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[[Datei:Affine subspace.svg|mini|Eine Hyperebene (blau) im Anschauungsraum geht durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervor.]]
Eine '''Hyperebene''' ist in der [[Mathematik]] eine Verallgemeinerung des Begriffs der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] vom [[Euklidischer Raum|Anschauungsraum]] auf [[Raum (Mathematik)|Räume]] beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]]. Ähnlich wie eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen [[Stützvektor]] und zwei [[Richtungsvektor]]en beschrieben werden kann, wird eine Hyperebene im <math>n</math>-dimensionalen Raum durch einen Stützvektor und <math>n-1</math> linear unabhängige Richtungsvektoren dargestellt. Es handelt sich somit um eine (<math>n-1</math>)-dimensionale Punktmenge, das heißt, die Dimension einer Hyperebene ist um eins geringer als der sie umgebende Raum.<ref>{{Literatur |Autor=[[Edmund Weitz]] |Titel=Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-62617-7 |Seiten=383 |Abruf=}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Dörte Haftendorn, Dieter Riebesehl, Hubert Dammer |Titel=Höhere Mathematik sehen und verstehen |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-62577-4 |Seiten=151 |Abruf=}}</ref> Im <math>n</math>-dimensionalen [[Koordinatenraum]] ist eine Hyperebene die [[Lösungsmenge]] einer [[Lineare Gleichung|linearen Gleichung]] mit <math>n</math> Unbekannten. Hyperebenen spielen daher eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungs-]] und [[Ungleichung]]ssysteme.

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] werden Hyperebenen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen betrachtet und sind dort gerade die [[Affiner Unterraum|affinen Unterräume]] mit [[Kodimension]] eins. Jede Hyperebene entsteht durch [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] eines [[Untervektorraum]]s um einen festen [[Vektor]]. Kann dabei der [[Nullvektor]] gewählt werden, spricht man auch von einer '''linearen Hyperebene''', da dann die Hyperebene selbst einen Vektorraum darstellt. Zur besseren Unterscheidung spricht man im Fall eines beliebigen Verschiebungsvektors auch von einer '''affinen Hyperebene'''.

Jeder Untervektorraum mit Kodimension eins kann auch als [[Kern (Algebra)|Kern]] eines [[Lineares Funktional|linearen Funktionals]] charakterisiert werden. In der [[Funktionalanalysis]] werden insbesondere [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Hyperebenen betrachtet, die durch [[Stetige Funktion|stetige]] lineare Funktionale beschrieben werden. In der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] werden auch '''projektive Hyperebenen''' als [[Projektiver Teilraum|projektive Teilräume]] mit Kodimension eins untersucht. Einen noch weiter verallgemeinerten Hyperebenenbegriff findet man in der [[Matroid]]theorie.

== Euklidische Geometrie ==
=== Definition ===
[[Datei:Plane equation qtl1.svg|mini|Parameterdarstellung einer Hyperebene im dreidimensionalen Raum]]
Eine Hyperebene im <math>n</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^n</math> ist eine [[Teilmenge]] <math>H \subset \R^n</math> der Form

: <math>H = \{ x \in \R^n \mid x = p + s_1 u_1 + \dotsb + s_{n-1} u_{n-1} ~\text{mit}~ s_1, \dotsc, s_{n-1} \in \R\}</math>,

wobei <math>p \in \R^n</math> ein [[Stützvektor]] der Hyperebene ist und <math>u_1, \dotsc, u_{n-1} \in \R^n</math> [[linear unabhängig]]e [[Richtungsvektor]]en der Hyperebene sind.<ref name="burg">{{Literatur |Autor=Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister |Titel=Höhere Mathematik für Ingenieure Band II: Lineare Algebra |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-2267-3 |Seiten=81}}</ref> Die Richtungsvektoren spannen dabei ein affines [[Koordinatensystem]] auf, wobei <math>(s_1, \dotsc, s_{n-1})</math> die [[Affine Koordinaten|affinen Koordinaten]] eines Punkts der Hyperebene sind.

=== Beispiele ===
* Im eindimensionalen euklidischen Raum stellt jeder [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] eine Hyperebene dar.
* Im zweidimensionalen euklidischen Raum stellt jede [[Gerade]] eine Hyperebene dar.
* Im dreidimensionalen euklidischen Raum stellt jede [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] eine Hyperebene dar.

