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2026-03-02T01:14:36Z

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[[Datei:Sinh+cosh+tanh.svg|mini|Sinus hyperbolicus (rot)<br />Kosinus hyperbolicus (blau)<br />Tangens hyperbolicus (grün)]]
[[Datei:Coth sech csch.svg|mini|Kosekans hyperbolicus (rot)<br />Sekans hyperbolicus (blau)<br />Kotangens hyperbolicus (grün)]]

Die '''Hyperbelfunktionen''' sind die korrespondierenden Funktionen der [[Kreisfunktion]]en (die auch als Winkel- oder trigonometrische Funktionen bezeichnet werden),
allerdings nicht am Einheitskreis <math>x^2 + y^2 = 1</math>, sondern an der [[Hyperbel (Mathematik)|Einheitshyperbel]] <math>x^2 - y^2 = 1</math>.

Wie eng diese Funktionen miteinander verwandt sind, erschließt sich noch deutlicher in der komplexen Zahlenebene. Sie wird durch die Relation <math> (\mathrm iy)^2 = -y^2</math> vermittelt. So gilt z. B. <math>\cos (\mathrm ix) = \cosh x</math>.

Folgende Funktionen gehören zu den '''Hyperbelfunktionen''':
* [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus|Hyperbelsinus]] oder lat. Sinus hyperbolicus (Formelzeichen: <math>\sinh</math>)
* [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus|Hyperbelkosinus]] oder lat. Cosinus hyperbolicus (<math>\cosh</math>)
* [[Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus|Hyperbeltangens]] oder lat. Tangens hyperbolicus (<math>\tanh</math>)
* [[Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus|Hyperbelkotangens]] oder lat. Cotangens hyperbolicus (<math>\coth</math>)
* [[Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus|Hyperbelsekans]] oder lat. Sekans hyperbolicus (<math>\operatorname{sech}</math>)
* [[Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus|Hyperbelkosekans]] oder lat. Cosekans hyperbolicus (<math>\operatorname{csch}</math>).
In der deutschen Sprache werden noch sehr häufig die lateinischen Namen verwendet, mit teils eingedeutschter Schreibweise.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind für alle [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] definiert und auf dem gesamten [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] der komplexen Zahlen [[Holomorphe Funktion|holomorph]]. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

== Definition ==
[[Datei:Hyperbolic functions.svg|296px|mini|Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel <math>x^2-y^2=1</math> im Punkt <math>(\cosh A,\sinh A)</math>, wobei <math>A</math> die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der <math>x</math>-Achse, und der Hyperbel ist.]]
[[Datei:Hyperbolic function geometric.svg|296px|mini|Geometrische Beziehung zwischen der Fläche <math>A</math> und den Abständen <math>\cosh A</math>, <math>\sinh A</math>, <math>\tanh A</math> sowie deren Reziproken <math>\operatorname{sech} A</math>, <math>\operatorname{csch} A</math> bzw. <math>\coth A</math>. Direkt ersichtlich: <math>1+\sinh^2 A = \cosh^2A</math>, <math>1+\operatorname{csch}^2 A = \coth^2A</math>, <math>\operatorname{sech}^2 A + \tanh^2A= 1</math> (https://www.desmos.com/calculator/av1edbmpv8).]]

=== Definition über die Exponentialfunktion ===
Mittels der [[Exponentialfunktion]] können <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> wie folgt definiert werden:

: <math>\sinh(z) := \frac{\mathrm e^z - \mathrm e^{-z}}{2}</math>

: <math>\cosh(z) := \frac{\mathrm e^z + \mathrm e^{-z}}{2}</math>

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode).
Die [[Potenzreihe]]n von <math>\cosh</math> und <math>\sinh</math> lauten
: <math>\begin{align}
\sinh ( z ) &= z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cosh ( z ) &= 1 + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}\,,
\end{align}</math>
wobei der Ausdruck <math>n!</math> für die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math>n</math>, das Produkt der ersten <math>n</math> [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] steht. Im Gegensatz zu den Potenzreihenentwicklungen von <math>\cos</math> und <math>\sin</math> haben alle Terme ein positives Vorzeichen.

=== Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel ===
Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der [[Hyperbel (Mathematik)|Einheitshyperbel]] <math>x^2 - y^2 = 1</math>:

: <math>x = \cosh(t), y = \sinh(t)</math>

werden sie ''Hyperbelfunktionen'' genannt, in Analogie zu den ''Kreisfunktionen'' [[Sinus und Kosinus]], die den [[Kreis|Einheitskreis]] <math>x^2 + y^2 = 1</math> parametrisieren:

: <math>x = \cos(t), y = \sin(t)</math>

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche <math>A</math>, die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der <math>x</math>-Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist <math>\sinh(A)</math> die (positive) <math>y</math>-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und <math>\cosh(A)</math> die dazugehörige <math>x</math>-Koordinate; <math>\tanh(A)</math> ist die <math>y</math>-Koordinate der Geraden bei <math>x=1</math>, d. h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch [[Integralrechnung|Integration]], erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

== Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen ==
[[Datei:Sinh cosh.svg|mini|Graph der reellen Hyperbelfunktionen]]

* Für alle [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>x</math> sind auch <math>\sinh(x)</math> und <math>\cosh(x)</math> reell.
* Die [[reelle Funktion]] <math>\sinh</math> ist streng monoton steigend und besitzt in <math>x = 0</math> ihren einzigen Wendepunkt.
* Die reelle Funktion <math>\cosh</math> ist auf dem Intervall <math>(-\infty,0]</math> streng monoton fallend, auf dem Intervall <math>[0,\infty)</math> [[Streng monoton wachsende Funktion|streng monoton steigend]] und besitzt bei <math>x=0</math> ein globales Minimum.

Wegen <math>\sinh , \cosh \colon \R \mapsto \R</math> gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.

== Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen ==
Für alle komplexen Zahlen <math>z, z_1, z_2</math> gilt:

=== Symmetrie und Periodizität ===
* <math>\sinh(-z) = - \sinh(z)</math>, d. h., sinh ist eine [[Gerade und ungerade Funktionen|ungerade Funktion]].
* <math>\cosh(z) = \cosh(-z)</math>, d. h., cosh ist eine gerade Funktion.

* <math>\sinh(z) = \sinh(z + 2\pi \mathrm i) \quad \text{ und } \quad \cosh(z) = \cosh(z + 2\pi \mathrm i)</math>,
d. h., es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge <math>2 \pi</math>.

=== Additionstheoreme ===
* <math>\sinh(z_1 \pm z_2) = \sinh(z_1) \cdot \cosh(z_2) \pm \sinh(z_2) \cdot \cosh(z_1)</math>
* <math>\cosh(z_1 \pm z_2) = \cosh(z_1) \cdot \cosh(z_2) \pm \sinh(z_1) \cdot \sinh(z_2)</math>
* <math>\tanh(z_1 \pm z_2) = \frac{\tanh(z_1) \pm \tanh(z_2)}{1 \pm \tanh(z_1) \tanh(z_2)}</math>

=== Zusammenhänge ===
: <math>{\cosh}^2 (z) - {\sinh}^2 (z) = 1</math>

:<math>\cosh z + \sinh z\ = \mathrm e^z</math>

:<math>\cosh z - \sinh z\ = \mathrm e^{-z}</math>

=== Ableitung ===
Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Sinus hyperbolicus lautet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\sinh}(z) = \cosh (z)</math>.

Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\cosh}(z) = \sinh (z)</math>.

Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet:
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\tanh}(z)=1-{\tanh}^2 (z) = \frac{1}{\cosh^2(z)}</math>.

=== Differentialgleichung ===
Die Funktionen <math>\sinh(z)</math> und <math>\cosh(z)</math> bilden wie <math>e^z</math> und <math>e^{-z}</math> eine Lösungsbasis ([[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]]) der linearen [[Differentialgleichung]]
: <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} f(z) = f(z)</math>.
Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen <math>f_i(z)</math> dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch <math>f_1(0)=0</math>,<math>f_1'(0)=1</math> und <math>f_2(0)=1</math>,<math>f_2'(0)=0</math>, so sind sie bereits eindeutig durch <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

== Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen ==
=== sinh ===
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
: <math>A := \{ z \in \Complex \mid - \pi / 2 < \operatorname{Im}\,z < \pi / 2 \}</math>
: <math>B := \{ z \in \Complex \mid \operatorname{Re}\,z \ne 0 \vee |\operatorname{Im}\,z| < 1 \}</math>
Dann bildet die komplexe Funktion <math>\sinh</math> den „Streifen“ <math>A</math> [[bijektiv]] auf <math>B</math> ab.

