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In der [[Geometrie]] ist der '''hyperbolische Raum''' ein Raum mit konstanter negativer Krümmung. Er erfüllt die Axiome der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] mit Ausnahme des [[Parallelenaxiom]]s. Der zweidimensionale hyperbolische Raum mit konstanter Krümmung <math>-1</math> heißt [[hyperbolische Ebene]].

== Definition ==
Sei <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]]. Der '''n-dimensionale hyperbolische Raum''' <math>\mathbb H^n</math> ist die [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|n-dimensionale]],
[[einfach zusammenhängend]]e, [[Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit|vollständige]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] mit [[Schnittkrümmung]] konstant <math>-1</math>.

Die Existenz des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes ergibt sich aus den unten angegebenen Modellen, die Eindeutigkeit aus dem Satz von Cartan.

Gelegentlich wird die Bezeichnung ''hyperbolischer Raum'' auch allgemeiner für [[Gromov-hyperbolischer Raum|<math>\delta</math>-hyperbolische Räume]] im Sinne von [[Michail Leonidowitsch Gromow|Gromov]] verwendet. Dieser Artikel betrachtet jedoch im Folgenden nur den hyperbolischen Raum mit Schnittkrümmung −1. Am Ende des Artikels werden weitere (teilweise nicht kompatible) in der Mathematik vorkommende Verwendungen des Begriffes „Hyperbolischer Raum“ aufgelistet.

== Eindeutigkeit ==
Aus einem [[Satz von Cartan-Ambrose-Hicks#Satz von Cartan|Satz von Elie Cartan]] folgt, dass der n-dimensionale hyperbolische Raum bis auf Isometrie eindeutig ist. Insbesondere sind die unten angegebenen Modelle des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes alle isometrisch zueinander.

== Eigenschaften ==
[[Bild:Hyperbolic triangle.svg|mini|250px|right|Hyperbolisches Dreieck]]
Zu jeder [[Geodäte]] <math>L</math> und jedem Punkt <math>P\not\in L</math> gibt es unendlich viele zu <math>L</math> disjunkte Geodäten durch <math>P</math>.

Die [[Innenwinkelsumme]] von Dreiecken ist stets kleiner als <math>\pi</math>. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist <math>\pi - (\alpha+\beta+\gamma)</math>, wobei <math>\alpha,\beta,\gamma</math> die Innenwinkel sind.

=== Trigonometrie ===
Es gelten die Formeln der hyperbolischen Trigonometrie:
:<math>\frac{\sin \alpha}{\sinh a} = \frac{\sin \beta}{\sinh b} = \frac{\sin \gamma}{\sinh c}</math>
und
:<math>\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b \cos \gamma,\,</math>
wobei <math>\alpha,\beta,\gamma</math> die [[Innenwinkel]] eines Dreiecks und <math>a,b,c</math> die Längen der gegenüberliegenden Seiten sind.

=== Exponentielles Wachstum ===
Das Volumen eines Balles vom Radius <math>r</math> ist
:<math> \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left (\frac{n}{2} \right )}\int_0^r \sinh^{n-1}(\rho)\, d\rho</math>,
es wächst somit exponentiell mit dem Radius.

=== Isometrien ===
Geodätische Halbgeraden in <math>\mathbb H^n</math> heißen ''asymptotisch'', wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge der geodätischen Halbgeraden. Der ''[[Rand im Unendlichen]]'' <math>\partial_\infty \mathbb H^n</math> ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Halbgeraden. Jede Isometrie <math>f\colon\mathbb H^n\rightarrow\mathbb H^n</math> lässt sich auf den Rand im Unendlichen <math>\partial_\infty H^n</math> fortsetzen.