=== Weitere Darstellungen ===

Neben der obigen [[Parameterform]] gibt es noch weitere Darstellungsformen für Hyperebenen. In [[Normalenform]] lautet die Darstellung einer Hyperebene

: <math>H = \{ x \in \R^n \mid \langle v , x - p \rangle = 0 \}</math>,

wobei <math>v \in \R^n \setminus \{ 0 \}</math> ein [[Normalenvektor]] der Hyperebene ist, <math>p \in \R^n</math> wieder ein Stützvektor der Hyperebene ist und <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] zweier Vektoren bezeichnet.<ref name="schichl">{{Literatur |Autor=[[Hermann Schichl]], Roland Steinbauer |Titel=Einführung in das mathematische Arbeiten |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-28646-9 |Seiten=462}}</ref> In [[Hessesche Normalform|hessescher Normalform]] hat eine Hyperebene die entsprechende Darstellung

: <math>H = \{ x \in \R^n \mid \langle v_0 , x \rangle = d \}</math>,

wobei <math>v_0 \in \R^n \setminus \{ 0 \}</math> ein [[Einheitsvektor|normierter]] und [[Orientierung (Mathematik)|orientierter]] Normalenvektor der Hyperebene ist und <math>d \in \R_0^{+}</math> den [[Abstand]] der Hyperebene vom [[Koordinatenursprung]] beschreibt.<ref name="schichl" /> Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts des Raums von der Hyperebene.

In [[Allgemeine Koordinatenform|allgemeiner Koordinatenform]] lautet die Darstellung einer Hyperebene

: <math>H = \{ (x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n \mid a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n = b \}</math>,

wobei <math>a_1, \dotsc, a_n, b \in \R</math> sind und mindestens einer der Koeffizienten <math>a_1, \dotsc , a_n</math> ungleich null ist.<ref name="knabner">{{Literatur |Autor=Peter Knabner, Wolf Barth |Titel=Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-32186-3 |Seiten=41–42}}</ref> Die Koordinatenform ergibt sich aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren, wobei <math>a_1 = v_1, \dotsc, a_n = v_n</math> und <math>b = \langle v , p \rangle</math> gesetzt werden.

=== Verwendung ===
[[Datei:Secretsharing 3-point.svg|mini|Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit <math>m</math> Gleichungen und <math>n</math> Unbekannten ist der Schnitt von <math>m</math> Hyperebenen im <math>n</math>-dimensionalen Raum (im Bild ist <math>m=n=3</math>)]]

Wie aus der Koordinatenform ersichtlich, stellt die [[Lösungsmenge]] einer [[Lineare Gleichung|linearen Gleichung]] mit <math>n</math> Unbekannten der Form

: <math>a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n = b</math>

eine Hyperebene im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum dar. Jede Zeile eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] beschreibt daher eine solche Hyperebene. Die [[Lineares Gleichungssystem#Lösbarkeit|Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems]] ist dann der [[Schnittmenge|Schnitt]] aller dieser Hyperebenen.<ref name="knabner" /> Entsprechend dazu beschreibt die Lösungsmenge einer linearen [[Ungleichung]] der Form

: <math>a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n \leq b</math>

einen [[Halbraum]] im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum, der von einer Hyperebene begrenzt wird. Die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist dann der Schnitt solcher Halbräume und stellt damit ein [[Konvexe Menge|konvexes]] [[Polytop (Geometrie)|Polytop]] dar, beispielsweise einen [[Hyperwürfel]], ein [[Hyperrechteck]] oder einen [[Simplex (Mathematik)|Simplex]] (Hypertetraeder). Die [[lineare Optimierung]] beschäftigt sich mit Verfahren zur [[Optimierung (Mathematik)|Maximierung]] einer vorgegebenen linearen [[Zielfunktion]] in einem konvexen Polytop.<ref>{{Literatur |Autor=Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann |Titel=Einführung in die Mathematische Optimierung |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-28673-5 |Seiten=24}}</ref>

Eine Hyperebene heißt [[Stützhyperebene]] einer gegebenen Menge im euklidischen Raum, wenn sie den [[Rand (Topologie)|Rand]] der Menge schneidet und die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Ist die Menge konvex, dann existiert für jeden Randpunkt der Menge eine solche Stützhyperebene.<ref>{{Literatur |Autor=Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann |Titel=Einführung in die Mathematische Optimierung |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-28673-5 |Seiten=247}}</ref>

Nach dem [[Satz von Stone-Tukey]] ({{enS|Ham sandwich theorem}}) können <math>n</math> [[Beschränktheit|beschränkte]] [[messbare Menge]]n im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum durch eine Hyperebene gleichzeitig jeweils halbiert werden.

