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2026-03-14T21:30:39Z

Huygenssches Prinzip in der Physik: was soll hier belegt werden?; veröffentlicht erst 1690!

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[[Datei:Huygenssches Prinzip in strömendem Wasser.jpg|mini|Die Ausbreitung von Wellenkämmen an der Engstelle einer Strömung]]
Das '''huygenssche Prinzip''' bzw. '''Huygens-Prinzip''', auch '''huygens-fresnelsches Prinzip''' genannt (nach [[Christiaan Huygens]] und [[Augustin Fresnel]]), besagt, dass jeder Punkt einer [[Wellenfront]] als Ausgangspunkt einer neuen [[Welle]], der so genannten ''Elementarwelle'', betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) sämtlicher Elementarwellen. Obwohl eine ideale Kugelwelle auch rückwärts gerichtete Anteile hätte, werden diese durch Interferenz (beschrieben durch den Fresnel’schen Obliquitätsfaktor) praktisch vollständig unterdrückt. Daher tragen in der physikalischen Konstruktion nur die '''vorwärts gerichteten Halbkugeln''' zur Wellenfortpflanzung bei. Aus dem huygensschen Prinzip folgen viele Spezialfälle, wie Beugungserscheinungen im Fernfeld ([[Beugung (Physik)#Beugung an Blenden|Fraunhoferbeugung]]) oder Nahfeldbeugung ([[Fresnelbeugung]]).<ref name="SmithKing2007">{{cite book|author=F. Graham Smith, Terry A. King, Dan Wilkins|title=Optics and Photonics: An Introduction|url=https://books.google.de/books?id=6hRfQ3AZlJcC&pg=PA240&hl=de|accessdate=2013-09-08|date= 2007-06-05|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-01783-8|pages=240f.}}</ref>

== Huygenssches Prinzip in der Physik ==
[[Datei:Refraction - Huygens-Fresnel principle.svg|mini|[[Brechung (Physik)|Brechung]] einer ebenen [[Wellenfront]] an der Grenze zweier Medien nach dem huygensschen Prinzip]]

Das Konzept wurde 1678 von Christiaan Huygens vorgeschlagen, um die Ausbreitung von [[Licht]] zu erklären. Demnach ist jeder Punkt, der von einer [[Wellenfront]] erreicht wird, Ausgangspunkt für eine [[Kugelwelle|kugel-]] bzw. kreisförmige Elementarwelle, welche sich im selben [[Ausbreitungsmedium]] mit gleicher [[Phasengeschwindigkeit|Geschwindigkeit]] ausbreitet wie die ursprüngliche Welle. Die sich weiter ausbreitende Wellenfront ergibt sich als äußere [[Einhüllende]] der Elementarwellen. Huygens nahm an, dass die Elementarwellen nicht rückwärts, sondern nur in [[Ausbreitungsrichtung]] wirken, konnte jedoch keine qualitative Erklärung dafür geben.

An der Grenze zweier Medien, in denen die Wellen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen, ändert eine Wellenfront, die nicht senkrecht auftrifft, ihre Richtung. Die Theorie von Huygens bot damit eine einfachere Erklärung für die [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] und [[Brechung (Physik)|Brechung]] von Licht, als dies mit der [[Korpuskeltheorie]] von Newton möglich war.

[[Datei:Reflexion im Wellenmodell.svg|mini|500px|zentriert|Eine auftreffende Wellenfront erzeugt kreisförmige Elementarwellen um den jeweiligen Auftreffpunkt, deren Radius sich proportional zur Zeit vergrößert. In den folgenden Bildern sieht man, wie die ersten Kreise angewachsen sind, während der aktuelle Auftreffpunkt nach rechts wandert. Die Tangenten an den Kreisen stellen eine neue Wellenfront dar, welche die reflektierende Ebene nach rechts oben verlässt. Die Winkel zwischen Wellenfront und Ebene sind gleich.]]

