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2026-03-01T10:39:57Z

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Der '''hydrostatische Druck''' ({{grcS|ὕδωρ|hýdor|de=Wasser}}) ist der [[Druck (Physik)|Druck]] innerhalb eines ruhenden [[Fluid]]s, wobei es sich um eine [[Flüssigkeit]], ein [[Gas]] oder ein [[Plasma (Physik)|Plasma]] handeln kann. Der hydrostatische Druck kann beispielsweise von den das Fluid umschließenden Wänden erzeugt werden (siehe [[Zylinder (Technik)|Zylinder]] mit Kolben), oder Resultat der [[Schwerebeschleunigung]] ('''Gravitationsdruck''' oder '''Schweredruck''') oder [[Trägheit]] sein (z B. in einer [[Zentrifuge]]<ref>{{Literatur |Autor= [[Ernst Becker (Physiker)|E. Becker]], E. Piltz |Titel=Übungen zur Technischen Strömungslehre |Datum=2013 |ISBN=978-3-322-91794-2 |Seiten=19 |Online={{Google Buch |BuchID=H9B8BwAAQBAJ |Seite=19}} |Abruf=2022-03-09}}</ref>). Der hydrostatische Druck kann auch von außen vom [[Außendruck]] oder Betriebsdruck<ref name="Betriebsdruck">{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/betriebsdruck/1497 |titel=Betriebsdruck – Lexikon der Physik |hrsg=Spektrum Verlag |abruf=2022-01-18}}</ref> aufgebracht werden, unter dem das Fluid ruht.

Nach dem ''Pascal’schen Prinzip'' (von [[Blaise Pascal]]) breitet sich der hydrostatische Druck im Fluid allseitig aus und wirkt nach [[Leonhard Euler|Euler]]<ref name="szabo">{{Literatur |Autor= [[István Szabó (Ingenieur)|István Szabó]] |Titel=Geschichte der mechanischen Prinzipien |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-0348-5301-9 |Online={{Google Buch |BuchID=SJOmBgAAQBAJ |Seite=249}} |Abruf=2021-05-01}}</ref> im Volumen in alle Richtungen, aber immer senkrecht auf Wände. So ist der hydrostatische Druck in einem Fluid ohne äußeres Kraftfeld überall gleich und wirkt auf alle Flächen, die das Fluid begrenzen, mit einer senkrecht auf das jeweilige Flächenstück gerichteten flächenverteilten Kraft. Der hydrostatische Druck ist ein spezieller [[Spannungszustand]], in welchem keine [[Schubspannung]]en vorkommen. Diese können in ruhenden Fluiden nicht auftreten<ref>{{Literatur |Autor=Dietmar Gross, Werner Hauger, Peter Wriggers |Titel=Technische Mechanik; 4. Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden / Dietmar Gross, Werner Hauger, Peter Wriggers |Auflage=10., verbesserte und ergänzte Auflage |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Berlin [Heidelberg] |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-55693-1 |Seiten=3 f.}}</ref>. Im Kontext von [[Festkörper]]n werden derartige Spannungszustände daher ebenfalls als ''hydrostatisch'' bezeichnet.

In strömenden Fluiden hängt der Druck innerhalb des [[Strömungsfeld]]es oder auf dessen begrenzenden Wänden im Allgemeinen auch von der [[Strömungsgeschwindigkeit]] ab. Beispielsweise ist der Druck erhöht an einem [[Staupunkt]] oder erniedrigt in einer [[Venturi-Düse]], siehe auch [[Bernoulli-Gleichung#Bernoulli-Effekt und hydrodynamisches Paradoxon|Bernoulli-Effekt]].

== Inkompressible Flüssigkeiten im homogenen Schwerefeld ==
=== Pascalsches Gesetz ===

[[Datei:Hydrostatisches Paradoxon4.svg|mini|hochkant=1.5|klasse=skin-invert-image|Der hydrostatische Druck am Boden ist trotz unterschiedlicher Füllmengen in allen drei Gefäßen gleich groß.]]

