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2026-03-03T11:20:27Z

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{{Belege}}

[[Datei:astroid2.gif|mini|hochkant=0.8|Die rote Kurve ist eine Hypozykloide, die durch Abrollen des kleinen Kreises in dem großen Kreis erzeugt wird. (Die Parameter sind <math>R=4,</math> <math>r=1,</math> es ist eine [[Astroide]]).]]
Eine '''Hypozykloide''' (von [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] {{Grek|ὑπό}} ''hypó'' = unter und [[Latein|lateinisch]] ''cyclus'' bzw. altgr. {{Grek|κύκλος}} ''kýklos'' = Kreis) ist eine [[Rollkurve]], die sich folgendermaßen beschreiben lässt: Auf der Innenseite eines gegebenen [[Kreis]]es (''Rastkreis'') mit Radius <math>R</math> [[Rollen|rollt]] ein kleinerer Kreis (''Gangkreis'') mit Radius <math>r</math>, ohne zu gleiten. Die Bahn, die ein mitrotierender Punkt auf dem Umfang des Gangkreises beschreibt, wird als Hypozykloide bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=104-105}}</ref><ref>{{MathWorld|Hypocycloid|Hypocycloid}}</ref> Die Hypozykloide ist das Gegenstück zur [[Epizykloide]] und ein Spezialfall der [[#Hypotrochoide|Hypotrochoide]]. Ein verwandter Begriff ist die [[Zykloide]], bei der ein Kreis auf einer Geraden rollt.

== Doppelte Erzeugung von Hypozykloiden ==

In einem festen Kreis mit Radius <math>R</math> erzeugen zwei kleinere Kreise mit Radius <math>r</math> bzw. <math>R-r</math> beim Abrollen auf der Innenseite kongruente Hypozykloiden.

== Geschlossenheit ==

Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene [[Kurve (Mathematik)|Kurven]], wenn das [[Verhältnis (Mathematik)|Längenverhältnis]] <math>q</math> = <math>\tfrac{R}{r}</math> der Radien [[Rationale Zahlen|rational]] ist<ref name="Bronstein-104">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=104}}</ref> und sich als [[Kürzen|gekürzter]] Bruch von zwei [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>i_R</math> und <math>i_r</math> schreiben lässt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:

:<math>\frac{R}{r} = \frac{i_R}{i_r} \quad \text{mit} \quad \operatorname{ggT}(i_R, i_r) = 1</math>

Dabei bezeichnet <math>\operatorname{ggT}(i_R, i_r)</math> den [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]] von <math>i_R</math> und <math>i_r</math>. Im ersten Bruch ist <math>R</math> der Radius des stehenden „Rades“ und <math>r</math> der Radius des umlaufenden „Rades“. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist die Anzahl der „Zähne“ maßgeblich, sodass sich stets geschlossene Kurven ergeben. Im Folgenden wird immer ein rationales Verhältnis <math>q</math> vorausgesetzt.

=== Anzahl der Spitzen ===
Die Anzahl der Spitzen einer geschlossenen Hypozykloide ist gleich der ganzen Zahl <math>i_R</math>.

=== Anzahl der Umläufe ===
Die Anzahl an Umläufen des sich bewegenden „Rades“ während einer Periode ist <math>i_r</math>. In den Bildern wird für jeden Teil der Hypozykloide, der während eines Umlaufs des bewegten „Rades“ entsteht, eine andere Farbe verwendet.
<gallery mode="packed" caption="Umläufe und Spitzen von Hypozykloiden">
Hypocycloid Ratio 5 1.gif|alt=Hypozykloide mit Übersetzung i=5/1|Hypozykloide ''q'' = 5/1
Hypocycloid Ratio 5 2.gif|alt=Hypozykloide mit Übersetzung i=5/2|Hypozykloide ''q'' = 5/2
Hypozycloid Ratio 5 3.gif|alt=Hypozykloide mit Übersetzung i=5/3|Hypozykloide ''q'' = 5/3
Hypozycloid Ratio 5 4.gif|alt=Hypozykloide mit Übersetzung i=5/4|Hypozykloide ''q'' = 5/4
</gallery>