== Lineare Algebra ==
In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wird das Konzept der Hyperebene auf [[Vektorraum|Vektorräume]] über beliebigen [[Körper (Algebra)|Körpern]] und beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] verallgemeinert.

=== Definition ===
Ist <math>V</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>K</math>, dann ist eine Hyperebene eine Teilmenge <math>H \subset V</math> der Form

: <math>H = p + U = \{ p + u \mid u \in U \}</math>,

wobei <math>p \in V</math> ein beliebiger Vektor und <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math> mit [[Kodimension]] <math>1</math> ist. Hyperebenen sind demnach maximale echte [[Affiner Unterraum|affine Unterräume]], das heißt, jeder echte affine Unterraum ist in einer Hyperebene enthalten. Eine Hyperebene wird als ''lineare Hyperebene'' bezeichnet, wenn sie den [[Nullvektor]] enthält, das heißt, wenn in der Definition <math>p = 0</math> gewählt werden kann.

=== Beispiele ===
In den folgenden Beispielen sei <math>K</math> ein Körper der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>0</math>, beispielsweise die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
* Im [[Koordinatenraum]] <math>K^n</math> stellen die [[Koordinatenvektor]]en, die eine lineare Gleichung der Form <math>a_1 x_1 + \dotsb + a_n x_n = b</math> erfüllen, eine Hyperebene dar. Ist <math>b=0</math>, handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
* Im [[Matrizenraum]] <math>K^{m \times n}</math> stellen die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]], bei denen die Summe aller Einträge konstant ist, eine Hyperebene dar. Ist diese Konstante <math>0</math>, handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
* Im [[Polynomraum]] <math>K[X]</math> stellen die [[Polynom]]e der Form <math>c + a_1 X + \dotsb + a_n X^n</math>, wobei <math>c \in K</math> fest vorgegeben ist, eine Hyperebene dar. Im Fall <math>c=0</math> handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
* Im [[Funktionenraum]] <math>V^D</math> stellen die [[Abbildung (Mathematik)|Funktionen]] <math>f \colon D \to V</math> mit <math>f(x_0) = f_0</math> für ein festes <math>x_0 \in D</math> und <math>f_0 \in V</math> eine Hyperebene dar. Im Fall <math>f_0 = 0</math> handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.

=== Weitere Darstellungen ===
Nachdem jeder Untervektorraum der [[Kodimension]] <math>1</math> auch als [[Kern (Algebra)|Kern]] eines [[Lineares Funktional|linearen Funktionals]] <math>f \colon V \to K</math>, das nicht das [[Nullfunktion]]al ist, charakterisiert werden kann, hat eine Hyperebene die Darstellung<ref name="koecher">{{Literatur |Autor=Max Koecher |Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-96772-6 |Seiten=167}}</ref>

: <math>H = p + \operatorname{ker} f</math>.

Durch Setzen von <math>d = f(p)</math> ergibt sich daraus dann die äquivalente Darstellung<ref name="koecher" />

: <math>H = \{ v \in V \mid f(v) = d \}</math>.

Hierbei sind <math>f</math> und <math>d</math> für eine gegebene Hyperebene nur bis auf einen gemeinsamen Faktor eindeutig bestimmt. Umgekehrt stellt das [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] <math>f^{-1}(d)</math> für jedes lineare Funktional <math>f</math>, das ungleich dem Nullfunktional ist, und für jeden Skalar <math>d</math> eine Hyperebene dar.<ref name="koecher" />

Diese Aussagen bleiben auch dann noch gültig, wenn <math>K</math> ein [[Schiefkörper]] und <math>V</math> ein [[Modul (Mathematik)|Linksvektorraum]] über <math>K</math> ist.