Der hydrostatische [[Druck (Physik)|Druck]] für ein [[Fluid]] mit konstanter [[Dichte]] im [[Homogenität (Physik)|homogenen]] [[Schwerefeld]] berechnet sich nach dem '''Pascalschen Gesetz''' (benannt nach [[Blaise Pascal]]):

:<math>p(h) = \rho g h + p_0</math>

[[Formelzeichen]]:
:<math>\rho</math> = Dichte [für [[Wasser]]: <math>\rho</math> ≈ 1.000 kg/m³]
:<math>g</math> = [[Schwerebeschleunigung]] [für Deutschland: <math>g</math> ≈ 9,81 m/s²]
:<math>h</math> = Höhe des [[Flüssigkeitsspiegel]]s über dem betrachteten Punkt
:<math>p_0</math> = Druck an der Flüssigkeitsoberfläche (z. B. [[Luftdruck]])
:<math>p(h)</math> = hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels.<ref>Dieter Meschede: ''Gerthsen Physik.'' 25. Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45976-8 (Hardcover), ISBN 978-3-662-45977-5 (E-Book).</ref>

Bei der Ermittlung des Drucks auf die Behälterwand spielt der Umgebungsdruck (auch Betriebsdruck genannt<ref name="Betriebsdruck" />) keine Rolle, da er als additive Konstante im Druck überall gleich wirkt, und da der Luftdruck <math>p_0</math> gleichermaßen von oben (über die Wasseroberfläche) und von unten einwirkt kann er vernachlässigt werden. Der durch das Fluid ausgeübte Druck auf den Boden eines wassergefüllten Gefäßes ist durch den Druck <math>\rho g h</math> der Wassersäule gegeben. Solange [[Kapillareffekt|Kapillarität]] gering ist, hängt der Bodendruck nicht von der Form oder Größe des Gefäßes ab, sondern nur von der Füllhöhe <math>h</math>, während die auf den Boden wirkende Kraft proportional zur Bodenfläche zunimmt. Dies ist das Prinzip der Kraftverstärkung in der hydraulischen Presse, das erstmals Blaise Pascal 1653 formulierte.<ref>{{Literatur |Autor=[[Blaise Pascal]] |Titel=Abhandlung über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft |Ort=Paris |Datum=1663 |Sprache=fr |Kommentar=Posthume zweite Veröffentlichung |Originaltitel=Traitez de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air |Online=https://archive.org/details/bub_gb_F8UPAAAAQAAJ |Format=PDF |KBytes= |Abruf=2017-04-21}}</ref>

=== Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Schwerkraft ===
[[Datei:polydirectionalPressure.svg|mini|klasse=skin-invert-image|Zylinder (hervorgehoben) mit Länge d''l'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Jede Flüssigkeit ist schwer, aber in vielen Fällen, insbesondere unter hohen Umgebungsdrücken, kann der Einfluss der Schwerkraft vernachlässigt werden; einen solchen Fall zeigt die Abbildung rechts. Der hervorgehobene Zylinder ist im umgebenden Druckfeld in Ruhe.
* Die Druckkräfte auf der Mantelfläche des Zylinders wirken senkrecht zur Mantelfläche und damit auch senkrecht zur Zylinderachse. Die Kräfte tragen deshalb nicht zu den Kraftkomponenten parallel zur Zylinderachse bei, und das unabhängig davon, wie der Druck auf der Mantelfläche verteilt ist.
* Der Druck auf den Stirnflächen kann bei kleinen Inhalten d''A'' als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende ''p''1 d''A'' und am anderen Ende ''p''2 d''A'' und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt genau dann in Ruhe, wenn sich die Druckkräfte gegenseitig aufheben, also

:: ''p''1 d''A'' = ''p''2 d''A''   →   ''p''1 = ''p''2

: ist. Die Lage und Orientierung des Zylinders ist dabei offenbar ohne Belang.
Innerhalb des Fluids ist in Abwesenheit einer Schwerkraft (und anderer äußerer Kräfte) der Druck in allen Richtungen und an allen Orten im Fluid gleich groß.