== Parametergleichung ==

Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] eines Kurvenpunktes <math>P</math> lassen sich berechnen durch<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/hypozykloide/4103 |titel=Hypozykloide |sprache=de |abruf=2025-01-01}}</ref>
:<math>x = (R - r) \cos\alpha + r \cos\left(\left(\frac{R}{r} - 1\right) \alpha\right),</math>
:<math>y = (R - r) \sin\alpha - r \sin\left(\left(\frac{R}{r} - 1\right) \alpha\right).</math>
Dabei wird vorausgesetzt, dass der Mittelpunkt des festen Kreises mit dem Ursprung übereinstimmt. Die Startposition des erzeugenden Punktes ist <math>(R,0)</math>. Als Parameter wird der Winkel <math>\alpha</math> verwendet, den die Verbindungsstrecke zwischen dem Ursprung und dem Mittelpunkt des bewegten Kreises mit der x-Achse einschließt. Die Gleichungen lassen sich dadurch begründen, dass man in der Parameterdarstellung der Epizykloide den Radius <math>r</math> des bewegten Kreises durch <math>-r</math> ersetzt.<ref name="Bronstein-105">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=105}}</ref>
Mit der Abkürzung <math>m = \frac{R}{r} - 1</math> können die Gleichungen noch einfacher formuliert werden:
:<math>x = m r \cos\alpha + r \cos(m \alpha),</math>
:<math>y = m r \sin\alpha - r \sin(m \alpha).</math>

== Eigenschaften der Hypozykloide ==

=== Zahl der Schnittpunkte ===

Für <math>q = \tfrac{R}{r} = \tfrac{i_R}{i_r} > 2</math> bzw. <math>i_R > 2 i_r</math> (also <math>r < \tfrac{R}{2}</math>), ist die Zahl der Schnittpunkte gleich <math>i_R (i_r - 1)</math>.<ref name="Volker">{{Literatur |Autor=Volker Jäkel |Titel=Einteilung einer eben bewegten Ebene in Felder mit qualitativ gleichen Koppelpunktbahnen unter besonderer Berücksichtigung der Übergangskurve |Kapitel=Kapitel 4 (S. 67–109): Die Feldeinteilung von Trochoiden erzeugenden bewegten Ebenen |Verlag=VDI-Verlag |Ort=Düsseldorf |Datum=2000 |Seiten=68–69 |Online={{Google Buch |BuchID=9qp4pXZQmpsC |Seite=68}}}}</ref> Falls die Hypozykloide nur einen Umlauf aufweist (<math>i_r = 1</math>), existieren keine Schnittpunkte. Ist die Zahl der Umläufe größer (<math>i_r > 1</math>), so erhöht sich bei jedem Umlauf die Zahl der Schnittpunkte um <math>i_R</math>. Für <math>r > \tfrac{R}{2}</math> bzw. <math>i_R < 2 i_r</math> ist, entsprechend der doppelten Erzeugung, <math>r</math> durch <math>R-r</math> und <math>i_r</math> durch <math>i_R - i_r</math> zu ersetzen. Insgesamt gilt für die Zahl der Schnittpunkte
:<math>n = \left\{\begin{array}{ll}
i_R (i_r - 1), & \text{falls} \; i_R > 2 i_r,\\ 0, &\text{falls} \; i_R = 2 i_r,\\ i_R (i_R - i_r - 1), & \text{falls} \; i_R < 2 i_r. \end{array}\right.</math>

=== Länge ===

Für ganzzahliges <math>q</math> beträgt die Gesamtlänge der Hypozykloide <math>8 (R - r).</math><ref name="Bronstein-105" />

== Spezielle Hypozykloiden ==

Für ganzzahlige Längenverhältnisse <math>q</math> ergeben sich spezielle Hypozykloiden:

* Für <math>q = 2</math> ([[Cardanische Kreise]]) ergibt sich eine geradlinige Hypozykloide, deren sämtliche Punkte auf einem [[Durchmesser]] liegen.<ref name="Bronstein-105" />
* Für <math>q = 3</math> ergibt sich eine Deltoide (Hypozykloide mit 3 Spitzen).
* Für <math>q = 4</math> ergibt sich eine [[Astroide]]<ref name="Bronstein-105" /> (Hypozykloide mit 4 Spitzen): das [[Karo (Farbe)|Karo]], wie man es von Spielkarten kennt.