=== Verwendung ===
In der [[Funktionalanalysis]] betrachtet man unendlichdimensionale Vektorräume über <math>\R</math> oder <math>\Complex</math>, auf denen eine Topologie erklärt ist, die sie zu [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] macht. Hier interessiert man sich besonders für Hyperebenen, die durch [[Stetiges lineares Funktional|stetige lineare Funktionale]] definiert sind. Da ein lineares Funktional genau dann stetig ist, wenn sein Kern abgeschlossen ist,<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Volume I'', Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 1.2.5</ref> definieren die stetigen linearen Funktionale ungleich dem Nullfunktional genau die abgeschlossenen Hyperebenen. Für [[Normierter Raum|normierte Räume]], allgemeiner [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]], gibt es nach dem [[Satz von Hahn-Banach]] sehr viele solcher stetigen linearen Funktionale und damit auch abgeschlossene Hyperebenen der Form

: <math>H = \{ v \in V \mid \operatorname{Re}(f(v)) = d \}</math>

mit <math>d \in \R</math>. Diese Reichhaltigkeit schlägt sich im [[Trennungssatz]] nieder, nach dem zwei disjunkte konvexe, kompakte Mengen durch eine solche abgeschlossene Hyperebene [[Lineare Separierbarkeit|getrennt]] werden können.

Die Trennungseigenschaft lässt sich auch für [[Affiner Raum|affine Räume]] über [[Angeordneter Körper|angeordneten Körpern]] mit dem Konzept der (starken) [[Seiteneinteilung]] verallgemeinern. Auch für [[Satz von Desargues|nichtdesarguessche]] [[affine Ebene]]n existiert in gewissen Fällen eine (schwache) Seiteneinteilung durch Geraden.

== Projektive Geometrie ==
=== Definition ===
Ist <math>P(V)</math> der [[Projektiver Raum|projektive Raum]] zu dem Vektorraum <math>V</math>, dann ist eine (projektive) Hyperebene eine Teilmenge <math>H \subset P(V)</math> der Form

: <math>H = ( U \setminus \{ 0 \} ) / \sim</math>,

wobei <math>U</math> ein Untervektorraum von <math>V</math> der Kodimension eins ist und die [[Äquivalenzrelation]] <math>\sim</math> skalare Vielfache von Vektoren ungleich dem Nullvektor miteinander identifiziert. Die Hyperebenen in <math>P(V)</math> sind demnach gerade die [[Projektiver Teilraum|projektiven Unterräume]] der Kodimension eins. Eine projektive Hyperebene stellt selbst wieder einen projektiven Raum dar, nämlich gerade den Raum <math>P(U)</math>. Ist <math>V</math> <math>(n+1)</math>-dimensional, dann ist <math>P(V)</math> <math>n</math>-dimensional und <math>P(U)</math> <math>(n-1)</math>-dimensional.

=== Beispiele ===
Ist der zugrunde liegende Vektorraum <math>V</math> der euklidische Raum <math>\R^n</math>, dann gibt es folgende Entsprechungen:

* Eine Hyperebene (ein Punkt) auf der [[Projektive Gerade|projektiven Geraden]] <math>P(\R^2)</math> entspricht einer [[Ursprungsgerade]] in der euklidischen Ebene <math>\R^2</math>.
* Eine Hyperebene (eine Gerade) in der [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] <math>P(\R^3)</math> entspricht einer [[Ursprungsebene]] im euklidischen Raum <math>\R^3</math>.
* Eine Hyperebene (eine Ebene) im [[Projektiver Raum|projektiven Raum]] <math>P(\R^4)</math> entspricht einer Ursprungshyperebene im euklidischen Raum <math>\R^4</math>.

=== Koordinatendarstellung ===
[[Datei:Proj-ebene-homko-def.png|mini|Homogene Koordinaten zweier projektiver Hyperebenen <math>g</math> und <math>h</math> in der projektiven Ebene <math>P(\R^3)</math>]]

Sind <math>(x_0 \colon x_1 \colon \ldots \colon x_n)</math> die [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] eines Punkts im <math>n</math>-dimensionalen projektiven Standardraum <math>P(K^{n+1})</math>, dann hat eine projektive Hyperebene <math>H \subset P(K^{n+1})</math> die Koordinatendarstellung

: <math>H = \{ (x_0 \colon x_1 \colon \ldots \colon x_n) \in P(K^{n+1}) \mid a_0x_0 + a_1x_1 + \dotsb + a_nx_n = 0 \}</math>,

wobei <math>a_0, \dotsc, a_n \in K</math> sind und mindestens einer der Koeffizienten <math>a_0, \dotsc, a_n</math> ungleich null ist.

Eine [[Satz von Desargues|nichtdesarguessche]] projektive Ebene lässt sich jedoch nicht auf diese Weise koordinatisieren. Dort sind die Hyperebenen per Definition die Geraden.

