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2026-03-09T07:43:51Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Maßpolytop Hyperwürfel; zum Kommunikationsmuster siehe [[Hyperwürfel (Kommunikationsmuster)]].}}
[[Datei:Hypercube.svg|mini|Projektion eines Tesseraktes (vierdimensionaler Hyperwürfel) in die 2. Dimension]]

'''Hyperwürfel''' oder '''Maßpolytop'''e sind <math>n</math>-dimensionale [[Analogie (Philosophie)|Analogien]] zum [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] (<math>n=2</math>) und zum [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] (<math>n=3</math>). Dabei kann <math>n</math> eine beliebige [[natürliche Zahl]] sein. Der [[4D|vierdimensionale]] Hyperwürfel wird auch als [[Tesserakt]] bezeichnet. Die [[Symmetriegruppe]] eines Hyperwürfels ist die [[Hyperoktaedergruppe]].

== Konstruktion regulärer Würfel ==

Reguläre [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] der Kantenlänge <math>a \ne 0</math> lassen sich wie folgt erzeugen:
<div style="float:left;padding-right:20px;padding-bottom:10px;">[[Datei:HyperwürfelZeichnung.png]]</div>
* Wenn ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] um die [[Strecke (Geometrie)|Distanz]] <math>a</math> geradlinig verschoben wird, entsteht eine eindimensionale [[Strecke (Geometrie)|Strecke]], mathematisch ein eindimensionaler Hyperwürfel.
* Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz <math>a</math> verschoben wird, entsteht ein zweidimensionales [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]], eine Fläche, mathematisch ein zweidimensionaler Hyperwürfel.
* Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz <math>a</math> verschoben wird, entsteht ein dreidimensionaler Würfel, mathematisch einem dreidimensionalen Hyperwürfel entsprechend.
* Allgemein: Wenn also ein <math>n</math>-dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen <math>n</math> Dimensionen um die Distanz <math>a</math> verschoben wird, entsteht ein <math>(n+1)</math>-dimensionaler Hyperwürfel.

== Grenzelemente ==
In einem Hyperwürfel der Dimension <math>n</math> befinden sich an jedem Knoten (Ecke) genau <math>n</math> Kanten. Demnach handelt es sich bei einem Hyperwürfel um einen ungerichteten Graph (siehe auch: [[Graphentheorie]]).

Der <math>n</math>-dimensionale Würfel wird von nulldimensionalen, eindimensionalen, …, <math>(n\!-\!1)</math>-dimensionalen Elementen begrenzt.
''Am Beispiel:''

''Der 3-dimensionale Würfel wird von Knoten (Punkten), Kanten (Strecken) und Flächen begrenzt, also von Elementen der Dimension 0,1 und 2.''

[[Datei:WUERFEL5 0- bis 5-dimensionale Wuerfelanaloge.png|389px|mini|Die 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion]]

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgender Überlegung ableiten:
Sei ein Hyperwürfel von der Dimension <math>n\!+\!1</math> gegeben. Die <math>k</math>-dimensionalen Grenzelemente dieses Würfels (<math>k_{n+1}</math>) lassen sich folgendermaßen aus den Grenzelementen eines <math>n</math>-dimensionalen Hyperwürfels erzeugen: Die <math>k</math>-dimensionalen Grenzelemente (<math>k_{n}</math>) verdoppeln sich und alle <math>k\!-\!1</math> dimensionalen Elemente <math>(k\!-\!1)_{n}</math> werden zu <math>k</math>-dimensionalen erweitert. Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von <math>k_{n+1}=2 k_{n} + (k-1)_{n}</math>.
; Beispiel:

* Der 2-dimensionale Hyperwürfel wird von 1 Fläche <math>(k_{n}=2)</math>, 4 Kanten <math>(k_{n}=1)</math> und 4 Knoten <math>(k_{n}=0)</math> begrenzt.