Die Isometrien des hyperbolischen Raumes fallen in die folgenden (bis auf die Identitäts-Abbildung disjunkten) Klassen:
* [[Elliptische Isometrie|''elliptisch'']]: <math>f</math> hat einen Fixpunkt in <math>\mathbb H^n</math>,
* [[Loxodromische Isometrie|''loxodromisch'']]: <math>f</math> hat keinen Fixpunkt in <math>\mathbb H^n</math>, lässt aber zwei Punkte in <math>\partial_\infty\mathbb H^n</math> und die sie verbindende Geodäte invariant,
* [[Parabolische Isometrie|''parabolisch'']]: <math>f</math> lässt einen Punkt <math>p\in\partial_\infty \mathbb H^n</math> und seine Horosphären invariant.

Die Gruppe der Isometrien des <math>\mathbb H^n</math> ist isomorph zu <math>O^+(n,1)</math>.

== Modelle ==
=== Poincaré-Halbraum-Modell ===
[[Bild:Poincare halfplane heptagonal hb.svg|400px|right|mini|Teilung der oberen [[Halbebene]] in isometrische geodätische Siebenecke]]
Der [[Halbraum]]
:<math>\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n: x_n>0\right\}\subset \mathbb R^n</math>
mit der Riemannschen Metrik
:<math>\frac{(dx_1)^2+\ldots+(dx_n)^2}{x_n^2}</math>
ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

Für <math>n=2</math> wird es auch als Poincaré-Halbebenen-Modell bezeichnet.

=== Poincaré-Ball-Modell ===
[[Bild:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png|mini|Teilung der Kreisscheibe: Gleichfarbige Gebiete sind isometrisch zueinander im Poincaré-Ball-Modell.]]

Die offene Kugel
:<math> \left\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n: x_1^2+\ldots+x_n^2<1\right\}\subset \mathbb R^n</math>
mit der Riemannschen Metrik
:<math>4\frac{(dx_1)^2+\ldots+(dx_n)^2}{\left(1-x_1^2-\ldots-x_n^2\right)^2}</math>
ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

Für <math>n=2</math> wird es auch als Poincaré-Kreisscheiben-Modell bezeichnet.

=== Hyperboloid-Modell ===
Betrachte den <math>\mathbb R^{n+1}</math> mit der [[Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit|Pseudo-Riemannschen Metrik]] <math>-(dx_1)^2+(dx_2)^2+\ldots+(dx_{n+1})^2</math>.

Das Hyperboloid
:<math>\left\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb R^{n+1}: -x_1^2+x_2^2\ldots+x_{n+1}^2=- 1,x_1>0\right\}\subset \mathbb R^{n+1}</math>
mit der induzierten Metrik ist ein Modell des hyperbolischen Raumes.

=== Projektives Modell ===
[[Datei:Uniform tiling 73-t1 klein.png|mini|240px|Teilung der Kreisscheibe in Drei- und Siebenecken, die im Beltrami-Klein-Modell geodätisch und jeweils isometrisch zueinander sind.]]
Sei <math>p\colon\mathbb R^{n+1}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb RP^n</math> die kanonische Projektion auf den [[Projektiver Raum|projektiven Raum]], dann erhält man das projektive Modell des hyperbolischen Raumes als Bild des Hyperboloids unter <math>p</math>.

Nach der Identifikation <math>\mathbb RP^n=\mathbb R^n\cup\mathbb RP^{n-1}</math> entspricht das projektive Modell der Menge
:<math> \left\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n: x_1^2+\ldots+x_n^2<1\right\}\subset \mathbb R^n</math>.
Abstände berechnen sich gemäß der Hilbert-Metrik
:<math>d(p,q)=\frac{1}{2} \log \frac{|qa||bp|}{|pa||bq|}</math>,
wobei die Betragsstriche für euklidische Abstände stehen sollen und <math>a,b</math> die Schnittpunkte der Geodäten durch <math>p,q</math> mit der Einheitssphäre sind.

