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2025-12-09T19:23:41Z

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Die '''Hurwitzsche Zeta-Funktion''' (nach [[Adolf Hurwitz]]) ist eine der vielen bekannten [[Zeta-Funktion]]en, die in der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für [[Komplexe Zahl|komplexe]] <math>s,q</math> lautet
:<math>\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{(q+n)^{s}} \qquad\quad \mathrm{Re}(s)>1 \text{ und Re}(q)>0</math>

Die Reihe [[Absolute Konvergenz|konvergiert absolut]] und kann zu einer [[meromorph]]en Funktion erweitert werden für alle <math>s\not=1.</math>

Die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] ist dann <math>\zeta(s,1).</math>

== Analytische Fortsetzung ==

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion [[Analytische Fortsetzung|fortgesetzt]] werden, sodass sie für alle komplexen <math>s\not=1</math> definiert ist. Bei <math>s=1</math> liegt ein einfacher [[Polstelle|Pol]] mit [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] 1 vor.

Es gilt dann

:<math>\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)</math>

unter Verwendung der [[Gammafunktion|Gammafunktion <math>\Gamma (\cdot)</math>]] und der [[Digammafunktion|Digammafunktion <math>\psi (\cdot) </math>]].

== Reihendarstellungen ==

[[Helmut Hasse]] fand 1930<ref>Helmut Hasse: ''Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe'' In: ''Mathematische Zeitschrift.'' Band 32, 1930, S. 458–464.</ref> die Reihendarstellung
:<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}</math>
für <math>q>0</math> und <math>s\in\Complex\setminus \{1\}</math>.

=== Laurent-Entwicklung ===
Die [[Laurent-Entwicklung]] um <math>s=1</math> lautet:
:<math>
\zeta(s,q) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n(q)}{n!}(s-1)^n</math>
mit <math>0<q\le1</math>. <math>\gamma_n(q)</math> sind die Verallgemeinerten [[Stieltjes-Konstanten]]:
:<math>
\gamma_n(q) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=0}^N\frac{\log^n(k+q)}{k+q} - \frac{\log^{n+1} (N+q)}{n+1}\right)</math>
für <math>n=0,1,2,\dots</math>

=== Fourier-Reihe ===
Die [[Fourier-Reihe]] lautet:
:<math>\zeta(s,a)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\left(\sin\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}+\cos\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}\right)</math>
mit <math>\mathrm{Re}(s)<1\text{ und }0<a\le1</math>.<ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/</ref>

== Integraldarstellung ==
Die Integraldarstellung lautet
:<math>\zeta(s,q)=\frac1{\Gamma(s)} \int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}\mathrm dt</math>
wobei <math>\mathrm{Re}(s)>1</math> und <math>\mathrm{Re}(q)>0</math>

== Hurwitz-Formel ==

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für <math>0\le x\le 1</math> und <math>s>1.</math> Sie lautet:<ref>{{MathWorld|HurwitzsFormula|Hurwitz's Formula}}</ref>

:<math>\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-\mathrm i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{\mathrm i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]</math>

wobei

:<math>\beta(x;s) = 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi \mathrm inx)} {(2\pi n)^s} = \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi \mathrm ix})</math>

Dabei bezeichnet <math>\mbox{Li}_s (z)</math> den [[Polylogarithmus]].

== Funktionalgleichung ==

Für alle <math>s</math> und <math>1\leq m \leq n </math> gilt

:<math>\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s} {2} - \frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac kn \right).</math>

== Werte ==

=== Nullstellen ===

Da sich für <math>q=1</math> und <math>q=\tfrac12</math> die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von <math>s</math> ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]].

Für diese <math>q</math> hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für <math>0<q<1</math> und <math>q\not=\tfrac12</math> gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen <math>1<\mathrm{Re}(s)<1+\epsilon</math> mit einem positiv-reellen <math>\epsilon</math>. Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale <math>q</math> von [[Harold Davenport|Davenport]] und [[Hans Heilbronn|Heilbronn]]<ref>H. Davenport und H. Heilbronn: ''On the zeros of certain Dirichlet series''. In: ''Journal of the London Mathematical Society.'' Band 11, 1936, S. 181–185</ref> bewiesen; für algebraische irrationale <math>q</math> von [[J. W. S. Cassels|Cassels]].<ref>J. W. S. Cassels: ''Footnote to a note of Davenport and Heilbronn''. In: ''Journal of the London Mathematical Society.'' Band 36, 1961, S. 177–184</ref>

=== Rationale Argumente ===

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen <math>E_n(x)</math> auf:<ref>Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: ''[http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments]''. In: ''Mathematics of Computation''. Band 68, 1999, S. 1623–1630.</ref>