* Der 3-dimensionale Würfel wird von <math>2+4=6</math> Flächen <math>(k_{n+1}=2)</math> begrenzt, von <math>8+4=12</math> Kanten <math>(k_{n+1}=1)</math> und <math>4+4=8</math> Knoten <math>(k_{n+1}=0)</math>.

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen <math>n</math>-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem <math>k</math>-dimensionalen Grenzelement <math>k</math> Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von <math>k</math> Koordinatenachsen nicht nur ein <math>k</math>-dimensionales Grenzelement, sondern <math>2^{n-k},</math> weil man durch jede der <math>n-k</math> zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, <math>k</math> Achsen aus den <math>n</math> Achsen auszuwählen, mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit <math>\binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}</math> {{nowrap|(mit dem [[Binomialkoeffizient]]en <math>\binom{n}{k}</math>).}}

[[Datei:Hypercube.gif|hochkant=0.8|mini|Der Weg zum Hyperwürfel]]

{| class="wikitable"
|rowspan="2" align="center" |  
!rowspan="2" align="left" | [[Schläfli-Symbol|Schläfli- Symbol]]
!colspan="8" align="center" class="hintergrundfarbe6"| Anzahl der Grenzelemente
|- class="hintergrundfarbe6"
! 0-dim.
! 1-dim.
! 2-dim.
! 3-dim.
! {{nowrap|4-dim.}}
!<math>\ldots</math>
! <math>(n\!-\!1)</math>-dim.
! <math>n</math>-dim.
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| Punkt
|align="left" | <math>()</math>
|class="hintergrundfarbe5" | 1
| || || || || || ||
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| Strecke
|align="left" | <math>\{\}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | 2
|class="hintergrundfarbe5" | 1
| || || || || ||
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| Quadrat
|align="left" | <math>\{4\}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | 4
|class="hintergrundfarbe5" | 4
|class="hintergrundfarbe5" | 1
| || || || ||
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| 3-dim. Würfel
|align="left" | <math>\{4,3\}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | 8
|class="hintergrundfarbe5" | 12
|class="hintergrundfarbe5" | 6
|class="hintergrundfarbe5" | 1
| || || ||
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| 4-dim. Würfel
|align="left" | <math>\{4,3,3\}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | 16
|class="hintergrundfarbe5" | 32
|class="hintergrundfarbe5" | 24
|class="hintergrundfarbe5" | 8
|class="hintergrundfarbe5" | 1
| || ||
|- style="line-height:89%"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>\vdots</math>
| align="center" |<math>\vdots</math>
| colspan="15" class="hintergrundfarbe5" align="center" | <math>\vdots</math>
|- align="right"
!align="center" class="hintergrundfarbe6"| <math>n</math>-dim. Würfel
|align="left" | <math>\{4,3^{n-2}\}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}0 2^{n-0}</math> <math> = 2^n</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}1 2^{n-1}</math> <math> = n \cdot 2^{n-1}</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}2 2^{n-2}</math> <math></math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}3 2^{n-3}</math> <math></math>
|class="hintergrundfarbe5" align="center" | <math>\ldots</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\ldots</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}{n-1} 2^1</math> <math> = 2n</math>
|class="hintergrundfarbe5" | <math>\binom{n}{n-0} 2^0</math> <math> = 1</math>
|}
Jedes {{nowrap|<math>k</math>-dimensionale}} Grenzelement eines <math>n</math>-dimensionalen Würfels der Kantenlänge <math>a</math> ist für <math>0<k\le n</math> ein {{nowrap|<math>k</math>-dimensionaler}} Würfel derselben Kantenlänge <math>a</math>. Damit hat ein 4-Hyperwürfel 16 Ecken, ein Kantennetz der Länge <math>32a</math>, ist begrenzt von einem Flächennetz der Gesamtfläche <math>24a^2</math> und von Zellen mit dem 3-Gesamtvolumen (der 3-dimensionalen Hyperfläche) von <math>8a^3</math> und hat ein 4-Volumen von {{nowrap|<math>a^4</math>.}}

