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2018-09-03T13:07:38Z

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Mit '''Hyperstromlinien''' ([[Englische Sprache|englisch]] [[singular]] '''Hyperstreamline''') kann man symmetrische, reelle [[Tensorfeld]]er zweiter Stufe mit nichtnegativen [[Eigenwert]]en [[Visualisierung|bildlich darstellen]], analog zu [[Stromlinie]]n eines Vektorfeldes. Sie wurden 1993 von Lambertus Hesselink und Thierry Delmarcelle beschrieben.

Solch eine Darstellung des Tensorfeldes durch Hyperstromlinien ist insbesondere sinnvoll, wenn einer der Eigenvektoren mit einem Teilchenstrom zusammenhängt.

== Vorgehen ==
Ein Tensorfeld bildet jeden Punkt des Raumes auf einen Tensor ab. Um sich diese Anordnung vorstellen zu können, ist eine Visualisierung hilfreich.

Ein symmetrischer [[Tensor]] zweiter Stufe wird durch eine quadratische, [[symmetrische Matrix]] angegeben. Die wesentliche Information steckt dabei nicht in den Einträgen der Matrix, sondern ihren [[Eigenvektor]]en und Eigenwerten. Nach dem [[Spektralsatz]] stehen die Eigenvektoren symmetrischer Matrizen aufeinander senkrecht. Man kann den Tensor also durch drei zueinander senkrechte Vektoren darstellen, deren Länge gerade die Eigenwerte sind. Negative Eigenwerte würden schon an dieser Stelle zu einem Darstellungsproblem führen, weshalb man sich auf symmetrische Tensorfelder mit nichtnegativen Eigenwerten beschränkt.

Eine mögliche Visualisierung des Tensor''feldes'' ist es nun, an bestimmten Raumpunkten (z. B. einem Gitter) entweder jeweils diese drei Vektoren als Pfeile darzustellen, oder durch diese Pfeile einen [[Ellipsoid]] aufzuspannen, wobei die Halbachsen der aufspannenden [[Ellipse]] Richtung der Eigenvektoren und als Länge durch die Eigenwerte gegeben sind.

Hyperstromlinien stellen das Tensorfeld hingegen nicht an Gitterpunkten dar, sondern durch Schläuche, die die oben beschriebenen Ellipsoide entlang der Richtung des ersten Eigenvektors (z. B. der mit dem größten Eigenwert) verschmieren. Die Mittellinie des Schlauches ist somit gerade die [[Stromlinie]], das man durch das Vektorfeld des jeweils "ersten" Eigenvektors erhält. Der Querschnitt der Hyperstromlinie ist elliptisch, wobei die Halbachsen der Ellipse durch die Richtungen der beiden anderen Eigenvektoren und deren Eigenwerte gegeben sind. Da dabei die Information über den ersten Eigenwert verlorengegangen ist, kodiert man diese Länge durch unterschiedliche Farben entlang des Schlauches.

== Beispiel ==

Beispiel einer Eigenwertgleichung mit einer [[Symmetrische Matrix|symmetrischen Matrix]],
:<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\,,</math>
:<math>
\lambda = 1: \,\mathbf e_1 = \frac 1 {\sqrt{3}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \,,\
\lambda = 2: \,\mathbf e_2 = \frac 1 {\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\
\lambda = 4: \,\mathbf e_3 = \frac 1 {\sqrt{6}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \,.
</math>

== Weblinks ==

* Heike Jänicke, [http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/CoVis/Data/vis1-8_Tensordaten.pdf Visualisierung I,8], Vorlesungsskript Uni Heidelberg (PDF; 4,2 MB)
* Burkhard Wünsche, [http://www.cs.auckland.ac.nz/~burkhard/PhD/img1.html ''Hyperstreamlines''], IEEE Computer Graphics and Applications, 13 (1993) 25–33

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Hyperstromlinie - Versionsgeschichte

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