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2025-12-14T21:28:03Z

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[[Datei:Hyperspace tiling 4-5.svg|mini|Modell einer [[Parkettierung]] einer Ebene mit Quadraten. An den Ecken treffen dabei mehr als vier zusammen (je nach Größe, hier fünf).]]
Die '''hyperbolische Geometrie''' (auch '''Lobatschewskische Geometrie''' oder '''Lobatschewski-Geometrie''' genannt) ist ein Beispiel für eine [[nichteuklidische Geometrie]], das man erhält, wenn man zu den Axiomen der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]] anstelle des [[Parallelenaxiom]]s, das die [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrien]] kennzeichnet, das diesem widersprechende ''hyperbolische Axiom''<ref name="Klotzek">Klotzek (2001), 2.1</ref> hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer [[Gerade]]n ''g'' und einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] ''P'' (der nicht auf ''g'' liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (''h'' und ''i'') gibt, die durch ''P'' gehen und zu ''g'' parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (''h'' und ''i'' haben nur einen gemeinsamen Punkt ''P'').

Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden ''g'' durch jeden Punkt außerhalb von ''g'' unendlich viele ''Nichtschneidende'' („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen.<ref name="Klotzek" /> Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen ''grenzparallel'' (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden ''überparallel'' (auch: hyperparallel) genannt werden.

== Darstellungen der reellen hyperbolischen Ebene ==
Es gibt verschiedene Arten, wie die reelle hyperbolische Ebene in der reellen euklidischen Ebene dargestellt werden kann. Die meisten davon lassen sich für höhere Dimensionen verallgemeinern.

Auf jede dieser Arten wird die gleiche abstrakte hyperbolische Geometrie dargestellt: ''Die reelle hyperbolische Ebene.''
Es ist daher möglich, zwischen diesen Darstellungen umzurechnen und Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten „Modell“ unabhängig. Gewöhnlich spricht man in der Mathematik dann von unterschiedlichen Modellen, wenn zwei nicht isomorphe Strukturen das gleiche Axiomensystem erfüllen. Insofern beschreiben die folgenden „Modelle“ die gleiche Struktur, sind also nur verschiedene Darstellungen eines Modells. Diese Darstellungen werden jedoch in der Literatur immer als ''Modelle'' bezeichnet, so auch hier. Zu hyperbolischen Ebenen über anderen Körpern und mehr als zweidimensionalen hyperbolischen Räumen siehe [[Metrische absolute Geometrie]].

=== Kreisscheibenmodell von Beltrami und Klein ===
{{Hauptartikel|Beltrami-Klein-Modell}}
In dieser von [[Eugenio Beltrami]] und [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] entwickelten Darstellung gilt:
* Die hyperbolische Ebene wird durch eine [[Offene Menge|offene]] [[Kreis#Kreisfläche|Kreisscheibe]] modelliert.
* Hyperbolische Geraden werden durch [[Sehne (Mathematik)|Sehnen]] modelliert.
* Längen werden durch eine spezielle [[Distanzfunktion]] definiert (auch die Winkel sind verschieden von den euklidischen Werten).

Diese Darstellung ist auch unter dem Namen „Bierdeckelgeometrie“ bekannt.<ref>Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: ''Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter''. Vieweg+Teubner Verlag, 5. erweiterte Auflage, 2012, ISBN 978-3-8348-1234-6, S. 71 ({{Google Buch |BuchID=PAdSPOBYHPUC |Seite=71 |Linktext=Auszug (Google) |KeinText=ja}})</ref>

==== Distanzfunktion ====
[[Datei:Distanz in hyperbolischer Geometrie.svg|mini|Abstand zweier Punkte in einer hyperbolischen Geometrie]]
Sind ''A'' und ''B'' zwei Punkte der Kreisscheibe, so trifft die durch ''A'' und ''B'' verlaufende Sehne den Kreis in zwei Punkten ''R'' und ''S''.
Der hyperbolische Abstand von ''A'' und ''B'' wird nun mit Hilfe des [[Doppelverhältnis]]ses
<math>(A,B,R,S)</math> definiert:
:<math>d(A,B)=\frac{1}{2} \ln (A,B,R,S) = \frac{1}{2} \ln\frac{\overline{RB} \cdot \overline{SA}}{\overline{RA}\cdot\overline{SB}}</math>.