=== cosh ===
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
: <math>A := \{ z \in \Complex \mid 0 < \operatorname{Im}\,z < \pi \}</math>
: <math>B := \{ z \in \Complex \mid \operatorname{Im}\,z \ne 0 \vee |\operatorname{Re}\,z| < 1 \}</math>
Dann bildet die komplexe Funktion <math>\cosh</math> den „Streifen“ <math>A</math> [[bijektiv]] auf <math>B</math> ab.

== Historische Notation ==
In deutschsprachiger Literatur wurden zur Unterscheidung von den trigonometrischen Funktionen die Hyperbelfunktionen lange Zeit in [[Fraktur (Schrift)|Frakturschrift]] dargestellt – mit initialer Großschreibung und ohne abschließendes h:<ref>{{Literatur |Autor=[[Stefan Hildebrandt]] |Titel=Analysis |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Datum=2002 |ISBN=978-3-540-42838-1 |DOI=10.1007/978-3-662-05694-3 |Seiten=243 |Online={{Google Buch |BuchID=XXEdBgAAQBAJ |Seite=243}} }}</ref>
:<math>\mathfrak{Sin}\, x \,\widehat{=}\, \sinh x</math>
:<math>\mathfrak{Cos}\, x \,\widehat{=}\, \cosh x</math>
:<math>\mathfrak{Tan}\, x\ /\ \mathfrak{Tg}\, x \,\widehat{=}\, \tanh x\ /\ \operatorname{tgh} x</math>
:<math>\mathfrak{Cot}\, x\ /\ \mathfrak{Ctg}\, x \,\widehat{=}\, \coth x\ /\ \operatorname{ctgh} x</math>
:<math>\mathfrak{Sec}\, x \,\widehat{=}\, \operatorname{sech} x</math>
:<math>\mathfrak{Csc}\, x \,\widehat{=}\, \operatorname{csch} x</math>

== Alternative Namen ==
* Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name '''hyperbolische Funktionen''' gebräuchlich.
* Für <math>\sinh</math> sind auch die Namen '''hsin''', '''Hyperbelsinus''' und '''Sinus hyperbolicus''' gebräuchlich.
* Für <math>\cosh</math> sind auch die Namen '''hcos''', '''Hyperbelcosinus''' und '''Cosinus hyperbolicus''' gebräuchlich. Der Graph entspricht der [[Katenoide|Kettenlinie]] (Katenoide).

== Abgeleitete Funktionen ==
* [[Tangens hyperbolicus]]: <math>\tanh(x) := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}</math>
* [[Cotangens hyperbolicus]]: <math>\coth(x) := \frac{1}{\tanh(x)} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}</math>
* [[Secans hyperbolicus]]: <math>\operatorname{sech}(x) := \frac{1}{\cosh(x)}</math>
* [[Kosecans hyperbolicus]]: <math>\operatorname{csch}(x) := \frac{1}{\sinh(x)}</math>