<gallery mode="packed" caption="Spezielle Hypozykloiden">
Hypocycloid Ratio 2 to 1.gif|alt=Hypozykloide i=2:1 (Cardanische Kreise)|Hypozykloide ''q'' = 2/1 (Cardanische Kreise)
Hypocycloid Ratio 3 to 1.gif|alt=Hypozykloide i=3:1 (Deltoide)|Hypozykloide ''q'' = 3/1 (Deltoide)
Hypocycloid Ratio 4 to 1.gif|alt=Hypozykloide i=4:1 (Astroide)|Hypozykloide ''q'' = 4/1 (Astroide)
</gallery>

== Hypotrochoide ==

[[Datei:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|mini| Die rot gezeichnete Hypotrochoide entsteht durch Abrollen des kleineren schwarzen Kreises auf der Innenseite des größeren blauen Kreises (Parameterwerte ''R'' = 5, ''r'' = 3, ''d'' = 5).]]
Die '''Hypotrochoide''' ist eine naheliegende Verallgemeinerung der Hypozykloide. Ein kleinerer Kreis mit Radius <math>r</math> rollt auf der Innenseite eines größeren Kreises mit Radius <math>R</math>. Der erzeugende Punkt hat zum Mittelpunkt des bewegten Kreises einen Abstand <math>d > 0</math>.

Folgende Typen werden unterschieden:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=106}}</ref>
* ''Verkürzte'' Hypozykloide (<math>d < r</math>)
* ''Verlängerte'' Hypozykloide (<math>d > r</math>)
* Hypozykloide (<math>d = r</math>), auch als ''gespitzte'' Hypozykloide bezeichnet
Die gelegentlich auftauchenden Begriffe ''gestreckte Hypozykloide'' und ''verschlungene Hypozykloide'' sind problematisch, weil sie eine Fallunterscheidung erfordern. Beispielsweise verbindet man das Wort „verschlungen“ mit Schleifen. Solche Schleifen existieren aber sowohl bei Hypotrochoiden mit <math>d > r</math> und <math>q > 2</math> als auch bei Hypotrochoiden mit <math>d < r</math> und <math>q < 2</math>.

<gallery mode="packed" caption="Hypotrochoiden mit q = 3/1 bzw. q = 3/2">
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=0.7.png|alt=Verkürzte Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/1|Verkürzte Hypozykloide ''q'' = 3/1
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=1.0.png|alt=Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/1|Gespitzte Hypozykloide ''q'' = 3/1
Hypotrochoide with ratio 3-1 and a=1.7.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/1|Verlängerte Hypozykloide ''q'' = 3/1
Hypotrochoid with ratio 3-2 and a=2.85.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/2|Verlängerte Hypotrochoide ''q'' = 3/2
Hypotrochoid with ratio 3-2 and a=2.0.png|alt=Gespitzte Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/2|Gespitzte Hypozykloide ''q'' = 3/2
Hypotrochoide with ratio 3-2 and a=1.17.png|alt=Verkürzte Hypozykloide mit dem Übersetzungsverhältnis q=3/2|Verkürzte Hypozykloide ''q'' = 3/2
</gallery>

