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Das '''Hubbard-Modell'''<ref>{{Literatur |Autor = J. Hubbard |Titel = Electron correlations in narrow energy bands |Sammelwerk = Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |Band = 276 |Datum = 1963-11-26 |Nummer = 1365 |Seiten = 238–257 |DOI= 10.1098/rspa.1963.0204}}</ref> (nach dem britischen Physiker [[John Hubbard (Physiker)|John Hubbard]]) ist ein grob genähertes Modell eines Festkörpers und ist daher in der [[Festkörperphysik]] von großer Bedeutung. Es beschreibt das Verhalten von [[Elektron]]en in einem als starr angenommenen [[Kristallstruktur|Gitter]]. Dabei werden die abstoßenden [[Coulomb-Kraft|Coulomb-Kräfte]] nur für diejenigen Elektronen berücksichtigt, die sich am gleichen Gitterplatz aufhalten. Der Anteil der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]] der Elektronen wird durch ein [[Überlappungsintegral]] <math> t </math> modelliert, das aus dem [[Tight-Binding]]-Modell kommt.

Das Hubbard-Modell ist das einfachste Modell, an dem man das Zusammenspiel von kinetischer Energie, [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Abstoßung]], [[Pauli-Prinzip]] und [[Bandstruktur]] studieren kann. Trotz seiner einfachen Struktur ist es jedoch bisher nicht gelungen, die exakte Lösung dieses Modells, außer in den Grenzfällen von einer und unendlich vielen Dimensionen, zu finden.

Es wird diskutiert z. B. im Zusammenhang mit
* Eigenschaften von Elektronen, die relativ stark [[Lokalisierung (Physik)|lokalisiert]] sind;
* [[Bandmagnetismus]] (Fe, Co, Ni, …);
* [[Metall-Isolator-Übergang]];
* Hochtemperatur-[[Supraleitung]].

Ein [[Variationsrechnung|Variationsansatz]] zur Lösung des Hubbard-Modells ist als [[Gutzwiller-Näherung]] bekannt.

== Formulierung ==
Der [[Hamilton-Operator]] für das Hubbard-Modell ist

:<math>H = U \sum_i c^\dagger_{i\uparrow} c_{i\uparrow} c^\dagger_{i\downarrow} c_{i\downarrow}
- t \sum_{\langle ij \rangle , \sigma} \left( c^\dagger_{i \sigma} c_{j \sigma} + c^\dagger_{j \sigma} c_{i \sigma} \right)</math>

Dabei steht
* die Summe über <math> i </math> für die Summation über alle Gitterplätze,
* die Summe über <math> \langle ij \rangle </math> für die Summe über alle Paare benachbarter Gitterplätze,
* die Summe über <math> \sigma </math> für die Summation über beide [[Spin]]<nowiki />richtungen <math>\uparrow</math> und <math>\downarrow</math>,
* <math>c^\dagger_{i,\sigma}</math> und <math>c_{i,\sigma}</math> für die [[fermion]]ischen [[Erzeugungsoperator|Erzeugungs-]] und [[Vernichtungsoperator]]en eines Elektrons am Gitterplatz <math> i </math> mit Spinrichtung <math> \sigma </math>.
* <math> U </math> legt die Stärke der Coulomb-Abstoßung fest
* <math> t </math> wird aus dem Überlappen von [[Wellenfunktion]]en an benachbarten Gitterplätzen berechnet.

Die Summe des Coulomb-Terms ermittelt die doppelt besetzten Gitterplätze. Daher lässt sich der Wert von <math> U </math> am jeweiligen Ort <math>\mathbf{x_i}</math> durch folgendes Integral ermitteln:
:<math>U(\mathbf{x_i})=\int d^3\mathbf{r_1} \int d^3\mathbf{r_2} \,\,\left| \Psi (\mathbf{r_1 - x_i}) \right|^2 \frac{e^2}{\left|\mathbf{r_1 - r_2} \right|} \left| \Psi (\mathbf{r_2 - x_i}) \right|^2</math>

In der Summe für das Hüpfen der Elektronen bedeutet <math> \langle ij \rangle </math>, dass ausschließlich über benachbarte Gitterplätze summiert wird. Außerdem wird durch die Operatorenkonstellation automatisch das [[Pauli-Prinzip]] beachtet.

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4160713-2|LCCN=sh89006629}}

[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Hubbard-Modell - Versionsgeschichte

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