:<math>E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}</math>

und

:<math>E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}.</math>

Ferner gilt

:<math>\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right]</math>

mit <math>1\le p \le q</math>. Dabei werden <math>C_\nu(x)</math> und <math>S_\nu(x)</math> wie folgt mit der [[Legendresche Chi-Funktion|legendreschen Chi-Funktion]] <math>\chi_\nu</math> definiert:

: <math>C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{\mathrm ix})</math>
bzw.
: <math>S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{\mathrm ix}).</math>

=== Weitere ===

Es gilt (Auswahl):<ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html</ref>

:<math>\zeta(s,-1)=\zeta(s)+1\,</math>
:<math>\zeta(s,2)=\zeta(s)-1\,</math>
:<math>\zeta(s,0)=\zeta(s,1)\,</math>
:<math>\zeta\left(s,\frac mn\right)=\frac1n\sum_{k=1}^nn^s\cdot\mathrm{Li}_s\left(e^{\frac{2\pi\mathrm ik}n}\right)e^{-\frac{2\pi\mathrm i km}n}\qquad\qquad m,n\in\N^+\text{ und }m\le n</math>
:<math>\zeta(0,a)=\frac12-a</math>
:<math>\zeta(2,\tfrac14)=\pi^2+8G</math>
:<math>\zeta(2,\tfrac12+\tfrac x\pi)+\zeta(2,\tfrac12-\tfrac x\pi)=\frac{\pi^2}{\cos^2 x}</math>

([[Riemannsche Zeta-Funktion]], [[Catalansche Konstante]])

== Ableitungen ==

Es gilt

:<math>\frac{\partial^n\zeta(s,a)}{\partial s^n}=\frac{(-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^\infty\frac{\log^n\left((a+k)^2\right)}{\left((a+k)^2\right)^{s/2}}</math>
mit <math>-a \notin \N</math> sowie <math>\mathrm{Re}(s)>1</math> und <math>n\in\N</math><ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/</ref>.

Die Ableitungen nach <math>a</math> ergeben sich zu

:<math>\frac{\partial^n\zeta(s,a)}{\partial a^n}=(1-n-s,n)\sum_{k=0}^\infty\frac1{(a+k)^n\left((a+k)^2\right)^{s/2}}</math>
für <math>a\notin\N</math> und <math>n\in\N</math><ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/</ref> unter Verwendung des [[Pochhammer-Symbol]] <math>(x,n)</math>.

== Beziehungen zu anderen Funktionen ==

=== Bernoulli-Polynome ===

Die im Abschnitt [[#Hurwitz-Formel|''Hurwitz-Formel'']] definierte Funktion <math>\beta</math> verallgemeinert die [[Bernoulli-Polynome]] <math>B_n(x)</math>:

:<math>B_n(x) = -\mathrm{Re} \left[ (-\mathrm i)^n \beta(x;n) \right]</math>

Alternativ kann man sagen, dass

:<math>\zeta(-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.</math>

Für <math>n=0</math> ergibt das

:<math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.</math>

=== Jacobische Thetafunktion ===
Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel:

: <math>\zeta(v;w) = \sum_{k = 0}^{\infty} (k + w)^{-v}</math>

Die [[Abel-Plana-Summenformel]] definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl für positive als auch für negative Werte <math>v</math>:

: <math>\zeta(v;w) =
\frac{w^{1-v}}{v-1} + \frac 1{2w^v} + \frac{2}{w^{v - 1}} \int\limits_0^\infty\frac{\sin\bigl[v\arctan(x)\bigr]}{ {(x^2 + 1)}^{v/2}\bigl[\exp(2\pi wx) - 1\bigr]}\,\mathrm{d}x</math>

Für alle positiven Werte <math>v</math> stimmen die beiden Formeln für die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander überein.

Die Mathematiker [[Edmund Taylor Whittaker]] und [[George Neville Watson]] definierten die [[Jacobische Thetafunktion]]<ref>{{MathWorld|JacobiThetaFunctions|Jacobi Theta Functions}}</ref><ref>http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://dlmf.nist.gov/20.5 |titel=DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results |abruf=2022-08-13}}</ref> auf diese Weise:

: <math>\vartheta_{00}(t;u) = \prod_{n = 1}^\infty (1-u^{2n})\bigl[1+2\cos(2t)u^{2n-1}+u^{4n-2}\bigr]</math>

Basierend auf der nun genannten ''Abel-Plana-Definition'' für die '''Hurwitzsche Zetafunktion''' kann dann diese Identität für folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden:

: <math>\int_{0}^{\infty} x^n\{\vartheta_{00}[\pi \,a;\exp(-x)]-1\} \,\mathrm{d}x = \Gamma(n + 1)\zeta(2n + 2)/\zeta(-2n-1)\bigl[\zeta(-2n-1;a) + \zeta(-2n-1;1 - a)\bigr]</math>
In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion <math>\zeta(s) = \zeta(s;1)</math> eingesetzt.