== Umrechnungstabelle ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Funktion
! <math> \sinh </math>
! <math> \cosh </math>
! <math> \tanh </math>
! <math> \coth </math>
! <math> \operatorname{sech} </math>
! <math> \operatorname{csch} </math>
|-
! <math> \sinh(x)= </math>
| <math> \sinh(x)\, </math>
| <math> \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1} </math>
| <math> \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} </math>
| <math> \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}} </math>
| <math> \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \frac{1}{\operatorname{csch}(x)} </math>
|-
! <math> \cosh(x)= </math>
| <math> \,\sqrt{1+\sinh^2(x)} </math>
| <math> \,\cosh(x) </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} </math>
| <math> \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|} </math>
|-
! <math> \tanh(x)= </math>
| <math> \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} </math>
| <math> \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)} </math>
| <math> \,\tanh(x) </math>
| <math> \,\frac{1}{\coth(x)} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)} </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}} </math>
|-
! <math> \coth(x)= </math>
| <math> \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)} </math>
| <math> \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} </math>
| <math> \,\frac{1}{\tanh(x)} </math>
| <math> \,\coth(x) </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)} </math>
|-
! <math> \operatorname{sech}(x)= </math>
| <math> \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} </math>
| <math> \,\frac{1}{\cosh(x)} </math>
| <math> \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)} </math>
| <math> \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|} </math>
| <math> \, \operatorname{sech}(x) </math>
| <math> \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}} </math>
|-
! <math> \operatorname{csch}(x)= </math>
| <math> \, \frac{1}{\sinh(x)} </math>
| <math> \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)} </math>
| <math> \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1} </math>
| <math> \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math> \, \operatorname{csch}(x) </math>
|}

== Cauchysche Reihen ==
Analog zum [[Basler Problem#Eulers erste Lösung|Eulerschen Beweis des Basler Problems]] können unendliche Produktreihen für den ''Sinus Hyperbolicus'' und den ''Cosinus Hyperbolicus'' aufgestellt werden:
: <math>\frac{1}{x}\sinh(x) = \prod_{n = 1}^{\infty} \biggl(1 + \frac{x^2}{n^2\pi^2}\biggr)</math>
: <math>\cosh(x) = \prod_{n = 1}^{\infty} \biggl[1 + \frac{4x^2}{(2n - 1)^2\pi^2}\biggr]</math>
Die erste gezeigte Funktion stellt die nicht normierte Variante des Hyperbolischen [[Sinc-Funktion|Kardinalsinus]] dar.

Die Summen der diskreten [[Cauchy-Verteilung]] ergeben die Hyperbelfunktionen:
: <math> \tanh(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{8x} {(2n - 1)^2\pi^2 + 4x^2} </math>
: <math> L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2x} {n^2\pi^2 + x^2} </math>
: <math> \operatorname{sech}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (8n - 4)\pi}{(2n - 1)^2\pi^2+4 x^2} </math>
: <math> \frac{1}{x} - \operatorname{csch}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1}2x} {n^2\pi^2 + x^2} </math>
Alle sechs nun gezeigten Reihen sind für alle reellen Werte <math>x</math> konvergent!

Der Buchstabe L steht für die [[Langevin-Funktion]], welche in der Elektrodynamik bei der Beschreibung des [[Paramagnetismus]] und in der statistischen Thermodynamik bei der Beschreibung der [[Thermische Energie|Wärmeenergie]] eine essentielle Rolle spielt und einen Spezialfall der [[Brillouin-Funktion|Brillouin-Funktionen]] bildet. Und generell gilt für alle reellen Zahlen a, b und c mit dem Kriterium <math>4ac - b^2 > 0</math> folgende Formel:
: <math> \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{1}{a\,n^2 + b\,n + c} = \frac{2\,\pi\sinh\bigl(\tfrac{1}{a}\sqrt{4ac - b^2}\,\pi\bigr)}{\sqrt{4ac - b^2}\,\bigl[\cosh\bigl(\tfrac{1}{a}\sqrt{4ac - b^2}\,\pi\bigr) - \cos\bigl(\tfrac{b}{a}\pi\bigr)\bigr]} </math>

== Umkehrfunktionen ==
Die [[Umkehrfunktion]]en der Hyperbelfunktionen heißen [[Area-Funktion]]en.

''Siehe auch:''
[[Kreis- und Hyperbelfunktionen|Zusammenhang mit den Kreisfunktionen]]

== Literatur ==
* [[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|Ilja N. Bronstein]]: ''[[Taschenbuch der Mathematik]]''. Deutsch (Harri).
* Nickos Papadatos: ''The characteristic function of the discrete Cauchy distribution''. Department of Mathematics, National and Kapodistrian University of Athens, Panepistemiopolis, 157 84 Athens, Greece, 2022

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hyperbolic functions}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion| Hyperbelfunktion]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Hyperbelfunktion - Versionsgeschichte

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