== Eigenschaften ==
[[Datei:DIAGON01 LAENGSTE DIAGONALEN.PNG|mini|Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt]]
Der Name Maßpolytop kommt von der Möglichkeit, das Objekt parallel zu allen Koordinatenachsen auszurichten und den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] durch parallele Vervielfältigung [[Raumfüllung|restlos auszufüllen]]. Es ist das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies in Dimensionen <math>n>4</math> gelingt. Für jede Dimension sind diese [[Parkettierung]]en [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|selbstdual]] mit dem [[Schläfli-Symbol]] <math>\{4,\ 3^{n-2},4\}.</math>

Die längste [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] eines Hyperwürfels entspricht der [[Quadratwurzel]] seiner [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] multipliziert mit seiner Kantenlänge.

Maßpolytop (oder Hyperwürfel) und [[Kreuzpolytop]] (oder Hyperoktaeder) sind zueinander [[Dualität (Mathematik)#Dualität in der Geometrie|dual]]. Daher stimmen auch ihre [[Symmetriegruppe]]n überein.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe8"
!colspan="2"|
!colspan="3"|winkeltreue Projektion in
!colspan="4"|mögliche Operationen<ref>Die Bewegungen eines Punktes innerhalb eines Hyperwürfels: schieben auf einer geraden Linie; drehen als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in einer Ebene; winden als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in drei Dimensionen; stülpen als Bewegung auf einer vierdimensional gekrümmten Bahn.</ref>
|-
!Dimension!!Objekt !!2-D!!3-D!!4-D||schieben!!drehen!!winden!!stülpen
|-
|0 ||[[Punkt (Geometrie)|Punkt]] ||+ ||+ ||+ ||– ||– ||– ||–
|-
|1 ||[[Kurve (Mathematik)|Linie]] ||+ ||+ ||+ ||+ ||– ||– ||–
|-
|2 ||[[Quadrat]] ||+ ||+ ||+ ||+ ||+ ||– ||–
|-
|3 ||[[Würfel (Geometrie)|Würfel]] ||– ||+ ||+ ||+ ||+ ||+ ||–
|-
|4 ||[[Tesserakt]]||– ||– ||+ ||+ ||+ ||+ ||+
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe8"
! Dimension
! Kanten
! Knoten
! Seiten
! [[Grad (Graphentheorie)|Grad]]
! [[Durchmesser (Graphentheorie)|Durch- messer]]
! Kanten- Zusammenhang
! Knoten- Zusammenhang
|-
| 1
| <math>1</math>
| <math>2</math>
| <math>2</math>
| <math>1</math>
| <math>1</math>
| <math>1</math>
| <math>1</math>
|-
| 2
| <math>4</math>
| <math>4</math>
| <math>4</math>
| <math>2</math>
| <math>2</math>
| <math>2</math>
| <math>2</math>
|-
| 3
| <math>12</math>
| <math>8</math>
| <math>6</math>
| <math>3</math>
| <math>3</math>
| <math>3</math>
| <math>3</math>
|-
| 4
| <math>32</math>
| <math>16</math>
| <math>8</math>
| <math>4</math>
| <math>4</math>
| <math>4</math>
| <math>4</math>
|-
| ...
| ...
| ...
| ...
| ...
| ...
| ...
| ...
|-
|class="hintergrundfarbe6" | <math>n</math>
| <math>2^{(n-1)}\cdot n</math>
| <math>2^n</math>
| <math>2n</math>
| <math>n</math>
| <math>n</math>
| <math>n</math>
| <math>n</math>
|}

== Hyperwürfel in der Kultur ==

=== Bildende Kunst ===

In der [[Bildende Kunst|bildenden Kunst]] beschäftigen sich viele Künstler mit dem Hyperwürfel.

