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2022-08-25T21:01:03Z

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In der [[Mathematik]] bezeichnet der Begriff '''IP-Menge''' eine Menge [[natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]], die alle endlichen Summen einer [[unendliche Menge|unendlichen Menge]] von natürlichen Zahlen enthält. Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf [[Hillel Fürstenberg]] und [[Barak Weiss]] zurück; IP steht dabei für „Infinite-dimensional [[Parallelepiped]]“.

== Definition ==
Die endlichen Summen einer Menge <math>D</math> von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen
Teilmenge von <math>D</math> darstellen lassen.
Die Menge aller endlichen Summen von <math>D</math> wird auch als <math>FS(D)</math> bezeichnet; dabei steht FS für ''Finite Sums''.
:Eine Menge <math>A</math> von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge <math>D</math> existiert, so dass <math>FS(D)</math> in <math>A</math> enthalten ist.
Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar <math>A=FS(D)</math> für ein passendes <math>D</math> ist.

== Der Satz von Hindman ==
Der Satz von Hindman, oder auch das ''Finite Sums Theorem'', lautet wie folgt:
:Ist <math>S\,</math> eine IP-Menge und <math>S = C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_n</math>, so ist wenigstens eine der Mengen <math>C_i\,</math> eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:
:Sind die natürlichen Zahlen mit <math>n</math> Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe <math>c</math> eine unendliche Menge <math>D</math>, so dass alle Elemente von <math>D</math> und sogar alle endlichen Summen von <math>D</math> die Farbe <math>c</math> haben.

== Halbgruppen ==
Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch
ganz allgemein für [[Halbgruppe]]n und partielle Halbgruppen.

== Quellen ==
* V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon: [http://home.hia.no/~ingerjh/forskning/bhm2jun03.pdf Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems] (PDF; 127 kB) ''Acta Arith. 116'', Academia Scientiarum Polona, (2005), 13–23
* V. Bergelson: [http://www.math.ohio-state.edu/~vitaly/vbkatsiveli20march03.pdf Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory] (PDF; 349 kB) ''Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310'', Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
* [[Hillel Fürstenberg|H. Fürstenberg]], B. Weiss: Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, ''J. d'Analyse Math.'' 34 (1978), 61–85
* J. McLeod: Some Notions of Size in Partial Semigroups ''Topology Proceedings, Vol. 25'' (2000), 317–332

{{SORTIERUNG:Ipmenge}}

[[Kategorie:Kombinatorik]]

IP-Menge - Versionsgeschichte

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