=== Poincarésches Kreisscheibenmodell ===
{{Hauptartikel|Poincaré-Kreisscheibenmodell}}
Bei dem auf Beltrami zurückgehenden Kreisscheibenmodell von [[Henri Poincaré]] gilt:
* Die hyperbolische Ebene wird durch eine offene Kreisscheibe (meist den Einheitskreis) modelliert.
* Hyperbolische Geraden werden durch [[Kreisbogen|Kreisbögen]] (und [[Durchmesser]]), die auf dem Rand senkrecht stehen, modelliert.
* Die hyperbolische [[Winkelmessung]] entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren [[Tangente]]n am Schnittpunkt bestimmt wird.
* Die hyperbolische Längenmessung erfolgt durch eine spezielle Distanzfunktion.

==== Distanzfunktion ====
Seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei Punkte der Kreisscheibe. Fasst man die Ebene als komplexe Zahlenebene auf, so entsprechen den Punkten <math>A</math>, <math>B</math> komplexe Zahlen <math>a</math>, <math>b</math>.
Der hyperbolische Abstand von <math>A</math> und <math>B</math> wird nun mit Hilfe dieser komplexen Zahlen definiert:
:<math>d(A,B)= \operatorname{arcosh}\left(1 + \frac{2 \cdot \left\| a - b \right\|^2}{\left(1-\left\| a \right\|^2\right)\cdot\left(1-\left\| b \right\|^2\right)}\right)</math>

=== Poincarésches Halbebenenmodell ===
{{Hauptartikel|Poincaré-Halbebenenmodell}}
Bei dem auf Beltrami zurückgehenden Halbebenenmodell von Henri Poincaré gilt:
* Die hyperbolische Ebene wird durch die obere [[Halbebene]] (y>0) modelliert.
* Hyperbolische Geraden werden durch Kreisbögen (und [[Halbgerade]]n) modelliert, die auf der x-Achse senkrecht stehen.
* Die hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt wird.

==== Distanzfunktion ====
Der Abstand zwischen zwei Punkten der oberen Halbebene wird mit der folgenden Formel berechnet:
:<math>\operatorname{d} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \operatorname{arcosh} \left( 1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 }{ 2 y_1 y_2 } \right) \,.</math>

=== Hyperboloid-Modell ===
Das auf Poincaré zurückgehende Hyperboloidmodell bettet die hyperbolische Ebene in den dreidimensionalen [[Minkowskiraum]] ein.

== Erlanger Programm ==
{{Hauptartikel|Erlanger Programm}}

Im Sinne von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]]s [[Erlanger Programm]] ist hyperbolische Geometrie die Geometrie von
:<math> \big( O(n,1),O(n) \times O(1) \big)</math>.
Das [[Beltrami-Klein-Modell]] zeigt, dass man hyperbolische Geometrie als Teil der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] auffassen kann.

