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[[Datei:Hyperboloid1.png|mini|Einschaliges Hyperboloid]]
[[Datei:Hyperboloid2.png|mini|Zweischaliges Hyperboloid]]
Ein '''Hyperboloid''' ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch [[Drehung|Rotation]] einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] um eine ihrer Achsen entsteht ([[Rotationsfläche]]).
* Bei Rotation einer Hyperbel um ihre ''Neben''achse entsteht ein '''einschaliges Hyperboloid.''' Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
* Bei Rotation einer Hyperbel um ihre ''Haupt''achse entsteht ein '''zweischaliges Hyperboloid.''' Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.
Beide [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] lassen sich durch eine [[quadratische Gleichung]] – analog zu den [[Gleichung]]en von [[Ellipse]] und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] – beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von [[Quadrik]]en (z. B. [[Kugel]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], [[Paraboloid]]) und werden typischerweise von [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] in [[Kegelschnitt]]en geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem einschaligen und einem zweischaligen Hyperboloid ist, dass das einschalige Hyperboloid [[Gerade]]n enthält, es also eine [[Regelfläche]] ist, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für [[Architekt]]en und [[Bauingenieurwesen|Bauingenieure]] interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus [[Gerade]]n modellieren lassen. Einige [[Kühlturm|Kühltürme]] haben die Form eines einschaligen Hyperboloids. Auch im [[Maschinenbau]] finden einschalige Hyperboloide Verwendung bei Hyperboloidgetrieben,<ref>{{Literatur |Hrsg=W. Steinhilper |Titel=Konstruktionselemente des Maschinenbaus 2 |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2006 |ISBN=3-540-29629-8 |Seiten=374 |Online=https://books.google.de/books?id=E7ojBAAAQBAJ&printsec=frontcover&pg=374#v=onepage&q&f=false}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://modellsammlung.uni-goettingen.de/index.php?lang=de&r=4&sr=14&m=61 |titel=Modellsammlung d. Uni Göttingen: Hyperboloidgetriebe |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20170918204037/http://modellsammlung.uni-goettingen.de/index.php?lang=de&r=4&sr=14&m=61 |archiv-datum=2017-09-18 |abruf=2023-04-03}}</ref> Einschalige Hyperboloide spielen auch in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] eine Rolle: Eine [[Minkowski-Ebene]] ist die [[Geometrie]] der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von [[Tangentialebene]]n in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (siehe unten), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] gemeinsam und ist deshalb [[geometrisch]] mehr mit einer [[Kugel]] verwandt.

== Eigenschaften ==
=== Einschaliges Einheitshyperboloid ===
[[Datei:Hyperboloid-1s.svg|mini|Einschaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel (oben) bzw. einer Geraden (unten: rot oder blau)]]
[[Datei:Hyperbo-1s-cut-all.svg|mini|Einschaliges Hyperboloid: ebene Schnitte]]
Lässt man die [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] <math>x^2-z^2=1</math> in der x-z-[[Ebene (Mathematik)|Ebene]] um die z-Achse rotieren (siehe Abbildung), so erhält man das einschalige Einheits-Hyperboloid mit der [[Gleichung]]
: <math>H_1\colon\ x^2+y^2-z^2=1</math>.
Bei der [[Drehung|Rotation]] wird <math>x^2</math> durch <math>x^2+y^2</math> ersetzt.

Das einschalige Einheits-Hyperboloid ergibt sich durch [[Drehung|Rotation]] des [[Funktionsgraph|Graphen]] der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f(z) = \sqrt{z^2 + 1}</math> um die <math>z</math>-Achse. Für die [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] gilt <math>f'(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2 + 1}}</math>. Das [[Volumen]] und die Oberfläche für ein einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Höhe <math>h</math> ergeben sich nach den [[Guldinsche Regeln|Guldinschen Regeln]] mithilfe von [[Integralrechnung|Integralen]].
==== Volumen ====
: <math>V = \pi\int_0^h (f(z))^2 \ \mathrm{d}z
= \pi\int_0^h z^2 + 1 \ \mathrm{d}z
= \pi\left(\frac{h^3}{3} + h\right)
= \frac{\pi}{3}\left(h^3 + 3h\right)</math>