=== Druckverteilung in einer Flüssigkeit mit Schwerkraft ===
[[Datei:DerivationPascalsLawHorizontal.svg|mini|klasse=skin-invert-image|Zylinder (hervorgehoben) mit Länge d''x'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Ähnliche Verhältnisse wie bei der [[#Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Schwerkraft|Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Schwerkraft]] liegen bei einer [[Lotrichtung|lotrecht]] wirkenden [[Gravitation|Schwerkraft]] und einem horizontal orientierten Zylinder vor, siehe Bild.
* Genauso wie die Druckkräfte auf der Mantelfläche, wirkt auch die [[Gewichtskraft]] d''m·g'' des Zylinders senkrecht zur Zylinderachse und trägt nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur horizontalen Zylinderachse bei.
* Der Druck auf den Stirnflächen kann auch hier bei kleinen Inhalten d''A'' als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende ''p''1 d''A'' und am anderen Ende ''p''2 d''A'' und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt in horizontaler Richtung genau dann in Ruhe, wenn sich wie oben die Druckkräfte auf den Stirnflächen gegenseitig aufheben:

:: ''p''1 d''A'' = ''p''2 d''A''   →   ''p''1 = ''p''2

: Die Orientierung der x-Achse ist dabei offenbar ohne Belang, solange sie nur senkrecht zur Schwerkraft ist. Innerhalb des Fluids ist der Druck in einer horizontalen Ebene und dort in allen Richtungen im Fluid gleich groß.

{{Absatz}}
[[Datei:DerivationPascalsLawVertical.svg|mini|klasse=skin-invert-image|Zylinder (hervorgehoben) mit Länge d''z'' und Stirnfläche d''A'' in einem Fluid (bläulich)]]
Beim parallel zum [[Schwerefeld]] orientierten Zylinder wirkt nun die Gewichtskraft in Richtung der Druckkräfte auf den Stirnflächen.
* Die Druckkräfte auf der Mantelfläche wirken horizontal und tragen auch hier nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur senkrechten Zylinderachse bei.
* In senkrechter Richtung muss die Druckkraft ''p''1 d''A'' auf der unteren Stirnfläche die Druckkraft ''p''2 d''A'' auf der oberen Stirnfläche und zusätzlich die Gewichtskraft d''m·g'' des Zylinders tragen, damit der Zylinder seine Höhe beibehält, also weder aufsteigt noch absinkt. Das ist der Fall, wenn

:: ''p''1 d''A'' = ''p''2 d''A'' + d''m·g''

:zutrifft. Der Unterschied der Druckkräfte an den Stellen 1 und 2 ist gleich dem Gewicht der dazwischen liegenden senkrechten Flüssigkeitssäule.

Bei konstanter Querschnittsfläche d''A'' ist das Volumen des Zylinders d''A''·d''z'' und bei (infinitesimal) kleinem Volumen kann dort die [[Dichte]] ''ρ'' als konstant angenommen werden mit der Konsequenz d''m'' = ''ρ''·d''A''·d''z'':

: ''p''1 d''A'' = ''p''2 d''A'' + ''ρg''·d''A''·d''z''   →   ''p''1 = ''p''2 + ''ρg''·d''z''

Mit ''p''1 = ''p''(''z'') und ''p''2 = ''p''(''z''+d''z'') entsteht nach Division durch d''z'' und [[Grenzwert (Folge)|Grenzübergang]] d''z'' → 0 eine [[autonome Differentialgleichung]]

:<math>\frac{\part p}{\part\mathsf z}=-\rho g</math>

die bei konstanter [[Wichte]] ''ρg'' auf das Pascal’sche Gesetz

:<math>p(\mathsf z)=p_0-\rho g\mathsf z</math>

führt. Die [[Integralrechnung#Unbestimmtes Integral|Integrationskonstante]] ''p''0 ist der Druck bei ''z'' = 0. Anders als im Abschnitt [[#Pascalsches Gesetz]] zählt hier die Koordinate ''z'' entgegen der Gewichtskraft nach oben; die Formel dort ergibt sich aus der hiesigen mit ''h = -z''.