=== Historie ===
Das Projektive Modell, das Poincaré-Ball-Modell und das Poincaré-Halbraum-Modell wurden 1868 von [[Eugenio Beltrami]] konstruiert, alle drei als Bilder eines weiteren (sogenannten „hemisphärischen“) Modells unter geeigneten Isometrien. Das Poincaré-Ball-Modell war für <math>n=2</math> bereits 1850 von [[Joseph Liouville|Liouville]] untersucht worden und das projektive Modell kam 1859 in einer Arbeit [[Arthur Cayley|Cayleys]] zur [[projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] vor, allerdings ohne Herstellung des Zusammenhangs zur hyperbolischen Geometrie.

Zuvor hatten [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] und [[János Bolyai]] eine auf Axiomen aufbauende Theorie des hyperbolischen Raumes entwickelt und zahlreiche seiner Eigenschaften formal hergeleitet. Erst mit den von Beltrami angegebenen Modellen war aber der Beweis erbracht, dass die [[hyperbolische Geometrie]] widerspruchsfrei ist.

[[Henri Poincaré]] entdeckte, dass die hyperbolische Geometrie auf natürliche Weise bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und in der Zahlentheorie (bei der Untersuchung von [[Quadratische Form|quadratischen Formen]]) vorkommt. Im Zusammenhang mit der Untersuchung ternärer quadratischer Formen benutzte er 1881 erstmals das Hyperboloid-Modell.

== Homogener Raum ==
Der hyperbolische Raum ist der [[Homogener Raum|homogene Raum]]
:<math>\mathbb H^n=O(n,1)/(O(n)\times O(1))=O_0(n,1)/O(n)=SO_0(n,1)/SO(n),</math>
wobei <math>(S)O_0(n,1)</math> die [[Zusammenhangskomponente der Eins]] in <math>(S)O(n,1)</math> bezeichnet.

Damit ist hyperbolische Geometrie eine Geometrie im Sinne von Felix Kleins [[Erlanger Programm]].

Für <math>n=2,3</math> hat man auch die Darstellungen
:<math>\mathbb H^2=SL(2,\mathbb R)/SO(2)</math>
:<math> \mathbb H^3=SL(2,\mathbb C)/SU(2)</math>.

== Einbettung in den euklidischen Raum ==
Der hyperbolische Raum <math>\mathbb H^n</math> besitzt eine [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|isometrische]] <math>C^\infty</math>-[[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] in den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\mathbb R^{4n-3}</math>.<ref>Oláh-Gál: ''The n-dimensional hyperbolic space in E<sup>4n−3</sup>.'' Publ. Math. Debrecen 46 (1995), no. 3-4, 205–213.</ref>