==== Oberfläche ====
: <math>\begin{align}
A &= 2\pi\int_0^h f(z)\sqrt{1+\left(f'(z)\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \sqrt{z^2 + 1}\sqrt{1+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + 1}}\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \sqrt{2z^2 + 1} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\left(\frac{1}{2}z\sqrt{2z^2 + 1} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left(\sqrt{2}z + \sqrt{2z^2 + 1}\right)\Big|_{z=0}^{z=h}\right)
\\ &= \pi\left(h\sqrt{2h^2 + 1} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left(\sqrt{2}h + \sqrt{2h^2 + 1}\right)\right)
\end{align}</math>

==== Parameterdarstellung ====
Offensichtlich ist jeder Höhenschnitt mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>z=z_0</math> ein [[Kreis]] mit [[Radius]] <math>\sqrt{1+z_0^2}</math>. Der Schnitt der Ebene <math>x=1</math> liefert die beiden Schnittgeraden <math>(1,t,\pm t)^\top, t\in \R</math>. Durch Rotation dieser Geraden erhält man [[Parameterdarstellung]]en aller Geraden auf dem Hyperboloid:
:<math>g^{\pm}_{\alpha}:
\vec{x}(t)=\begin{pmatrix} \cos\alpha\\ \sin\alpha\\ 0\end{pmatrix}
+ t\cdot \begin{pmatrix} -\sin\alpha\\ \cos\alpha\\ \pm 1\end{pmatrix}\ ,\quad t\in \R,\ 0\le \alpha\le 2\pi</math>
Das einschalige Hyperboloid <math>H_1</math> lässt sich also auch durch [[Drehung|Rotation]] der [[Gerade]]n <math>g^{+}_{0}</math> oder <math>g^{-}_{0}</math> ([[Windschiefe|windschief]] zur [[Rotationsachse]]) erzeugen (siehe Abbildung). Diese Aussage wird in der Literatur als ''Satz von [[Christopher Wren|Wren]]'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=K. Strubecker |Titel=Vorlesungen der Darstellenden Geometrie |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1967 |Seiten=218 |Online=https://people.math.harvard.edu/~knill/history/darstellend/Strubecker.pdf |Format=PDF |KBytes=12500}}</ref>

==== Tangentialebenen ====
Die [[Gleichung]] der [[Tangentialebene]] einer implizit durch <math>f(x,y,z)=0</math> gegebenen [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>\vec x_0=(x_0,y_0,z_0)</math> ist <math>f_x(\vec x_0)(x-x_0)+f_y(\vec x_0)(y-y_0)+f_z(\vec x_0)(z-z_0)=0</math>.

Für <math>H_1</math> ergibt sich
: <math>x_0x+y_0y-z_0z-1=0\ .</math>

==== Ebene Schnitte ====
* Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (1 ist die Neigung der [[Gerade]]n auf dem Hyperboloid) schneiden <math>H_1</math> in einer ''[[Ellipse]],''
* Ebenen mit einer Neigung gleich 1 durch den [[Koordinatenursprung]] schneiden <math>H_1</math> in einem ''parallelen Geradenpaar,''
* Ebenen mit einer Neigung gleich 1 nicht durch den Koordinatenursprung schneiden <math>H_1</math> in einer ''[[Parabel (Mathematik)|Parabel]],''
* Tangentialebenen schneiden <math>H_1</math> in einem sich ''schneidenden Geradenpaar,''
* Ebenen mit einer Neigung größer 1, die keine [[Tangentialebene]]n sind, schneiden <math>H_1</math> in einer ''[[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].''<ref>''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.]'' TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 116.</ref>

Eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die eine Hyperboloid-Gerade <math>e</math> enthält, ist entweder eine [[Tangentialebene]] und enthält damit eine zweite <math>e</math> schneidende Hyperboloid-Gerade oder enthält eine zu <math>e</math> parallele Hyperboloid-Gerade und ist damit Tangentialebene in einem Fernpunkt.

