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2025-06-05T19:41:13Z

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[[Datei:Hyperkomplexe Zahlen.svg|mini|270px|Übersicht über einige gängige Mengen hyperkomplexer Zahlen mit ihrer jeweiligen Dimension und ihren Teilmengenrelationen.]]
'''Hyperkomplexe Zahlen''' sind Verallgemeinerungen der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als [[algebraische Struktur]] betrachtet. Manchmal werden auch die [[Quaternion]]en als ''die'' hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

== Definition ==
Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer [[Algebra über einem Körper|Algebra]] hyperkomplexer Zahlen.
Eine Algebra <math>A</math> über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] heißt ''Algebra hyperkomplexer Zahlen'' oder ''hyperkomplexes System des Rangs <math>n</math>'', wenn
* sie als [[Vektorraum]] endliche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n</math> hat und wenn
* sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein <math>e \in A</math> existiert, so dass für alle <math>a \in A</math> die Gleichung <math>e\cdot a = a \cdot e = a</math> gilt.
Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra <math>A</math> bezüglich der Multiplikation [[Assoziative Algebra|assoziativ]] ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine [[Algebra]] hyperkomplexer Zahlen.

== Eigenschaften ==
* Für die Addition gelten das [[Kommutativgesetz]] und das [[Assoziativgesetz]].
* Die Addition ist [[Inverses Element|invertierbar]].
* Das linksseitige und das rechtsseitige [[Distributivgesetz]] gilt.

* Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra <math>A</math> ist [[Bilineare Abbildung|bilinear]] über den reellen Zahlen, d. h., es gilt <math>(\alpha x)(\beta y) = \alpha \beta (xy)~~\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R};~x,y \in A</math>

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

* Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das [[Kommutativgesetz]] nicht gelten.
* Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig [[Inverses Element|invertierbar]] sein.
* Die Multiplikation braucht nicht [[nullteiler]]frei zu sein.

== Konjugation ==
Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:
: <math> a = a_01 + a_1\mathrm i_1 + \dotsb + a_n\mathrm i_n</math>.

Die Größen <math>\mathrm i_k</math> für <math>k>0</math> heißen ''imaginäre Einheiten''. Die zu <math>a</math> konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden (<math>\mathrm i_k \mapsto -\mathrm i_k</math>). Die zu <math>a</math> konjugiert komplexe Zahl wird durch <math>\bar a</math> oder <math>a^*</math> dargestellt. Ihre Summendarstellung ist
: <math> \bar a = a_01 - a_1\mathrm i_1 - \dotsb - a_n\mathrm i_n</math>.

Die Konjugation ist eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass
: <math> \bar{\bar a} = a </math>.

== Beispiele ==

=== Komplexe Zahlen ===
{{Hauptartikel|Komplexe Zahl}}

Die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind ein hyperkomplexes [[Zahlensystem]], definiert durch
: <math>z = a + b\mathrm{i}</math> &ensp;mit&ensp; <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>.

=== Anormal-komplexe Zahlen ===
{{Hauptartikel|Anormal-komplexe Zahl}}

Die anormal-komplexen Zahlen sind definiert durch
: <math>z = a + bj</math> &ensp;mit&ensp; <math>j^2 = 1</math>.

=== Duale Zahlen ===
{{Hauptartikel|Duale Zahl}}

Die [[Duale Zahl|dualen Zahlen]] sind definiert durch
: <math>z = a + b\varepsilon</math> &ensp;mit&ensp; <math>\varepsilon^2 = 0 </math>.
Man beachte, dass sie nichts mit [[Dualsystem|Dualzahlen]] (Darstellung von Zahlen im Zweiersystem) zu tun haben.

=== Quaternionen ===
{{Hauptartikel|Quaternion}}

Die Quaternionen sind definiert durch
: <math>x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> &ensp;mit&ensp; <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math>.

Die Quaternionen (Symbol oft <math>\mathbb{H}</math> nach ihrem Entdecker [[William Rowan Hamilton|W. R. Hamilton]]) bilden eine vierdimensionale <math>\mathbb{R}</math>-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen [[Schiefkörper]].

=== Biquaternionen ===
{{Hauptartikel|Biquaternion}}

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über <math>\mathbb{C}</math> ebenso, wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über <math>\mathbb{R}</math> bilden.

Es gibt zwei unterschiedliche Biquaternion: Hamilton-Biquaternion und Clifford-Biquaternion.

=== Oktonionen ===
{{Hauptartikel|Oktave (Mathematik)}}

Die Oktonionen (Symbol <math>\mathbb{O}</math>, auch ''Oktaven'' genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und [[Alternativität|alternativer]] Multiplikation.

=== Sedenionen ===
{{Hauptartikel|Sedenion}}

Die Sedenionen (Symbol <math>\mathbb{S}</math>) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie [[Nullteiler]].

=== Quadratische Matrizen ===
{{Hauptartikel|Matrix (Mathematik)}}

Sei <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]]. Der <math>\R^{n\times n}</math> ist dann eine [[Algebra über einem Körper|Algebra]] mit der <math>n\times n</math>-[[Einheitsmatrix]] als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine [[Assoziativgesetz|assoziative]] hyperkomplexe Algebra und damit auch ein [[Ring (Algebra)|Ring]] und als solcher auch [[Ring (Algebra)#Ring mit Eins|unitär]]. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu <math>\R</math> isomorphe Unteralgebra.

Im Fall <math>n=2</math> gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonal]]elemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der [[Nebendiagonale]]n Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:
* Ein Nebendiagonalelement ist 0. → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen.
* Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein. → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen.
* Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen. → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen.
Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine [[Drehmatrix]] des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer [[Lorentz-Transformation]] in einem 1+1-dimensionalen [[Minkowski-Raum]].

== Bemerkungen ==
* Mit dem [[Verdopplungsverfahren]] (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.
* Jede [[Clifford-Algebra]] ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

== Literatur ==
* [[Ulf von Rauchhaupt]]: [https://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-mehr/die-verblueffende-vielfalt-der-zahlen-15055148.html ''Von natürlich bis hyperkomplex''] Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 11. Juni 2017
* [[Heinz-Dieter Ebbinghaus]] et al.: ''Zahlen'' (Grundwissen Mathematik). 3. Aufl. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
* Isaj L. Kantor, Alexander S. Solodownikow: ''Hyperkomplexe Zahlen'' ([[Mathematische Schülerbücherei]]; Bd. 95). B.G. Teubner, Leipzig 1978.
* {{EoM
| Titel = Hypercomplex number
| Autor = N.N. Vil'yams
| Url = http://eom.springer.de/H/h048390.htm
}}

[[Kategorie:Zahl]]
[[Kategorie:Algebra]]

Hyperkomplexe Zahl - Versionsgeschichte

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