== Hyperbolisches Dreieck ==
[[Datei:Dreieck im hyperbolischen Raum.svg|mini|[[Hyperbolisches Dreieck]]]]
{{Hauptartikel|Hyperbolisches Dreieck}}Ein hyperbolisches Dreieck ist in der hyperbolischen Geometrie ein Dreieck in der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]]. Es besteht aus drei Liniensegmenten, den ''Seiten'' oder ''Kanten'', und drei [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], den ''Winkeln'' oder ''Scheitelpunkten''. Wie bei einem [[Dreieck]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] liegen drei Punkte eines [[Hyperbolischer Raum|hyperbolischen Raums]] beliebiger Dimension immer auf derselben Ebene. Daher beschreiben planare hyperbolische Dreiecke auch Dreiecke, die in jeder höheren Dimension hyperbolischer Räume möglich sind.
In der reellen hyperbolischen Geometrie ist die [[Winkelsumme]] in einem Dreieck immer kleiner als <math>\pi</math>. Für sehr große Dreiecke kann sie beliebig klein werden. Die Fläche des Dreiecks wird nach [[Johann Heinrich Lambert]]s Formel berechnet:
:<math>\pi - ( \alpha + \beta + \gamma ) = C \ \Delta</math>
wobei ''<math>\alpha</math>'', ''<math>\beta</math>'' und ''<math>\gamma</math>'' die jeweiligen Winkel, ''<math>\Delta</math>'' die Fläche und die Konstante ''<math>C</math>'' ein Skalierungsfaktor ist. Der Skalierungsfaktor ''<math>C</math>'' ist abhängig vom verwendeten Einheitensystem und im Grunde gleich 1 zu setzen. Ist der Faktor ''<math>C</math>'' negativ, spricht man von einer (positiven) [[Gaußsche Krümmung|Gaußschen Krümmung]]. Analog dazu definierte [[Thomas Harriot]] zuvor im Jahr 1603 die Formel
:<math>\Delta = R^2 \,(\alpha + \beta + \gamma - \pi)</math>
für die Fläche eines Dreiecks auf einer Kugeloberfläche, das von Kreisen mit demselben Radius wie die Kugel gebildet wird. Hierbei gilt der Zusammenhang
:<math>C = -\frac{1}{R^2}</math>
Da für die hyperbolische Geometrie ein positiver Wert für ''<math>C</math>'' erforderlich ist, muss es sich bei ''<math>R</math>'' aufgrund von
:<math>R = (-C)^{-\frac{1}{2}}</math>
um einen [[Imaginäre Zahl|imaginären]] Radius handeln.

== Siehe auch ==
* [[Hyperbolischer Raum]]
* [[Elliptische Geometrie]]
* [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski|Nikolai Lobatschewski]]
* [[János Bolyai]]
* [[Giovanni Girolamo Saccheri]] und [[Saccheri-Viereck]]

== Literatur ==
;Geschichte
* {{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic |Auflage=2 |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=1989 |ISBN=0-19-853935-5}}
* Marvin Jay Greenberg: ''Euclidean & Non-Euclidean Geometries: Development and History.'' W. H. Freeman, 1993, ISBN 0-7167-2446-4.
* {{Literatur |Autor=[[David Hilbert]] |Titel=Grundlagen der Geometrie |Auflage=14 |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart/Leipzig |Datum=1999 |ISBN=3-519-00237-X |Online=[https://archive.org/details/grunddergeovon00hilbrich Online-Kopie der Ausgabe von 1903] |Abruf=2013-06-28}}
* Nikolai I. Lobachevsky: ''Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics.'' Vol. 4, European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-087-6.
;Die Hyperbolische Geometrie im Rahmen der ''Differentialgeometrie'' (Geometrien auf Flächen)
* Norbert A’Campo, Athanase Papadopoulos: ''Notes on hyperbolic geometry.'' In: ''Strasbourg Master class on Geometry.'' European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-105-7, S. 1–182, [[doi:10.4171/105]]. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18)
* Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Handbook of Teichmüller theory.'' Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6, [[doi:10.4171/029]]. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 11)
* Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Handbook of Teichmüller theory.'' Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5, [[doi:10.4171/055]]. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13)
* Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Handbook of Teichmüller theory.'' Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2012, ISBN 978-3-03719-103-3, [[doi:10.4171/103]]. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19)
;Die (reelle) hyperbolische Ebene als Modell einer absoluten Geometrie im Hilbertschen Sinn:
* {{Literatur |Autor=[[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]] |Titel=Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff |Auflage=2. ergänzte |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg/New York |Datum=1973 |ISBN=3-540-06136-3 |Kapitel=V: ''Hyperbolische Geometrie'' und §20.13:''Hilbert-Ebenen'' |Kommentar=Definiert Absolute Geometrie sehr allgemein, erläutert vor diesem Hintergrund die Besonderheiten der reellen hyperbolischen Geometrie}}
* {{Literatur |Autor=Benno Klotzek |Titel=Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien |Auflage=1. |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2001 |ISBN=3-8171-1583-0 |Kommentar=''Elementar'' heißt hier nicht ''einfach'': Lösung von Konstruktionsaufgaben und Koordinatisierungen der „klassischen“ nichteuklidischen Geometrien}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hyperbolic geometry|Hyperbolische Geometrie}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4161041-6}}

[[Kategorie:Absolute Geometrie]]

Hyperbolische Geometrie - Versionsgeschichte

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