==== Affine Bilder ====
Analog wie eine beliebige [[Ellipse]] als affines Bild des [[Einheitskreis]]es aufgefasst werden kann, ist ein ''beliebiges'' einschaliges Hyperboloid das [[Affine Abbildung|affine Bild]] des Einheitshyperboloids <math>H_1</math>. Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen

:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \ ,\ a,b,c>0.</math>

Im Fall <math>a=b</math> sind die Höhenschnitte [[Kreis]]e. Andernfalls sind es [[Ellipse]]n. Ein solches Hyperboloid nennt man ''einschaliges Rotationshyperboloid''. Dass ein beliebiges einschaliges Hyperboloid auch immer Kreise enthält, wird in [[Kreisschnittebene]] gezeigt.

Da ein beliebiges einschaliges Hyperboloid [[Gerade]]n enthält, ist es eine [[Regelfläche]]. Da jede [[Tangentialebene]] eines einschaligen Hyperboloids in der Nähe seines [[Berührung (Mathematik)|Berührpunktes]] die [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] schneidet, hat es eine negative [[Gaußsche Krümmung]] und ist deswegen nicht abwickelbar, im Gegensatz zu den Regelflächen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], die die Gaußsche Krümmung 0 haben. Aus der üblichen [[Parameterdarstellung]] einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] mit [[Hyperbelfunktion]]en erhält man die folgende Parameterdarstellung des Hyperboloids <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} - \tfrac{z^2}{c^2} = 1:</math>
:<math>\vec x(s,t) =
\begin{pmatrix}
a \cosh s \cos t\\
b \cosh s \sin t\\
c \sinh s
\end{pmatrix}
,\quad s\in \R,\ 0\le t\le 2\pi
</math>
[[Datei:Hyperboloid-1s-rot.svg|mini|hochkant=1.5|Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperboloids durch Rotation einer Gerade (rot)]]
Die Oberfläche kann durch Rotation einer Geraden erhalten werden. Die Gerade mit der Parametergleichung

:<math>\vec{x}(u) = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix}</math>
ist parallel zur y-z-Ebene, hat den Abstand <math>r</math> zur z-Achse und den Steigungswinkel <math>\gamma</math> gegenüber der x-y-Ebene (siehe Bild).

Lässt man diese Gerade um die z-Achse [[Drehmatrix|rotieren]], erhält man eine Fläche mit der Parametergleichung

:<math>\vec{x}(u,v) = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} </math>.

Man rechnet nach, dass im Fall <math>\;0<\gamma < \pi/2 \;</math> die Koordinaten der Flächenpunkte die obige Gleichung eines Rotationshyperboloids mit <math>\; c=r \tan\gamma\; </math> erfüllt. Außerdem erkennt man: die Gerade mit dem Steigungswinkel <math>-\gamma</math> erzeugt dasselbe Hyperboloid (s. Bild). Durch jeden Punkt des Hyperboloids gehen also zwei Geraden (Stangen), was die Stabilität eines Modells erheblich steigert.<br />
(Im Fall <math>\gamma=0</math> liegt die Gerade in der x-y-Ebene und überstreicht das Äußere des Kreises mit der Gleichung <math>x^2+y^2=r^2</math>. Falls <math>\gamma=\pi/2</math> ist, entsteht ein Zylinder mit Radius <math>r</math>.)

