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2026-01-22T14:53:49Z

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Der '''Hyper-Operator''' ist eine Familie von mathematischen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]]. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die [[Addition]], die [[Multiplikation]], die [[Potenz (Mathematik)|Potenzierung]] usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie [[Potenzturm|Potenztürmen]]. Es gibt verschiedene Schreibweisen:

:<math>\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)
= \operatorname{hyper}(a, n, b)
= a ^ {(n)} b
= a \uparrow^{n-2} b.</math>

== Herleitung der Notation ==

Ausgehend von den Beobachtungen
* <math>a + (b+1) = 1 + \left( a + b \right)</math>
* <math>a \cdot (b+1) = a + \left( a \cdot b \right)</math>
* <math>a^{(b+1)} = a \cdot \left( a^{b} \right)</math>

definiert man [[Rekursion|rekursiv]] einen dreistelligen Operator (mit <math>a,b,n \ge 0</math>)
:<math>
a^{(n)} b:=
\begin{cases}
b + 1, & \text{wenn } n = 0\\
a, & \text{wenn }n = 1, b = 0\\
0, & \text{wenn }n = 2, b = 0\\
1, & \text{wenn }n > 2, b = 0\\
a^{(n-1)} \left( a^{(n)} (b - 1) \right) & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

und führt folgende Bezeichnungen ein:
:<math>\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)
= \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^{(n)} b.
</math>

(Zu beachten ist bei dieser Schreibweise, dass die Zusammenschreibung von <math>a ^ {(n)}</math> und <math>b</math> keine Multiplikation darstellt, also jede ''tatsächlich'' vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator <math>\cdot</math> zu notieren ist. Ebenso ist <math>a ^ {(n)}</math> keine Potenzierung. Die Verwendung der Notation <math>\operatorname{hyper}(a, n, b)</math> schließt demgegenüber solche Verwechslungsmöglichkeiten aus.)

Somit ist ''hyper1'' die [[Addition]], ''hyper2'' die [[Multiplikation]] und ''hyper3'' die [[Potenz (Mathematik)|Potenzierung]]. ''hyper4'' wird auch bezeichnet als ''Tetration'' oder ''Superpotenz'' und kann folgendermaßen notiert werden:
:<math>\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a</math>.

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl <math>a</math> <math>b</math>-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für <math>n>3</math> nicht für [[reelle Zahlen]] erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht [[Assoziativität|assoziativ]] sind.

== Knuths Pfeilnotation ==
{{Hauptartikel|Pfeilschreibweise}}

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von [[Donald Knuth]] entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist

:<math>
a \uparrow^{k} b \; := \;
a \mathbin{\underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k \mbox{ mal}}} b \; :=
\left\{
\begin{matrix}
a^b & \mbox{falls } k=1 \\[1em]
\underbrace{a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} \dotsb \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a}_{b \mbox{ Kopien von } a} & \mbox{sonst}
\end{matrix}
\right.
</math>

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils <math>\uparrow</math> das Zeichen <math>\hat{\hbox{ }}</math>.
Mit der Definition gilt gerade
:<math>a \uparrow^k b = \operatorname{hyper}(a, k+2, b) = a^{(k+2)}b</math>.

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa [[Grahams Zahl]] benutzt.

== Eine andere Erweiterung ==

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch
* <math>\,a+b = (a+(b-1))+1</math>
* <math>a\cdot b = (a\cdot (b-1))+a</math>
* <math>a^b = \left(a^{(b-1)} \right)\cdot a</math>,
weil die Verknüpfungen + und <math>\cdot</math> [[Kommutativgesetz|kommutativ]] sind. Daraus ergibt sich die Definition

:<math>
a_{(n)} b:=
\begin{cases}
a+b, & \text{wenn }n=1 \\
0, & \text{wenn }n=2,b=0 \\
1, & \text{wenn }n>2,b=0 \\
\left( a_{(n)} (b - 1) \right)_{(n-1)}a, & \text{sonst.}
\end{cases}
</math>

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für <math>n=4</math>; sie ergibt im Gegensatz zu ''hyper4'' keinen Potenzturm mehr:

:<math>a_{(4)}b = a^{\left(a^{(b-1)}\right) }</math>

Wie können sich <math>a^{(n)}b</math> und <math>a_{(n)}b</math> plötzlich für <math>n>3</math> unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren <math>+</math> und <math>\cdot</math> besitzen (siehe auch [[Körper (Algebra)|Körper]]), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist <math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{b\cdot c}</math>.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

== Beispiele ==
===Addition===
<math>3^{(1)} 3 = 3 + 3 = 6.</math>

=== Multiplikation ===
<math>3^{(2)} 3 = 3 \cdot 3 =3^{(1)} 3^{(1)} 3= 3 + 3 + 3 = 9.</math>

=== Potenzierung===
<math>3^{(3)} 3 = 3^3 = 3^{(2)} 3^{(2)} 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3=27.</math>

=== Tetration ===
<math>
\begin{align}
3^{(4)}3 & = 3^{3^{3}}\\
& = 3^{(3)}(3^{(4)}2)\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)))\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))\\
& = 3^{3^{3^{1}}}\\
& = 3^{27}\\
& = 7.625.597.484.987.
\end{align}
</math>

Zu beachten ist hier, dass <math>3^{3^{3}} = 3^{(3^{3})}</math> gilt, siehe hierzu auch bei [[Potenzturm]].

== Weblinks (englisch) ==
*[http://www.tetration.org/ What Lies Beyond Exponentiation?]
*[https://math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php The Tetration Forum]

[[Kategorie:Potenz (Mathematik)]]

Hyper-Operator - Versionsgeschichte

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