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2020-05-30T08:52:28Z

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In der [[Mathematik]] ist eine '''Hyperfunktion''' <math>h(x)</math> eine Generalisierung von Funktionen als Sprung von einer [[Holomorphie|holomorphen]] Funktion <math>f(x)</math> auf eine andere holomorphe Funktion <math>g(x)</math> auf einer gegebenen Grenze <math>\gamma</math>:
:<math>h(x) = \left(\!| f(x),g(x) |\!\right)</math>

== Geschichte ==
Es gibt unterschiedliche Zugänge zur Theorie der Hyperfunktionen. [[Mikio Satō]] führte im Jahr 1958 als erster vor allem auf Basis der Arbeiten von [[Alexander Grothendieck]] Hyperfunktionen ein. Er definierte sie in einem abstrakten Sinn als Randwerte auf der reellen Achse. So verstand Sato unter Hyperfunktionen Paare <math>(F_+, F_-)</math> von Funktionen <math>F_\pm</math>, die für <math>\operatorname{Im}(z) > 0</math> beziehungsweise für <math>\operatorname{Im}(z) < 0</math> modulo dem Paar <math>(F,-F)</math>, wobei <math>F</math> eine [[Ganze Funktion|ganze]] [[analytische Funktion]] ist, analytisch sind. In einer zweiten Arbeit erweiterte er mit Hilfe der [[Garbenkohomologie]]theorie das Konzept der Hyperfunktionen auf Funktionen im <math>\R^n</math>. Dieser Zugang von Sato für Hyperfunktionen im <math>\R^n</math> ist recht umständlich. So entwickelte [[André Martineau]] mit Hilfe der Theorie analytischer Funktionale einen weiteren Zugang zu den Hyperfunktionen.

== Analytisches Funktional ==
Sei <math>K \subset \R^n</math> eine [[Kompakter Raum|kompakte Teilmenge]]. Im Folgenden wird mit <math>A(K)</math> der Raum der Funktionen <math>f \colon K \to \Complex</math> bezeichnet, die auf <math>\R^n</math> analytisch also [[ganze Funktion]]en sind. Der [[Dualraum|topologische Dualraum]] <math>A'(K)</math> ist der Raum der auf <math>K</math> getragenen analytischen Funktionale. Das heißt, es handelt sich um den Raum der [[Linearform]]en <math>u</math> auf <math>A(\R^n)</math>, die für alle [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] <math>\omega</math> von <math>K</math> die Ungleichung
:<math>|u(\phi)| \leq C_\omega \sup_\omega |\phi|</math>
für alle <math>\phi \in A(\R^n)</math> erfüllen. Der Raum <math>A'(K)</math> der auf <math>K</math> getragenen analytischen Funktionale ist also ein [[Distribution (Mathematik)|Distributionenraum]]. Mit <math>\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)</math> wird der topologische Vektorraum der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]] bezeichnet. Da <math>A(K)\subseteq\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)</math> ein dichter Unterraum ist, kann man den Distributionenraum <math>\{u\in\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n) \mid \operatorname{supp}(u)\subseteq K\}</math> mit einem Unterraum von <math>A'(K)</math> identifizieren.

== Definition ==
=== Nach Mikio Sato ===
Eine Hyperfunktion in einer Dimension ist nach Sato durch ein Paar <math>(f,g)</math> [[Holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]], die durch einen Rand <math>\gamma</math> getrennt werden, dargestellt. In den meisten Fällen ist <math>\gamma</math> ein Teil der reellen Zahlenachse. In diesem Fall ist <math>f</math> in einer offenen Teilmenge der unteren komplexen Halbebene und <math>g</math> in einer offenen Teilmenge der oberen komplexen Halbebene definiert. Eine Hyperfunktion ist der „Sprung“ von <math>f</math> zu <math>g</math> über den Rand <math>\gamma</math>.

=== Nach André Martineau ===
Sei <math>X \subset \R^n</math> eine offene und beschränkte Teilmenge. Dann ist der Raum der Hyperfunktionen <math>B(X)</math> auf <math>X</math> durch
:<math>B(X) := A'(\bar{X}) / A'(\partial X)</math>
definiert.

== Beispiele ==

;[[Heaviside-Funktion|Heaviside-Sprungfunktion]]
:<math>\theta(x) := \left(\!\!\left| \frac{1}{2\,\pi\,\mathrm{i}}\,\log z , \frac{1}{2\,\pi\,\mathrm{i}}\,\log z - 1 \right|\!\!\right)</math>
;[[Delta-Distribution|Dirac-Heaviside-Deltafunktion]]
:<math>\delta(x) := \frac{\mathrm{d}\theta(x)}{\mathrm{d}x} = \left(\!\!\left| \frac{1}{2\,\pi\,\mathrm{i}\,z} , \frac{1}{2\,\pi\,\mathrm{i}\,z} \right|\!\!\right)</math>

== Literatur ==
* Lars Hörmander: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators I'', Springer-Verlag, Second Edition, ISBN 3-540-52345-6, Kapitel IX
* {{EoM
| Titel = Hyperfunction
| Autor = A. Kaneko
| id = Hyperfunction
}}
* {{MathWorld |id=Hyperfunction |title=Hyperfunction}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4161056-8}}

[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Hyperfunktion (Mathematik) - Versionsgeschichte

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