==== Homogene Koordinaten ====
Führt man [[homogene Koordinaten]] so ein, dass die [[Fernebene]] durch die [[Gleichung]] <math>x_4=0</math> beschrieben wird, muss man <math>x=\tfrac{x_1}{x_4}, y=\tfrac{x_2}{x_4},z=\tfrac{x_3}{x_4}</math> setzen. Nach Beseitigung des Nenners erhält man die homogene Beschreibung von <math>H_1</math> durch die Gleichung:
:<math>x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2=0</math>.
Der Schnitt des Hyperboloids mit der [[Fernebene]] <math>x_4=0</math> ist ein [[Kreis]].<br />Die Umformung zu <math>(x_1-x_3)(x_1+x_3)+(x_2-x_4)(x_2+x_4)=0</math> und anschließende Einführung neuer [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>u_1=x_1-x_2,\; u_2=x_1+x_3, \; u_3=x_2-x_4,\; u_4=x_2+x_4\; </math> liefert die Beschreibung des einschaligen Hyperboloids in [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] durch die [[Gleichung]]
:<math>u_1u_2+u_3u_4=0\ .</math>
In den neuen [[Koordinatensystem|Koordinaten]] schneidet die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>u_4=0</math> das Hyperboloid in zwei [[Gerade]]n.<br />Führt man jetzt wieder [[affine Koordinaten]] durch <math>x=\tfrac{u_1}{u_4}, y=\tfrac{u_2}{u_4},z=\tfrac{u_3}{u_4}</math> ein, erhält man die [[Gleichung]] eines [[Hyperbolisches Paraboloid|hyperbolischen Paraboloids]]:
:<math>z=-xy \ .</math>
Dies zeigt: Ein einschaliges Hyperboloid ist ''projektiv'' äquivalent zu einem [[Hyperbolisches Paraboloid|hyperbolischen Paraboloid]].

=== Zweischaliges Hyperboloid ===
==== Zweischaliges Einheitshyperboloid ====
[[Datei:Hyperboloid-2s.svg|mini|Zweischaliges Hyperboloid: Erzeugung durch [[Drehung|Rotation]] einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]]]
[[Datei:Hyperbo-2s-ca.svg|mini|Zweischaliges Hyperboloid: ebene Schnitte]]
Lässt man die [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] <math>-x^2+z^2=1</math> in der <math>x</math>-<math>z</math>-[[Ebene (Mathematik)|Ebene]] um die <math>z</math>-Achse rotieren (siehe Abbildung), so erhält man das zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der [[Gleichung]] <math>-x^2-y^2+z^2=1</math> oder in üblicher Form
:<math>H_2\colon\ x^2+y^2-z^2=-1</math>.
Der Schnitt der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>z=z_0</math> mit <math>H_2</math> ist ein [[Kreis]] (falls <math>z_0^2>1</math>) oder ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] (falls <math>z_0=\pm 1</math>) oder leer (falls <math>z_0^2<1</math>). <math>H_2</math> besteht aus zwei Teilen, entsprechend den zwei Teilen der [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].

Das zweischalige Einheits-Hyperboloid ergibt sich durch [[Drehung|Rotation]] des [[Funktionsgraph|Graphen]] der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f(z) = \sqrt{z^2 - 1}</math> um die <math>z</math>-Achse. Für die [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] gilt <math>f'(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}</math>. Das [[Volumen]] und die Oberfläche für ein zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Höhe <math>h - 1</math> ergeben sich nach den [[Guldinsche Regeln|Guldinschen Regeln]] mithilfe von [[Integralrechnung|Integralen]].

==== Volumen ====
: <math>V = \pi\int_1^h (f(z))^2 \ \mathrm{d}z
= \pi\int_1^h z^2 - 1 \ \mathrm{d}z
= \pi\left(\frac{h^3}{3} - h + \frac{2}{3}\right)
= \frac{\pi}{3}\left(h^3 - 3h + 2\right)</math>