[[Datei:Refraction on an aperture - Huygens-Fresnel principle.svg|mini|[[Beugung (Physik)|Beugung]] einer ebenen Wellenfront an einem [[Optischer Spalt|Spalt]] nach dem huygensschen Prinzip]]

Im Jahr 1816 konnte Augustin Fresnel dieses Prinzip erweitern und damit die [[Beugung (Physik)|Beugung]] von Licht an Hindernissen erklären. Er zeigte, dass sich nach dem Prinzip der [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] die resultierende Welle durch Superposition aller Elementarwellen berechnen lässt. Unter anderem sagte Fresnel voraus, dass bei Beugung von Licht an einem runden Objekt ein [[Poisson-Fleck]] entsteht, der nach [[Siméon Denis Poisson]] benannt wurde, obwohl dieser trotz dieser Überlegungen noch von der Teilchennatur des Lichtes überzeugt war. Die experimentelle Bestätigung dieses Phänomens durch [[François Arago]] war ein Sieg der [[Wellenoptik]] gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie. [[Gustav Robert Kirchhoff|Gustav Kirchhoff]] zeigte dann, wie sich das huygenssche Prinzip aus den [[Maxwell-Gleichung]]en herleiten lässt, und präsentierte die präzisere Lösung in Form der [[Beugungsintegral|kirchhoffschen Beugungsintegrale]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Eugene Hecht]] |Titel=Optics |Auflage=2. |Verlag=Addison-Wesley |Datum=1987 |Seiten=392ff}}</ref>

Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den [[Äther (Physik)|Äther]]. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] [[Albert Einstein]]s nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt. Der scheinbare Widerspruch zwischen dem [[Welle-Teilchen-Dualismus|Teilchen- und Wellencharakter]] von Licht wird in der [[Quantenmechanik]] aufgelöst. In diesem Zusammenhang wird das huygenssche Prinzip in Form des [[Zeigermodell]]s zur anschaulichen Erklärung der Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitswellen benutzt.

== Huygenssches Prinzip in der Mathematik ==

In der Mathematik findet das huygenssche Prinzip in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Anwendung.
Es besagt, dass Wellengleichungen eine hintere Wellenfront in den Räumen <math>\mathbb R^n</math> für ungerade <math>n \geq 3</math> besitzen.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Lawrence C. Evans |Titel=Partial differential equations |Reihe=Graduate studies in mathematics |NummerReihe=v. 19 |Auflage=2nd ed |Verlag=American Mathematical Society |Ort=Providence, R.I |Datum=2010 |ISBN=978-0-8218-4974-3}}</ref>
Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn sich eine Störung der Ausgangsdaten in einer Umgebung eines Punktes nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend große Zeiten t auswirkt.

Erklärung des huygensschen Prinzips an der einfachen Wellengleichung <math>\partial_t^2u - \Delta u = 0</math>

Als Anfangsdaten (für <math>t = 0</math>) gilt:

:<math>
\begin{align}
u(x,0) &= \phi(x) \\
\partial_t u(x,0) &= \psi(x)
\end{align}
</math>

mit <math>t \in \mathbb R</math> als Zeitvariable und <math>x \in \mathbb R^n</math> als Ortsvariable.

=== Der Fall ''n'' = 1 ===

Nach der d’Alembertschen Lösungsformel gilt für <math>u = u(x,t)</math>:

:<math>
u(x,t) = \tfrac 12 (\phi (x-t) + \phi (x+t)) + \tfrac12 \int_{x-t}^{x+t} \psi(s) \mathrm ds
</math>

Stören wir das Anfangsdatum <math> \phi </math> im Intervall <math>[a,b]</math>, dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt <math>x_0 \in [a,b]</math>
die Störung zum Zeitpunkt <math> t=T > \max (x_0 - a, b - x_0) </math> keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten <math> \phi (x-T) </math> und <math> \phi (x+T) </math>
wurden nicht gestört. Für <math> \phi </math> gilt das huygenssche Prinzip.

Sei <math>\psi \neq 0</math> und man störe das Anfangsdatum <math>\psi</math> in <math>[a,b]</math>.
Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen <math>u(x,T)</math> hat, denn man integriert über das „Störintervall“:

:<math> u(x,T) = \tfrac12 \int_{x-T}^{x+T} \psi(s) \mathrm ds = \tfrac12 \int_a^b \psi(s) \mathrm ds</math>

Fazit: Im Eindimensionalen gilt das huygenssche Prinzip im Allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum <math> \phi </math>.