=== Parametergleichung ===

Für den allgemeinen Fall (Hypotrochoide) muss in der Parameterdarstellung der Hypozykloide der Faktor <math>r</math> (Radius) durch den Abstand <math>d</math> ersetzt werden.
:<math>x = (R - r) \cos\alpha + d \cos\left(\left(\frac{R}{r} - 1\right) \alpha\right),</math>
:<math>y = (R - r) \sin\alpha - d \sin\left(\left(\frac{R}{r} - 1\right) \alpha\right).</math>
Mit <math>m = \frac{R}{r} - 1</math> lauten die Gleichungen
:<math>x = m r \cos\alpha + d \cos(m \alpha),</math>
:<math>y = m r \sin\alpha - d \sin(m \alpha).</math>

=== Beispiele ===

<gallery widths="150" heights="150">
Hypozykloide-30-10.svg|<math>R=30, r=10, d=r</math>
Hypotrochoide-30-10-5.svg|<math>R=30,r=10,d=5</math>
Hypotrochoide-30-10-15.svg|<math>R=30, r=10, d=15</math>
Double Generation of Hypotrochoids.gif|Doppelte Erzeugung von Hypotrochoiden mit ''q'' = 3/1 bzw. ''q'' = 3/2
Hypocycloid animated.gif|Zwei Hypotrochoiden (Animation)
</gallery>

Für die genaue Beschreibung von Hypotrochoiden sind zwei Begriffe bedeutsam, der ''Ball’sche Kreis'' und die ''Übergangskreise''.

=== Ball’scher Kreis ===

Der Ball’sche Kreis, ein Spezialfall der Ball’schen Kurve, ist ein Kreis um den Mittelpunkt des umlaufenden Kreises mit dem Radius<ref name="Volker" />
:<math>r_B = \frac{r}{m} = \frac{r}{q-1} = \frac{r}{\frac{i_R}{i_r} - 1} = \frac{r}{\frac{R}{r} - 1} = \frac{r^2}{R-r}.</math>
Er spielt beim Krümmungsverhalten einer Hypotrochoide eine wichtige Rolle. Für <math>q > 2</math> befindet sich der Ball’sche Kreis innerhalb des umlaufenden Kreises, für <math>q < 2</math> außerhalb.

=== Übergangskreise ===

Übergangskreise einer Hypotrochoide (Spezialfall von Übergangskurven) sind dadurch gekennzeichnet, dass die Hypotrochoide Berührungspunkte aufweist, wenn der erzeugende Punkt auf einem dieser Übergangskreise liegt. Da es sich hier um [[Konzentrizität|konzentrische]] Kreise um den Mittelpunkt des bewegten Kreises handelt, ist der Name ''Übergangskreis'' sinnvoll. Beim Verschieben des erzeugenden Punkts über einen der Übergangskreise ändert sich die Zahl der Schnittpunkte ([[Doppelpunkt (Mathematik)|Doppelpunkte]]) der Hypotrochoide. Die Radien der Übergangskreise lassen sich im Allgemeinen nicht analytisch berechnen. Die Ermittlung mithilfe von [[Approximation|Näherungsverfahren]] ist nicht kompliziert, würde aber den Rahmen dieses Artikels sprengen. Für <math>q > 2</math> befinden sich die Übergangskreise, falls vorhanden, außerhalb des bewegten Kreises, für <math>q < 2</math> innerhalb.

Die Anzahl der Übergangskreise lässt sich berechnen durch
:<math>n_b = \left\lfloor \frac{|2 i_r - i_R|}{2} \right\rfloor.</math>
Die hier verwendete [[Gaußklammer]] <math>\lfloor \ldots \rfloor</math> drückt aus, dass der Wert von <math>\frac{|2 i_r - i_R|}{2}</math>, falls er nicht ganzzahlig ist, auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet werden muss.