==== Oberfläche ====
: <math>\begin{align}
A &= 2\pi\int_0^h f(z)\sqrt{1+\left(f'(z)\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \sqrt{z^2 - 1}\sqrt{1+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}\right)^2} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\int_0^h \sqrt{2z^2 - 1} \ \mathrm{d}z
\\ &= 2\pi\left(\frac{1}{2}z\sqrt{2z^2 - 1} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left(\sqrt{2}z + \sqrt{2z^2 - 1}\right)\Big|_{z=0}^{z=h}\right)
\\ &= \pi\left(h\sqrt{2h^2 - 1} - \sqrt{2}\ln \left(\sqrt{2}h + \sqrt{2h^2 - 1}\right)\right)
\end{align}</math>

==== Tangentialebenen ====
Die [[Tangentialebene]] von <math>H_2</math> in einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>(x_0,y_0,z_0)</math> hat die [[Gleichung]] (siehe oben)
* <math>x_0x+y_0y-z_0z+1=0\ .</math>

==== Ebene Schnitte ====
* Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (Neigung der [[Asymptote]]n der erzeugenden [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]) schneiden <math>H_2</math> entweder in einer ''[[Ellipse]]'' oder in einem ''[[Punkt (Geometrie)|Punkt]]'' oder nicht,
* Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und durch den [[Koordinatenursprung]] schneiden <math>H_2</math> nicht,
* Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und nicht durch den Koordinatenursprung schneiden <math>H_2</math> in einer ''[[Parabel (Mathematik)|Parabel]],''
* Ebenen mit einer Neigung größer 1 schneiden <math>H_2</math> in einer ''[[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].''<ref>''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.]'' TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 122.</ref>

==== Affine Bilder ====
Ein ''beliebiges'' zweischaliges Hyperboloid ist das [[Affine Abbildung|affine Bild]] des Einheitshyperboloids <math>H_2</math>. Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \ ,\ a,b,c>0.</math>
Im Fall <math>a=b</math> sind die Höhenschnitte [[Kreis]]e. Andern falls sind es [[Ellipse]]n. Ein solches Hyperboloid nennt man ''zweischaliges Rotationshyperboloid''. Dass ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid auch immer Kreise enthält, wird in [[Kreisschnittebene]] gezeigt.

Für ein zweischaliges Hyperboloid <math>\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} - \tfrac{z^2}{c^2} = -1</math> ergibt sich die folgende [[Parameterdarstellung]]:
:<math>\vec x(s,t) =
\begin{pmatrix}
a \sinh s \cos t\\
b \sinh s \sin t\\
\pm \, c\cosh s
\end{pmatrix}
,\quad s\in \R,\ 0\le t\le 2\pi
</math>

==== Homogene Koordinaten ====
Führt man wie bei '''<math>H_1</math>''' [[homogene Koordinaten]] ein, erhält man die homogene Beschreibung von '''<math>H_2</math>''' durch die [[Gleichung]]:
:<math>x_1^2+x_2^2-x_3^2+x_4^2=0</math>.
Vertauscht man die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] <math>x_3,x_4</math> und kehrt wieder zu [[Affine Koordinaten|affinen Koordinaten]] zurück, ergibt sich die [[Gleichung]] der [[Einheitskugel]]:
:<math>x^2+y^2+z^2=1 \ .</math>
Dies zeigt: Ein zweischaliges Hyperboloid ist ''projektiv'' äquivalent zu einer [[Kugel]].

== Symmetrieeigenschaften ==
Wie [[Ellipse]]n und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] haben auch Hyperboloide Scheitel und Nebenscheitel und [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]. Die Hyperboloide <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 , \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \ </math>sind offensichtlich
* [[punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]],
* [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] zu den [[Koordinatenebene]]n sowie
* [[rotationssymmetrisch]] zur z-Achse und symmetrisch zu jeder [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] durch die z-Achse, falls <math>a=b</math> ist.

== Doppelkegel ==
[[Datei:DoubleCone.png|mini|[[Doppelkegel]]]]
Den [[Doppelkegel]] <math>x^2+y^2-z^2=0</math> kann man als [[Grenzfläche]] zwischen den Scharen von einschaligen bzw. zweischaligen Hyperboloiden <math>x^2+y^2-z^2=c^2</math> bzw. <math>x^2+y^2-z^2=-c^2</math> auffassen. Er entsteht durch [[Drehung|Rotation]] der gemeinsamen [[Asymptote]]n der Erzeuger-Hyperbeln.