== Andere Verwendungen des Begriffs „hyperbolischer Raum“ ==
* In der [[metrischer Raum|metrischen Geometrie]] sind <math>\delta</math>-hyperbolische Räume im Sinne von [[Michail Leonidowitsch Gromow|Gromov]] (auch als Gromov-hyperbolische Räume bezeichnet) eine Klasse von metrischen Räumen, zu der unter anderem [[einfach zusammenhängend]]e Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung (insbesondere also auch der hyperbolische Raum) gehören. Endlich erzeugte Gruppen werden als [[hyperbolische Gruppe]]n bezeichnet, wenn ihr [[Cayley-Graph]] ein <math>\delta</math>-hyperbolischer Raum ist.
* In der Theorie der [[Symmetrischer Raum|symmetrischen Räume]] gibt es neben den in diesem Artikel betrachteten hyperbolischen Räumen, die in diesem Zusammenhang oft als reell-hyperbolische Räume bezeichnet werden, noch die [[Komplex-hyperbolischer Raum|komplex-hyperbolischen]] und [[Quaternionisch-hyperbolischer Raum|quaternionisch-hyperbolischen Räume]] sowie die [[Cayley-hyperbolische Ebene]]. Diese werden für <math>\mathbb K=\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H</math> oder <math>\mathbb O</math> definiert als <math>\left\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb K^{n+1}: x_1^2-x_2^2\ldots-x_{n+1}^2=1\right\}\subset \mathbb K^{n+1}</math> mit der induzierten Riemannschen Metrik.
* In der [[Inzidenzgeometrie]] ist ein hyperbolischer Raum ein angeordneter Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation und der Eigenschaft, dass jede Ebene mit der induzierten Anordnung und Kongruenzrelation eine hyperbolische Ebene im Sinne von Karzel-Sörensen-Windelberg<ref>Karzel-Sörensen-Windelberg: ''Einführung in die Geometrie.'' Göttingen 1973</ref> ist. Insbesondere gibt es in der endlichen Geometrie den Begriff endlicher hyperbolischer Räume.
* In der [[Komplexe Analysis|komplexen Analysis]] heißt eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] <math>X</math> Brody-hyperbolisch, wenn jede holomorphe Abbildung <math>f\colon\mathbb C\rightarrow X</math> konstant ist. Dies gilt insbesondere für die durch das Poincaré-Kreisscheiben-Modell gegebene komplexe Struktur auf der hyperbolischen Ebene, siehe [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]].
* Ebenfalls in der komplexen Analysis heißt eine komplexe Mannigfaltigkeit Kobayashi-hyperbolisch (oder nur hyperbolisch), wenn die Kobayashi-Pseudo-Metrik eine Metrik ist. Für [[kompakter Raum|kompakte]] komplexe Mannigfaltigkeiten sind Brody-Hyperbolizität und Kobayashi-Hyperbolizität äquivalent.
* In der komplexen Differentialgeometrie heißen [[Kähler-Mannigfaltigkeit]]en <math>(M,\omega)</math> [[Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit|Kähler-hyperbolisch]], wenn die hochgehobene [[Kählerform]] <math>\widetilde{\omega}</math> der [[Universelle Überlagerung|universellen Überlagerung]] <math>\widetilde{M}</math> das Differential einer beschränkten [[Differentialform]] ist.
* In der [[Homotopietheorie]] ist ein hyperbolischer Raum ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> mit <math>\sum_i rk(\pi_iX)=\infty</math>. Hier bezeichnet <math>\pi_iX</math> die i-te [[Homotopiegruppe]] und <math>rk</math> ihren [[Rang einer abelschen Gruppe|Rang]]. Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit der in diesem Artikel besprochenen.

== Literatur ==
* Eugenio Beltrami: ''Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea.'' Giornale Matemat. 6 (1868), 284–312
* Eugenio Beltrami: ''Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante.'' Ann. Mat. Ser. II 2 (1868–69), 232–255, [[doi:10.1007/BF02419615]].
* Felix Klein: ''Über die sogenannte nicht-euklidische Geometrie'' Math. Ann. 4 (1871), 573–625, [[doi:10.1007/BF01443189]].
* Henri Poincaré: ''Théorie des groupes fuchsiens.'' Acta Math. 1 (1882), 1–62 [http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/pdf/hp1882am.pdf pdf]
* Henri Poincaré: ''Mémoire sur les groupes kleinéens.'' Acta Math. 3 (1883), 49–92 [http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/pdf/hp1883ama.pdf pdf]
* Henri Poincaré: ''Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques.'' Assoc. Franç. Compt. Rend. 1881, 132–138 [http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/pdf/hp1881af.pdf pdf]

Die 6 obigen Arbeiten sind ins Englische übersetzt in:
* Stillwell, John: ''Sources of hyperbolic geometry.'' History of Mathematics, 10. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 1996. x+153 pp. ISBN 0-8218-0529-0

== Weblinks ==
* Cannon, Floyd, Kenyon, Parry: [http://www.math.brown.edu/~rkenyon/papers/cannon.pdf Hyperbolic Geometry] (PDF; 425 kB)

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit]]

Hyperbolischer Raum - Versionsgeschichte

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