Für alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien <math>a\in\Complex\,\setminus\,\Z</math> und <math>\bigl[n \in \Complex \,\backslash \bigl(-\tfrac{1}{2} + m\bigr)(m \in \N)\bigr] \cap \bigl[\mathrm{Re}(n) > -\tfrac{1}{2}\bigr]</math> ist diese Formel gültig.

Beispielsweise gilt mit <math>n = \tfrac{1}{4}</math> und <math>a = \tfrac{1}{3}</math>:

: <math>\int_{0}^{\infty} \sqrt[4]{x}\{\vartheta_{00}[\tfrac{1}{3}\pi;\exp(-x)]-1\} \,\mathrm{d}x = \Gamma(\tfrac{5}{4})\zeta(\tfrac{5}{2})/\zeta(-\tfrac{3}{2})\bigl[\zeta(-\tfrac{3}{2};\tfrac{1}{3}) + \zeta(-\tfrac{3}{2};\tfrac{2}{3})\bigr]</math>
: <math>\int_{0}^{\infty} \sqrt[4]{x}\{\vartheta_{00}[\tfrac{1}{3}\pi;\exp(-x)]-1\} \,\mathrm{d}x \approx -0{,}98192204088893492762377332647968767</math>

=== Polygammafunktion ===

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die [[Polygammafunktion]] auf nicht-ganze Ordnungen <math>s</math>:

:<math>\psi_s(z)=\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z)</math>
mit der [[Euler-Mascheroni-Konstante]]n <math>\gamma</math>.<ref name="espinosa">Oliver Espinosa and Victor H. Moll: [https://arxiv.org/pdf/math.CA/0305079 ''A Generalized Polygamma Function''] auf [http://arxiv.org/ arXiv.org e-Print archive] 2003.</ref>

== Auftreten ==

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der [[Zahlentheorie]]. Sie tritt bei [[Fraktal]]en und [[Dynamisches System|dynamischen Systemen]] ebenso wie im [[Zipfsches Gesetz|zipfschen Gesetz]] auf.

In der [[Teilchenphysik]] kommt sie in einer Formel von [[Julian Schwinger]]<ref>J. Schwinger: ''On gauge invariance and vacuum polarization''. In: ''Physical Review''. Band 82, 1951, S. 664–679.</ref> vor, die ein genaues Resultat für die [[Paarbildung (Physik)|Paarbildungs]]-Rate von in der [[Dirac-Gleichung]] beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

== Spezialfälle und Verallgemeinerungen ==

Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet
:<math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s}</math>,
so dass
:<math>\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).</math>
Diese Funktion wird als [[Lerchsche Zeta-Funktion]] bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die [[verallgemeinerte hypergeometrische Funktion]] ausdrücken:<ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/</ref>

:<math>\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s;a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1;1)</math>
mit <math>a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ und }a\notin\N\text{ und }s\in\N^+.</math>

Außerdem gilt mit der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]]:<ref>https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/</ref>

:<math>\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \; \left| \; \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.</math>
mit <math>s\in\N^+</math>.

== Literatur und Weblinks ==
* Jonathan Sondow, Eric W. Weisstein: ''Hurwitz Zeta Function'' [https://mathworld.wolfram.com/HurwitzZetaFunction.html auf MathWorld] und [http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/ in functions.wolfram.com] (englisch)
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]]: ''[[Handbook of Mathematical Functions]]''. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4. ''(Siehe [https://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_260.htm Paragraph 6.4.10])''
* Victor S. Adamchik: ''[http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/hurwitz.htm Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments]''. In: ''Journal of Computational and Applied Mathematics''. Band 100, 1998, S. 201–206.
* Necdet Batit: [http://www.ias.ac.in/mathsci/vol118/nov2008/PM00003.PDF ''New inequalities for the Hurwitz zeta function''] (PDF; 115 kB). In: ''Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.)'' Band 118, Nr. 4, November 2008, S. 495–503.
* Johan Andersson: ''Mean Value Properties of the Hurwitz Zeta Function''. In: ''Math. Scand.'' Band 71, 1992, S. 295–300.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Hurwitzsche Zeta-Funktion - Versionsgeschichte

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