* [[Tony Robbin]] – durch Spiegelungen und Verdrehungen von Würfel-Kanten erzeugt Tony Robbin in Zeichnungen und mit Raum-Installationen Situationen, die nur in einer hyperdimensionalen Welt möglich wären.
* [[Manfred Mohr (Künstler)|Manfred Mohr]] – veranschaulicht in seinen Kompositionen Interaktionen von Linien, die einer räumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden folgen.
* [[Frank Richter (Künstler)|Frank Richter]] – konkretisiert in Grafiken, Plastiken und Rauminstallationen nach der Vorgabe von mathematischen Regeln Raum-Konstellationen, die über die dritte Dimension hinausgehen.
* [[Salvador Dalí]] hat in seinem Bild ''Kreuzigung (Corpus Hypercubus)'' 1954 einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwürfels gemalt.<ref> {{Webarchiv|text=Beispiel eines Dalígemäldes |url=http://www.poster.net/dali-salvador/dali-salvador-die-kreuzigung-9701519.jpg |wayback=20150723070223 }}</ref>
* [[Kay Herrmann]] – Installation ''Hyperwürfel'' auf dem Siegelohplatz in Auerbach im Vogtland<ref>{{Internetquelle |autor=Bernd Schädlich |url=https://www.mdr.de/nachrichten/sachsen/chemnitz/vogtland/wissenschaft-park-skulptur-schule-auerbach-100.html |titel=Wissenschaft zum Anfassen mit "XXL-Experiment-Installationen" in Auerbach |werk=mdr.de |hrsg=MDR |datum=2023-08-18 |sprache=deutsch |abruf=2023-08-20}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Stadt Auerbach |url=https://www.stadt-auerbach.de/inhalte/stadt_auerbach/_aktuelles/news_gesamt/hyper |titel="Mathematisches XXL-Experiment" |werk=stadt-auerbach.de |hrsg=Stadt Auerbach |datum=2023-08-23 |sprache=deutsch |abruf=2023-08-23 |offline=ja }}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Kenny Marek |url=https://www.sachsen-fernsehen.de/mathematische-figuren-zieren-oeffentlichen-raum-1438155/ |titel=Mathematische Figuren zieren öffentlichen Raum |werk=sachsen-fernsehen.de |hrsg=Sachsen Fernsehen |datum=2023-08-22 |sprache=deutsch |abruf=2023-08-23}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Daniel Persian |url=https://www.msscholl.de/kosmografikum/ |titel=Kosmografikum |werk=msscholl.de |hrsg=Scholl Schule Auerbach |datum=2023-08-23 |sprache=deutsch |abruf=2023-08-25}}</ref>

[[Datei:8-cell.gif|256px|mini|Projektion eines rotierenden Hyperwürfels]]

=== Film ===
* Der Film ''[[Cube 2: Hypercube]]'' handelt von einem Hyperwürfel, in dem sich die Charaktere in den drei räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen.

== Siehe auch ==
* [[Euklidischer Raum]]
* [[Hilbertwürfel]] für den unendlichdimensionalen Fall
* [[Hyperrechteck]] (alias [[Hyperquader]]) – Verallgemeinerung für unterschiedliche Kantenlängen
* [[Hyperebene]]
* [[5-Zell|Hyperpyramide]]
* [[Hyperraum]]

== Weblinks ==

* [http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag39_2/Hyperwuerfel.pdf Der n-dimensionale Hyperwürfel] (PDF; 3,5 MB)
* [http://www.rneumann.name/index.php?content=hyper Hyperwürfel und Hyperkugeln]
* [https://web.archive.org/web/20160304091245/http://home.arcor.de/wzwz.de/wiki/einzel/hypw.htm Erweiterte Grenzelemente-Tabelle]
* [http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html Animierter Hyperwürfel] (Java)
* [http://www.4d-screen.de/related-space 4d-screen.de] – vier-, fünf-, sechs- und siebendimensionale Würfel (Java)
* [http://www.drillingsraum.de/room-der_raum_als_die_vierte_dimension_4/der_raum_als_die_vierte_dimension_4_i.html Bebilderte Konstruktion eines 4D-Hyperwürfels]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Hyperwurfel}}
[[Kategorie:Polytop]]

Hyperwürfel - Versionsgeschichte

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