vašíček]] mit seinem stochastischen Zinsmodell<ref>Oldřich Vašíček: ''An Equilibrium Characterisation of the Term Structure.'' In: Journal of Financial Economics 5 (2), 1977, S. 177–188</ref> und Michael B. Gordy<ref>Michael B. Gordy: ''A Risk-Factor Model Foundation for Ratings-Based Bank Capital Rules.'' In: Journal of Financial Intermediation 12 (3), Juli 2003, S. 199–232</ref> auf. Bei diesen Asset Value-Modellen (Unternehmenswertmodellen) wird der [[Unternehmenswert]] einer Ausfallschwelle gegenübergestellt. Konkret steht dem [[Marktwert]] der [[Aktiva]] der [[Buchwert]] der [[Verbindlichkeit]]en eines [[Unternehmen]]s gegenüber:<ref>Peter J Crosbie, Jeffrey R. Bohn: ''Modelling Default Risk.'' KMV, 2002, Figure 1</ref>

:<math>\text{Ausfallschwelle} = \frac{\text{Marktwert der Aktiva}}{\text{Buchwert der Verbindlichkeiten}}</math>.

Die Ausfallschwelle ist erreicht, wenn der [[Marktwert]] der [[Aktiva]] dem [[Buchwert]] der [[Verbindlichkeit]]en entspricht. Sinkt jedoch der Marktwert unter diese Verbindlichkeiten, so wird das Unternehmen insolvent.

Den IRB-Formeln liegt ein hieran orientiertes Modell zugrunde, das die standardisierten [[Rendite]]n der Aktiva eines Kreditnehmers einer Ausfallschwelle gegenüberstellt.<ref>Christian Cech: ''Die IRB-Formel – Zur Berechnung der Mindesteigenmittel für Kreditrisiko.'' März 2004, S. 7 ff.</ref> Für die Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default) <math>PD</math>, mit der die als [[Normalverteilung|standardnormalverteilt]] angenommene Rendite <math>Y_i</math> unter einem kritischen Wert <math>D</math> fällt, gilt

:<math>PD = P(Y_i < D)</math>.

Die Ausfallschwelle ist also <math>D = G(PD)</math>, wobei <math>G</math> die Inverse der Verteilungsfunktion der [[Normalverteilung|Standardnormalverteilung]] ist. Dabei wird für die Rendite <math>Y_i</math> angenommen:

:<math>Y_i = \sqrt{R} \cdot X + \sqrt{1-R} \cdot e_i</math>.

Hier bildet <math>X</math> das systematische Risiko, von dem alle Unternehmen betroffen sind (Konjunktur), und <math>e_i</math> das unternehmensspezifische Risiko ab. Man kann zeigen, dass wenn <math>X</math> und die <math>e_i</math> standardnormalverteilt sind, dass dann auch die Renditen <math>Y_i</math> standardnormalverteilt sind und <math>R</math> die [[Korrelationskoeffizient|Korrelation]] der Renditen ist.

Setzt man eine bestimmte Realisation des systematischen Risikos <math>X</math> als Bedingung voraus, dann sind die Renditen und damit die Ausfallereignisse stochastisch unabhängig. Wegen des [[Gesetz der großen Zahlen|Gesetzes der großen Zahlen]] wird dann in einem ausreichend großen Kreditportfolio die relative Häufigkeit von Ausfallereignissen mit der entsprechenden bedingten Ausfallwahrscheinlichkeit nahezu übereinstimmen.

Im IRB-Verfahren wird von einer Realisation des systematischen Risikos <math>X=G(0{,}001)=-G(0{,}999)</math> ausgegangen, die nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % unterschritten wird. Die entsprechende bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit gibt also die Häufigkeit von Kreditausfällen an, die nur entsprechend selten überschritten wird. Setzt man diesen Wert des systematischen Risikos in die obigen Formeln ein, dann erhält man:

:<math>P(- \sqrt{R} \cdot G(0{,}999) + \sqrt{1-R} \cdot e_i < G(PD))</math>

:<math>= P\left( e_i < \frac{1}{\sqrt{1-R}} \cdot G(PD) + \sqrt{\frac{R}{1-R}} \cdot G(0{,}999) \right)</math>

:<math>= N\left(\frac{1}{\sqrt{1-R}} \cdot G(PD) + \sqrt{\frac{R}{1-R}} \cdot G(0{,}999) \right)</math>.

Hierbei ist <math>N</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Dies ist der Kern der Formel, die in Artikel 153 und 154 der [[Verordnung (EU) Nr. 575/2013 (Kapitaladäquanzverordnung)|Kapitaladäquanzverordnung]] (englische Abkürzung CRR) verwendet wird. Abzuziehen ist der durch die Zinsmarge gedeckte [[Kreditrisiko#Kennzahlen zum Kreditrisiko|erwartete Verlust]]. Der Faktor 12,5 neutralisiert sich bei einer [[Kernkapitalquote]] von 8 %. Der Faktor 1,06 sollte sicherstellen, dass sich die Eigenmittelanforderungen im Vergleich zu [[Basel I]] nicht verringern. In Artikel 153 CRR wird außerdem noch mit einem Laufzeitanpassungsfaktor multipliziert.

== Literatur ==
* Christian Cech: ''Die IRB-Formel.'' Version 1.01, März 2004, University of Applied Sciences of [[Fachhochschule des bfi Wien|bfi Vienna]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Rechtshinweis}}

[[Kategorie:Bankwesen]]
[[Kategorie:Risikomanagement (Bank)]]

IRB-Formel - Versionsgeschichte

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