=== Der Fall ''n'' = 2 ===

[[Datei:2-dim.png|mini|Veranschaulichung der Integration über das Störgebiet im <math>\R^2</math>]]

Die allgemeine Lösungsformel für den zweidimensionalen Fall (nach der Abstiegsmethode) lautet:

:<math>\begin{aligned}
u(x,t)&=u(x_{1},x_{2},t)\\
&={\frac {1}{2\pi }}\int _{B(x,t)}{\frac {\psi (y)}{\sqrt {t^{2}-|y-x|^{2}}}}\mathrm {d} y\\
& +{\frac {1}{2\pi }}\partial _{t}\left (\int _{B(x,t)}{\frac {\phi (y)}{\sqrt {t^{2}-|x-y|^{2}}}}\mathrm {d} y \right )
\end{aligned}
</math>

<math>B(x,t)</math> bezeichnet die (ausgefüllte) Kreisscheibe mit Mittelpunkt <math>x</math> und Radius <math>t</math>.

Anhand dieser Formel sieht man sofort, dass das huygenssche Prinzip nicht gilt. Denn stört man die Anfangsdaten <math>\phi</math> oder <math>\psi</math> in einem Rechteck <math>R=[a,b]\times[c,d]</math> dann wirkt sich die Störung
auch noch zu jeden Zeitpunkt <math>t=T</math> für alle Punkte <math>x_0 \in R</math> aus, denn die Kreisscheibe <math>B(x,t)</math> beinhaltet für diese Punkte <math>x_0</math> das Rechteck ''R''. Also wird wieder über gestörten Daten integriert.

=== Der Fall ''n'' = 3 ===

[[Datei:3-d.png|mini|Veranschaulichung der Integration über die Kugeloberfläche, die das Störgebiet umschließt, im <math>\R^3</math>]]

Nach der Kirchhoffschen Formel lautet die Lösung für die Wellengleichung:

:<math>\begin{align}
u(x,t) &= u(x_1,x_2,x_3,t) \\
&= \frac{1}{4\pi t} \int_{S(x,t)} \psi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \\
&\quad+ \partial_t \left ( \frac{1}{4 \pi t} \int_{S(x,t)} \phi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \right )
\end{align}</math>

<math>S(x,t)</math> bezeichnet die Oberfläche der Kugel mit Mittelpunkt <math>x</math> und Radius <math>t</math>, <math>\mathrm{d}\sigma_t(y)</math> bezeichnet das Oberflächenelement derselben Kugel.

Mithilfe dieser Formel erkennt man sofort, dass im dreidimensionalen Fall das huygenssche Prinzip gilt. Werden die Anfangsdaten <math>\phi</math> oder <math>\psi</math> auf einem Quader <math>Q = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]</math> gestört, dann wirkt sich diese Störung nicht auf die Lösung für die Punkte ''x''<sup>0</sup> ∈ ''Q'' für große <math>t\ge T</math> aus. Man muss nur <math>t</math> so groß wählen, dass die Kugeloberfläche den Quader komplett umschließt und somit nicht mehr über die gestörten Daten ''Q'' integriert wird. Offensichtlich muss
:<math>T > \max\bigl( \max(x^0_1 - a, b - x^0_1),\,\max(x^0_2 - c, d - x^0_2),\,\max(x^0_3 - e, f - x^0_3) \bigr)</math>
gelten.

Für gerade Dimensionen <math>n</math> gilt das Prinzip nicht.<ref name=":0" />

== Siehe auch ==
* [[Snelliussches Brechungsgesetz]]

== Weblinks ==
{{Commons|Huygens' principle|huygenssches Prinzip}}
* ''[https://www.mathpages.com/home/kmath242/kmath242.htm Huygens' Principle].'' MathPages (Diskussion und Hintergründe des Prinzips aus Sicht der modernen Physik, englisch).
* ''[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/refractionhuygens_de.htm Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung durch das Prinzip von Huygens)].'' (Animation)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4210181-5}}

[[Kategorie:Wellenlehre]]

Huygenssches Prinzip - Versionsgeschichte

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