=== Minimale und maximale Zahl der Schnittpunkte ===

Die minimale Zahl der Schnittpunkte einer Hypotrochoide stimmt mit der Zahl der Schnittpunkte der entsprechenden Hypozykloide überein:

:<math>n_\text{min} = \left\{\begin{array}{ll}
i_R (i_r - 1), & \text{falls} \; i_R > 2 i_r,\\ 0, &\text{falls} \; i_R = 2 i_r,\\ i_R (i_R - i_r - 1), & \text{falls} \; i_R < 2 i_r. \end{array}\right.</math>

Mithilfe der Zahl der Übergangskreise (<math>n_b</math>) lässt sich daraus auch die maximale Zahl der Schnittpunkte ermitteln:

:<math>n_\text{max} = \left\{\begin{array}{ll}
n_\text{min} + (2 n_b + 1) \, i_R, & \text{falls} \; i_R \; \text{ungerade}\\
n_\text{min} + 2 n_b i_R, & \text{falls} \; i_R \; \text{gerade}\\
\end{array}\right.</math>

=== Verkürzte Hypozykloide (d < r)===

; 1. Fall (<math>q > 2</math>)

In diesem Fall besitzt die Hypotrochoide keine Schleifen.

Liegt der erzeugende Punkt zwischen dem Ball’schen Kreis und dem umlaufenden Kreis (<math>r_B < d < r</math>), so hat die Hypotrochoide <math>2 i_R</math> [[Wendepunkt]]e. Wendepunkte sind durch einen Wechsel zwischen Links- und Rechtskrümmung gekennzeichnet. Hier wechselt der [[Krümmungskreis|Krümmungskreismittelpunkt]] von einer Seite der Kurve auf die andere. Für <math>d \le r_B</math> existieren keine Wendepunkte, das Krümmungsverhalten ist also einheitlich. Im Grenzfall <math>d = r_B</math> hat die Hypotrochoide <math>i_R</math> Abschnitte, die annähernd geradlinig verlaufen.

Die Zahl der Schnittpunkte hat ihren minimalen Wert <math>n_\text{min} = i_R (i_r - 1)</math>.

<gallery mode="packed" caption="Gespitzte und verkürzte Hypozykloiden">
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=1.0.png|alt=Gespitzte Hypozykloide|Gespitzte Hypozykloide
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.5.png|alt=Verkürzte Hypozykloide mit Wendepunkten|Verkürzte Hypozykloide mit Wendepunkten
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.25.png|Verkürzte Hypozykloide mit genäherten Geraden
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=0.15.png|alt=Verkürzte Hypozykloide ohne Wendepunkte|Verkürzte Hypozykloide ohne Wendepunkte
</gallery>

; 2. Fall (<math>q < 2</math>)

In diesem Fall hat die Hypotrochoide <math>i_R</math> Schleifen, entsprechend der Zahl der Spitzen bei der entsprechenden gespitzten Hypozykloide.

Das Krümmungsverhalten ist einheitlich, es gibt keine Wendepunkte.

Wegen <math>q < 2</math> ist die minimale Zahl der Schnittpunkte gegeben durch <math>n_\text{min} = i_R (i_R - i_r - 1)</math>. Liegt der erzeugende Punkt zwischen dem bewegten Kreis und dem äußersten Übergangskreis, so existieren <math>n_\text{min} + i_R</math> Schnittpunkte. Falls es keinen Übergangskreis gibt, gilt diese Zahl für beliebiges <math>d < r</math>. Verschiebt man den erzeugenden Punkt von knapp außerhalb eines Übergangskreises auf den Übergangskreis, so kommen zu den bisherigen Schnittpunkten <math>i_R</math> Berührungspunkte dazu. Bei weiterer Verschiebung ins Innere des Übergangskreises verschwinden die Berührungspunkte wieder; stattdessen kommen im Allgemeinen <math>2 i_R</math> weitere Schnittpunkte dazu. Bei geradem <math>i_R</math> gibt es eine Ausnahme zu diesem Verhalten: Durch Verschieben des erzeugenden Punktes über den innersten Übergangskreis (Radius <math>R - r</math>) nach innen erhöht sich die Zahl der Schnittpunkte nur um <math>i_R</math>.

Der [[Spirograph (Spielzeug)|Spirograph]], ein Spielzeug, mit dem sich reizvolle Ornamente gestalten lassen, ermöglicht unter anderem das Zeichnen von verkürzten Hypozykloiden.