== Gemeinsame Parameterdarstellung ==
Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Hyperboloide zu [[parametrisieren]]. Eine einfache Möglichkeit, das einschalige und zweischalige Hyperboloid und den [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] zu parametrisieren, ist:

:<math>\vec x(s,t)=
\begin{pmatrix}
a\ \sqrt{s^2+d}\ \cos t\\
b\ \sqrt{s^2+d}\ \sin t\\
c s
\end{pmatrix}
</math>

Für <math>d=1</math> ergibt sich ein einschaliges, für <math>d=-1</math> ein zweischaliges Hyperboloid und für <math>d=0</math> ein [[Doppelkegel]].

== Anwendung ==
=== Architektur ===
[[Datei:Les Essarts-le-Roi Château d'eau.JPG|mini|Wasserturm in Frankreich in Form eines einschaligen Rotationshyperboloids]]
[[Datei:Kobe port tower11s3200.jpg|mini|Hafenturm in Kobe (Japan) in Form eines einschaligen Rotationshyperboloids]]
Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im [[Bauwesen]] bei [[Hyperboloidkonstruktion]]en angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute [[Wladimir Grigorjewitsch Schuchow|Wladimir Schuchow]] für die [[Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896]].

Der Architekt [[Antoni Gaudí]] verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk [[Mae West (Kunstwerk)|Mae West]] in [[München]] ist ein 52 Meter hoher [[Rotationshyperboloid]] aus [[Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff|kohlenstofffaserverstärktem Kunststoff]].

=== Optik ===
[[Datei:Casegraintelescope.png|mini|450px|Strahlengang eines Cassegrain-Teleskops, links der konvex-hyperbolische Fangspiegel, rechts der konkav-parabolische Hauptspiegel]]
In Teleskopen, die nach der [[Cassegrain-Teleskop|Cassegrain-Bauweise]] aufgebaut sind, gibt es einen konvex-hyperbolischen Fangspiegel.

== Siehe auch ==
* [[HP-Schale]]
* [[Ellipsoid]]
* [[Paraboloid]]
* [[Rotationsparaboloid]]
* [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]
* [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
* [[Konfokale Quadriken]]
* [[NIGRES-Stromleitungsmast an der Oka]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Albrecht Beutelspacher]], Ute Rosenbaum
|Titel=Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen
|Reihe=Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik
|Auflage=2., durchgesehene und erweiterte
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2004
|ISBN=3-528-17241-X
|Online=[http://d-nb.info/972794298/04 online]
|Abruf=2012-04-01}}
* {{Literatur
|Autor=Burkard Polster
|Titel=A geometrical picture book
|Auflage=1.
|Verlag=Springer
|Ort=New York / Berlin / Heidelberg
|Datum=1998
|ISBN=0-387-98437-2}}
* {{Literatur
|Autor=Hermann Schaal
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie
|Band=III
|Verlag=Vieweg
|Datum=1980
|ISBN=3-528-13057-1}}
* {{Literatur
|Autor=Günter Scheja, Uwe Storch
|Titel=Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra
|Auflage=2., überarb. und erw.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1994
|ISBN=3-519-12203-0}}
* {{Literatur
|Autor=Uwe Storch, Hartmut Wiebe
|Titel=Lehrbuch der Mathematik
|Auflage=2., überarb. und erw.
|Verlag=BI-Wissenschafts-Verlag
|Datum=1999
|ISBN=3-411-14101-8}}

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{MathWorld|id=Hyperboloid|title=Hyperboloid}}
* {{Webarchiv |url=http://www.exopas.com/beta/faces/pages/gallery/animated.jsp |text=''Animiertes Hyperboloid bei EXOPAS.'' |wayback=20100805010909}}.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]

Hyperboloid - Versionsgeschichte

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