=== Bezug zu affinen Räumen ===
Ist <math>H</math> eine Hyperebene in einem projektiven Raum <math>P</math>, dann stellt die Menge

: <math>A = \varphi(P \setminus H)</math>

einen [[Affiner Raum|affinen Raum]] dar, wobei <math>\varphi \colon P \to A</math> eine entsprechende [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] von <math>P</math> in <math>A</math> ist. Der Translationsraum von <math>A</math> ist dabei gerade der zu <math>H</math> zugehörige Untervektorraum <math>U</math>. Die Punkte von <math>A</math> heißen dann eigentlich, die Punkte von <math>H</math> uneigentlich oder [[Fernelement|Fernpunkte]]. Umgekehrt lässt sich jeder affine Raum durch [[disjunkte Vereinigung]] mit einer Fernhyperebene gleicher Dimension zu einem projektiven Raum

: <math>P = \varphi^{-1}(A)\;\;\!\!\dot\cup\;\;\!\!H</math>

erweitern. Ist beispielsweise <math>P = P(K^{n+1})</math> und <math>H = \{ (0 \colon x_1 \colon \ldots \colon x_n) \mid x_1, \dotsc, x_n \in K \}</math>, dann ist die zugehörige Einbettung <math>\varphi \colon (x_0 \colon \ldots \colon x_n) \mapsto (x_1/x_0, \dotsc, x_n/x_0)</math> mit der Inversen <math>\varphi^{-1} \colon (x_1, \dotsc, x_n) \mapsto (1 \colon x_1 \colon \ldots \colon x_n)</math>.

=== Verwendung ===
Eine Anwendung projektiver Hyperebenen in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] bietet der [[Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte]], der einen Zusammenhang zwischen der Gestalt einer komplexen [[Projektive Varietät|projektiven Varietät]] und der Gestalt ihrer Untervarietäten herstellt.

In der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] haben unter den endlichen affinen oder projektiven Geometrien diejenigen besondere Eigenschaften, bei denen – neben den gewöhnlichen Punkten als Punktmenge – speziell die Hyperebenen des Raumes als [[Blockplan|Blockmenge]] gewählt werden.

== Siehe auch ==
* [[Hyperfläche]], eine Verallgemeinerung von Hyperebenen auf gekrümmte Mannigfaltigkeiten
* [[Householdertransformation]], die Spiegelung eines Vektors an einer Hyperebene

== Literatur ==
'''Reelle Geometrie und Funktionalanalysis'''
* {{Literatur
|Autor=[[Hans Wilhelm Alt]]
|Titel=Lineare Funktionalanalysis
|TitelErg=Eine anwendungsorientierte Einführung
|Auflage=5.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2006
|ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Lehrbuch der Analysis
|TitelErg=Band I und II
|Verlag=Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2003
|ISBN=3-519-62233-5}}
* {{Literatur
|Autor=Harro Heuser
|Titel=Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung
|Auflage=3
|Verlag=Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=1992
|ISBN=3-519-22206-X}}
'''Lineare Algebra und analytische Geometrie'''
* {{Literatur
|Autor=Hermann Schaal
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I und II
|Auflage=2. durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1980
|ISBN=3-528-13057-1}}
* {{Literatur
|Autor=Günter Scheja, Uwe Storch
|Titel=Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra
|Auflage=2., überarb. und erw.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1994
|ISBN=3-519-12203-0}}
* {{Literatur
|Autor=Uwe Storch, Hartmut Wiebe
|Titel=Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker
|Band=Band II: ''Lineare Algebra''
|Verlag=BI-Wissenschafts-Verlag
|Ort=
|Datum=1990
|ISBN=3-411-14101-8}}
'''Anwendungen in der Geometrie''' (Seiteneinteilung)
* {{Literatur
|Autor=Wendelin Degen und Lothar Profke
|Titel=Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie
|Auflage=
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1976
|ISBN=3-519-02751-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Emanuel Sperner]]
|Titel=Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie
|Sammelwerk=Math. Ann.
|Band=121
|Verlag=Teubner
|Datum=1949
|Seiten=107–130}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{EoM|Autor=M. I. Voitsekhovskii|Titel=Hyperplane|Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hyperplane}}
* {{MathWorld|id=Hyperplane|title=Hyperplane}}
* {{PlanetMath|id=hyperplane|author=georgiosl|title=Hyperplane}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Affiner Raum]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Hyperebene - Versionsgeschichte

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