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2025-07-02T10:48:18Z

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[[Datei:Constant gaussian curvature.svg|miniatur|Flächen mit konstanter Krümmung im <math>\R^3</math>, von links nach rechts: Rotationsfläche mit negativer Krümmung (ein begrenzter Teil einer hyperbolischen Ebene), [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] mit Krümmung null und [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] mit positiver Krümmung.]]
Die '''hyperbolische Ebene''' ist ein Objekt aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Geometrie]], genauer aus der [[Hyperbolische Geometrie|Hyperbolischen Geometrie]]. Dieses geometrische Objekt gehört neben der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] und der [[Topologische Sphäre|Sphäre]] zu den Modellräumen der [[Fläche (Mathematik)|Flächentheorie]]. Denn sie hat die konstante [[Gaußkrümmung|Gauß-]] beziehungsweise [[Schnittkrümmung]] <math>-1</math>. Der euklidische Raum hat Krümmung <math>0</math> und die Sphäre die Krümmung <math>1</math>. Im Gegensatz zu diesen beiden Räumen kann die hyperbolische Ebene als Ganzes nicht in den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^3</math> eingebettet werden.<ref name="Lee7u38" />

== Definition ==
Die '''hyperbolische Ebene''' ist definiert als der 2-dimensionale [[Hyperbolischer Raum|hyperbolische Raum]] <math>\mathbb H^2</math>, also als eine [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|zweidimensionale]], [[einfach zusammenhängend]]e, [[Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit|vollständige]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] mit [[Schnittkrümmung]] konstant <math>-1</math>.

Man kann die hyperbolische Ebene mit dem poincaréschen Halbraum-Modell charakterisieren. Stattet man also die [[Halbebene]] <math>\{(x,y) \in \R^2 : y > 0\}</math> mit der Metrik <math>g = y^{-2} (\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2)</math> aus, so erhält man die hyperbolische Ebene.<ref name="Lee7u38">John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. [https://books.google.de/books?id=92PgBwAAQBAJ&pg=PA7 7], 38.</ref>

Im Sinne des [[Erlanger Programm]]s lässt sich die hyperbolische Ebene interpretieren als die Geometrie des Paares <math>(SL(2,\mathbb R),SO(2))</math>.

Axiomatisch charakterisieren lässt sich die hyperbolische Ebene dadurch, dass sie mit Ausnahme des [[Parallelenaxiom]]s alle Axiome der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] erfüllt und zusätzlich noch das Axiom, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel (d. h. disjunkt) sind.

== Andere Verwendungen des Begriffs Hyperbolische Ebene ==
* In der [[Inzidenzgeometrie]] ist eine ''(endliche) hyperbolische Ebene'' eine (endliche) Menge von "Punkten" H mit gewissen Teilmengen als "Geraden", die folgende Axiome erfüllen:
:1. je zwei unterschiedliche Punkte gehören zu genau einer Geraden,
:2. wenn ein Punkt P nicht zu einer Geraden l gehört, dann gibt es mindestens zwei zu l disjunkte P enthaltende Geraden,
:3. wenn eine Menge von Punkten S drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte enthält sowie alle Punkte auf Geraden durch je zwei in S liegende Punkte enthält, dann ist S=H.
* In der Theorie der [[Symmetrischer Raum|Symmetrischen Räume]] gibt es neben der (in diesem Zusammenhang als reell-hyperbolische Ebene bezeichneten) hyperbolischen Ebene noch die komplex-hyperbolische, quaternionisch-hyperbolische und Cayley-hyperbolische Ebene.
* In den Arbeiten von [[Helmut Karzel]] und seinen Schülern bezeichnet „Hyperbolische Ebene“ einen angeordneten Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation, der bestimmte Axiome erfüllt. Dieser Begriff axiomatisiert die Anordnungs- und Inzidenzeigenschaften der oben definierten Hyperbolischen Ebene, ohne auf ihre Metrik bezugzunehmen.
* Der 2-dimensionale [[Quadratische_Form#Quadratischer_Raum|quadratische Raum]] <math>(V,q)</math> mit <math>q(x,y)=xy</math> wird als [[Metabolischer quadratischer Raum#Beispiel: die hyperbolische Ebene|hyperbolische Ebene]] bezeichnet. Diese Definition steht in keinem direkten Zusammenhang mit der oben definierten.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Models of the hyperbolic plane}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Geometrie]]

Hyperbolische Ebene - Versionsgeschichte

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