=== Verlängerte Hypozykloide (d > r) ===

; 1. Fall (<math>q > 2</math>)

In diesem Fall besitzt die Hypotrochoide <math>i_R</math> Schleifen, entsprechend der Zahl der Spitzen bei der entsprechenden gespitzten Hypozykloide.

Das Krümmungsverhalten ist einheitlich, es gibt keine Wendepunkte.

Wegen <math>q > 2</math> ist die minimale Zahl der Schnittpunkte gegeben durch <math>n_\text{min} = i_R (i_r - 1)</math>. Liegt der erzeugende Punkt zwischen dem bewegten Kreis und dem innersten Übergangskreis, so beträgt die Zahl der Schnittpunkte <math>n_\text{min} + i_R</math>. Falls es keine Übergangskreise gibt, gilt diese Zahl für beliebiges <math>d > r</math>. Verschiebt man den erzeugenden Punkt von knapp innerhalb eines Übergangskreises auf den Übergangskreis, so treten außer den bisherigen Schnittpunkten <math>i_R</math> Berührungspunkte auf. Bei weiterer Verschiebung nach außen verschwinden die Berührungspunkte wieder; dafür kommen im Allgemeinen <math>2 i_R</math> weitere Schnittpunkte hinzu. Bei geradem <math>i_R</math> gibt es eine Ausnahme von diesem Verhalten: Durch Verschieben des erzeugenden Punktes über den äußersten Übergangskreis (Radius <math>R - r</math>) nach außen erhöht sich die Zahl der Schnittpunkte nur um <math>i_R</math>. Größer kann die Zahl der Schnittpunkte nicht werden.

; Beispiel q = 5/1

:<math>n_b = \left\lfloor \frac{|2 i_r - i_R|}{2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{|2 \cdot 1 - 5|}{2} \right\rfloor = \lfloor 1{,}5 \rfloor = 1</math>
:<math>n_\text{min} = i_R (i_r - 1) = 5 \cdot (1 - 1) = 0</math>
:<math>n_\text{max} = n_\text{min} + (2 n_b + 1) \, i_R = 0 + (2 \cdot 1 + 1) \cdot 5 = 15</math>

Eine verlängerte Hypozykloide mit <math>q = 5/1</math> kann also 5 oder 15 Schnittpunkte aufweisen.

<gallery mode="packed" caption="Hypotrochoiden mit q = 5/1">
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=1.0.png|alt=Gespitzte Hypozykloide|Gespitzte Hypozykloide
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=2.3.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit 5 Schnittpunkten|Verlängerte Hypozykloide mit 5 Schnittpunkten
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=3.67.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit 5 Berührungspunkten|Verlängerte Hypozykloide mit 5 Berührungspunkten
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=3.8.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit 15 Schnittpunkten|Verlängerte Hypozykloide mit 15 Schnittpunkten
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=4.0.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit 10fach-Schnittpunkt und 5 Schnittpunkten|Verlängerte Hypozykloide mit 10fach-Schnittpunkt und 5 Schnittpunkten
Hypotrochoid i=5 phi=150 gamma0=90 a=10.0.png|alt=Verlängerte Hypozykloide mit 15 Schnittpunkten|Verlängerte Hypozykloide mit 15 Schnittpunkten
</gallery>

; 2. Fall (<math>q < 2</math>)

In diesem Fall besitzt die Hypotrochoide keine Schleifen.

Liegt der erzeugende Punkt zwischen dem umlaufenden Kreis und dem Ball’schen Kreis (<math>r < d < r_B</math>), so hat die Hypotrochoide <math>i_R</math> Wendepunkte. Für <math>d \ge r_B</math> existieren keine Wendepunkte, das Krümmungsverhalten ist also einheitlich. Im Grenzfall <math>d = r_B</math> hat die Hypotrochoide <math>i_R</math> Abschnitte, die annähernd geradlinig verlaufen.

