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2022-10-22T16:51:00Z

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[[Datei:Hypograph.svg|mini|hochkant=1.0|Der Hypograph einer Funktion]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet der '''Hypograph''' einer [[reellwertige Funktion|reellwertigen Funktion]] <math>f</math> die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem [[Funktionsgraph|Graphen]] liegen.

== Definition ==
Sei <math>X \subset \R^n</math>. Der Hypograph der Funktion <math>f \colon X \to \R</math> ist definiert durch<ref>{{Literatur
| Autor=Wilhelm Rödder, Peter Zörnig
| Titel=Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 - Analysis II
| Verlag=Springer
| Ort=
| Jahr=1997
| ISBN=978-3-540-61716-7
| Seiten=55
}}</ref>

: <math>\operatorname{hypo}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, \mu\le f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}\,.</math>

Ist der Bildraum der Funktion der <math> \R^n </math> versehen mit einer [[verallgemeinerte Ungleichung|verallgemeinerten Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math>, so ist der Hypograph definiert als

:<math>\operatorname{hypo}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R}^n \, : \, \mu \preccurlyeq_K f(x) \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}^n</math>.

== Eigenschaften ==
Sei <math>X \subset \R^n</math>. Für Funktionen <math>f \colon X \rightarrow \mathbb{R}</math> gilt:
* <math>f</math> ist genau dann [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]], wenn der Hypograph von <math>f</math> eine konvexe Menge bildet.
* <math>f</math> ist genau dann [[Halbstetigkeit|oberhalbstetig]], wenn der Hypograph von <math>f</math> eine abgeschlossene Menge bildet.
* Ist <math>f</math> eine [[Affine Abbildung|affin-lineare]] Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen [[Halbraum]] in <math>X</math>.

== Siehe auch ==
* [[Epigraph (Mathematik)]]

==Weblinks ==
{{commonscat|Epigraph and hypograph (mathematics)|Epi- und Hypographen}}
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Hypograph - Versionsgeschichte

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