=== Beispiele ===
* Für [[Tauchen|Taucher]] ist es wichtig zu wissen, welchem Druck ihre Körpergase ([[Stickstoff]]) ausgesetzt sind, um die [[Dekompressionskrankheit|Taucherkrankheit]] zu vermeiden.
* Ein [[Bathyscaph]] muss einem besonders hohen hydrostatischen Druck standhalten.
* [[Wasserturm|Wassertürme]] nutzen den hydrostatischen Druck, um den für die Versorgung der Endverbraucher notwendigen Leitungsdruck zu erzeugen.
* In der [[Hydrogeologie]] kann sich nach dem [[Darcy-Gesetz]] eine Strömung zwischen zwei Punkten nur dann einstellen, wenn die Druckdifferenz verschieden von der Differenz der hydrostatischen Drücke an den beiden Punkten ist.
* Ein [[Heber (Gerät)|Heber]] ist ein Gerät oder eine Einrichtung, mit der man eine Flüssigkeit aus einem Behälter über den Behälterrand in einen tiefer gelegenen Behälter umfüllen oder ins Freie entleeren kann, ohne den Behälter umzukippen und ohne dass er ein Loch oder einen Auslass unter dem Flüssigkeitsspiegel hat.

== Inhomogene Schwerefelder innerhalb von Himmelskörpern ==
Die Betrachtungen im Abschnitt [[#Inkompressible Flüssigkeiten im homogenen Schwerefeld|Inkompressible Flüssigkeiten im homogenen Schwerefeld]] können auf [[Stetige Funktion|stetige]] inhomogene Schwerefelder verallgemeinert werden. Im Abschnitt [[#Druckverteilung in einer Flüssigkeit mit Schwerkraft|Druckverteilung in einer Flüssigkeit mit Schwerkraft]] sind folgende Einschränkungen zu beachten:
* Der Druck ist auf einer [[Niveaumenge]] des Kraftfeldes konstant, und diese Niveaumengen werden mit z=const. dargestellt (und nicht noch von weiteren Koordinaten wie ''x''). Da die Niveaumengen beliebig gekrümmt sein können, ist die Länge d''x'' sowie die Querschnittsfläche d''A'' des Zylinders (infinitesimal) klein zu halten.
* In der Differentialgleichung zur Bestimmung des Drucks als Funktion von ''z''

::<math>\frac{\part p}{\part\mathsf z}=-\rho g</math>

:ist im Allgemeinen die Dichte ''ρ'' eine Funktion des Drucks, siehe [[Zustandsgleichung]], und die [[Feldstärke]] ''g'' eine Funktion von ''z'', sodass keine allgemeine Lösung angegeben werden kann.

In festen Himmelskörpern konstanter Dichte kann ''g''(''z'') ermittelt werden. In (gasförmigen) Sternen sind die Zusammenhänge so kompliziert, dass hier nur eine qualitative Darstellung möglich ist.

=== Gravitationsdruck in Planeten, Monden, Asteroiden und Meteoriten ===

Mit zunehmender Tiefe kann die [[Schwerebeschleunigung]] <math>g</math> nicht mehr als konstant betrachtet werden. Wenn die Form des [[Himmelskörper]]s durch eine Kugel
mit Radius <math>R</math> beschrieben und die Dichte als konstant betrachtet wird, lässt sich der Druck wie folgt berechnen:

: <math>
p(h) = \int_{0}^{h} \rho \, g(R-r) \,\mathrm dr
</math> .

Der Ortsfaktor <math>g(r)</math> folgt aus dem [[Gravitationsfeld|Newtonschen Gravitationsgesetz]]:

: <math>g(r) = G \frac{M(r)}{r^2} = G \frac{M r}{R^3} = \rho r \frac{4 \pi G}{3} </math>,

wobei <math>M(r)</math> die Masse innerhalb einer konzentrischen Kugel
innerhalb des Himmelskörpers und <math>M = M(R)</math>
dessen Gesamtmasse angibt.
Mit der Formel für das [[Kugel#Kugelvolumen|Kugelvolumen]] <math> V= \tfrac{4}{3} \pi R^3 </math>
ergibt sich für den Druck im Zentrum:

: <math>p_\text{Z} = p(R) = \frac{3G}{8\pi}\frac{M^2}{R^4} = \rho^2R^2\frac{2\pi G}{3}</math>.

=== Gravitationsdruck in Sternen ===


==== Sterne im Gleichgewicht ====
Einen Spezialfall des hydrostatischen Drucks stellt der Gravitationsdruck in [[Stern]]en dar. Dieser resultiert aus der den Stern kontrahierenden [[Gravitation|Schwerkraft]]. Demgegenüber wirkt z. B. der [[Strahlungsdruck]] als den Stern expandierende Kraft. Bei einem stabilen Stern stellt sich dabei ein Gleichgewicht aller Kräfte ein und der Stern hat eine stabile Form. Dies ist näherungsweise der Zustand von Sternen auf der [[Hauptreihe]] des [[Hertzsprung-Russell-Diagramm]]s.

==== Beispiele für Sterne im Ungleichgewicht ====
Bei [[Sternentstehung|entstehenden Sternen]], die sich zusammenziehen, überwiegt der Gravitationsdruck gegenüber der Summe aller Kräfte, die Gegendruck aufbauen. Beispiele für Gegendruck sind der kinetische [[Druck (Physik)#Gasdruck|Gasdruck]] des Gases selbst und bei anlaufender Fusionsreaktion der [[Strahlungsdruck]] durch alle auftretenden Strahlungsarten. Dadurch verändert sich der hydrostatische Druck innerhalb des entstehenden Sterns.

Bei einigen Klassen [[veränderlicher Stern]]e treten periodische oder transiente Änderungen der Sterndichte auf, wodurch sich die Materiemenge des Sterns, die innerhalb oder außerhalb einer Sphäre mit einem festen Radius liegt, verändert, und mit ihr auch der hydrostatische Druck bei einem bestimmten Radius vom Sternmittelpunkt aus.

Aufgrund des [[Sternwind]]es verlieren Sterne stetig Masse an die Umgebung. Auch dadurch ändert sich der hydrostatische Druck. Bei Hauptreihensternen ist diese Änderung allerdings sehr langsam.

In den [[Stern#Spätstadien|Spätstadien]] des Sternenlebens kommt es ebenfalls zu Veränderungen im [[Sternaufbau]], die sich auf den hydrostatischen Druck im Stern auswirken.

== Messung und Einheiten ==
{{Hauptartikel|Druckmessgerät|Druck (Physik)#Einheiten}}
Die Druckmessung erfolgt mit einem Druckmessgerät.

Die [[Maßeinheit|Physikalischen Einheiten]] für den hydrostatischen Druck sind dieselben, wie für den allgemeinen Druck:
* international die [[Internationales Einheitensystem#SI-Einheiten|SI-Einheit]]
*: ''[[Pascal (Einheit)|Pascal]]'' (Pa): 1 Pa = 1 N/m²;
* zudem in der EU und der Schweiz die [[gesetzliche Einheit]]
*: ''[[Bar (Einheit)|Bar]]'' (bar): 1 bar = 100.000 Pa (= 100 [[Pascal (Einheit)#Kilopascal|kPa]])

Mehr dazu und Umrechnungen sind in den Hauptartikeln nachzuschlagen.

== Siehe auch ==
* [[Barometrische Höhenformel]], die den [[Luftdruck]] als Funktion der Höhe angibt, wo die Temperaturverteilung über die Höhe ausschlaggebend ist.
* [[Lithostatischer Druck]], der Schweredruck von Gestein in der [[Lithosphäre]]

Konsequenzen des Pascalschen Gesetzes:
* [[Hydrostatisches Paradoxon]]
* [[Kommunizierende Röhren]]
* [[Artesischer Brunnen]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4113982-3}}

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]
[[Kategorie:Hydromechanik]]
[[Kategorie:Tauchphysik]]

Hydrostatischer Druck - Versionsgeschichte

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