Die Zahl der Schnittpunkte hat ihren minimalen Wert <math>n_\text{min} = i_R (i_R - i_r - 1)</math>.

;Allgemeine Bemerkung
Eine Hypotrochoide, die durch den Mittelpunkt des festen Kreises verläuft und mehr als einen Schnittpunkt aufweist, stellt immer einen Sonderfall dar:
* Ist <math>i_R</math> eine gerade Zahl, dann weist diese verlängerte Hypozykloide mindestens einen Berührungspunkt auf. Gibt es mehrere Berührungspunkte, so liegen Berührungs- und Selbstschnittpunkte übereinander.
* Ist <math>i_R</math> eine ungerade Zahl, dann liegen mehrere Schnittpunkte der verlängerten Hypozykloide übereinander.

=== Sonderfall q = 2 ===

Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn der rollende Kreis halb so groß ist wie der feste Kreis (<math>R = 2 r, q = 2, m = 1</math>).

* Falls der erzeugende Punkt am Rand des rollenden Kreises liegt (<math>d = r</math>, Hypozykloide oder gespitzte Hypotrochoide), entsteht ein Durchmesser des festen Kreises (zweifach durchlaufen, auf der <math>x</math>-Achse, siehe oben).
* Falls der erzeugende Punkt innerhalb des rollenden Kreises (<math>d < r</math>) oder außerhalb des rollenden Kreises liegt (<math>d > r</math>), entsteht die [[Ellipse]] <math>\big((r+d)\cos\alpha,(r-d)\sin\alpha\big)</math>.

<gallery mode="packed" caption="Spezielle Hypotrochoiden mit q = 2">
Ellipse as hypotrochoid.gif|Ellipse als spezielle Hypotrochoide bei ''q'' = 2
Hypotrochoide Ratio 2 to 1 small Elypse.gif|alt=Hypotrochoide: Ellipse|Hypotrochoide: Ellipse
Hypocycloid Ratio 2 to 1.gif|alt=Hypozykloide: Gerade|Hypozykloide: Gerade
Hypotrochoide Ratio 2 to 1 Elypse.gif|alt=Hypotrochoide: Ellipse|Hypotrochoide: Ellipse
</gallery>

Für <math>d > 0</math> liegt die große Achse der Ellipse auf der <math>x</math>-Achse, für <math>d < 0</math> (unüblich) würde sie auf der <math>y</math>-Achse liegen. Für <math>d = 0</math> ergibt sich ein Kreis.

Eine Ellipse <math>(a\cos\alpha,b\sin\alpha)</math> lässt sich also auch immer durch eine Hypotrochoide mit den Parametern <math>\; r=\tfrac{a+b}{2},\; d=\tfrac{a-b}{2},\; R=2r=a+b\;</math> erzeugen.

<gallery widths="200" heights="180">
Hypozykloide-30-15.svg|<math>R=30, r=15, d=r</math> (Strecke)
Hypotrochoide-30-15--5-8-25.svg|<math>R=30, r=15, d=-5, 8, 25</math> (Ellipsen)
Tusi couple vs Paper strip plus Ellipses horizontal.gif|Ellipsen (rot, cyan) mit cardanischen Kreisen
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hypotrochoids|Hypotrochoide}}
* [https://www.v-jaekel.de/animate-trochoide.html Animation zu Epi-, Hypo- und Peritrochoide mit Schiebereglern] (Volker Jäkel)
* [https://www.v-jaekel.de/hypo-h/formenvielfalt-einer-hypotrochoide-de.html Herleitung der Formenvielfalt von Hypotrochoiden einschließlich interaktiver Berechnung von Punkten auf Übergangskurven und BALLscher Kurve]
* [https://www.geogebra.org/m/AuxQHvwe Interaktives Applet zur Erzeugung von Hypozykloiden (automatisch)]
* [https://www.geogebra.org/m/rKsM6g9E Interaktives Applet zur Erzeugung von Hypozykloiden (von Hand)]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Hypozykloide - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie.