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[[Datei:Hopfeigenvalues.png|mini|Komplexe Eigenwerte einer beliebigen Abbildung (Punkte). Bei der Hopf-Bifurkation überquert ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte die imaginäre Achse.]]
Eine '''Hopf-Bifurkation''' oder '''Hopf-Andronov-Bifurkation''' ist ein Typ einer lokalen [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] in [[Nichtlineare Systeme|nichtlinearen Systemen]]. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker [[Eberhard Frederich Ferdinand Hopf]]<ref>Hopf, Abzweigung einer periodischen Lösung eines Differentialsystems, Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Band 94, 1942, S. 1–22</ref> bzw. nach [[Alexander Alexandrowitsch Andronow]], der sie mit [[Alexander Adolfowitsch Witt|Witt]] und [[Semjon Emmanuilowitsch Chaikin|Chaikin]] in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf [[Henri Poincaré]] Ende des 19. Jahrhunderts zurück.

Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt ([[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Fixpunkt]]) des Systems ein Paar [[Komplexe Konjugation|komplex konjugierter]] [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] der aus der [[Linearisierung]] des Systems resultierenden [[Jacobimatrix]] die imaginäre Achse der [[Komplexe Zahl #Komplexe Zahlenebene|komplexen Ebene]]; am Bifurkationspunkt selbst sind die konjugierten Eigenwerte also rein [[imaginäre Zahl|imaginär]]. Die Hopf-Bifurkationen können nur in zwei- oder höherdimensionalen Systemen auftreten, da die Linearisierung des Systems ''mindestens zwei'' Eigenwerte ("ein Paar") besitzen muss.

[[Datei:Hopfbifurcation.png|mini|400px|1: Superkritische Hopf-Bifurkation, 2: Subkritische Hopf-Bifurkation. Mögliche Trajektorien in Rot, stabile Strukturen in Dunkelblau, instabile Strukturen in gestricheltem Hellblau.]]

Die [[Normalform]] der Hopf-Bifurkation ist

::<math>\frac{dz}{dt} = z ((\lambda + i ) + (\alpha + i \beta) |z|^2).</math>

Dabei ist
* <math>z</math> eine komplexe Größe
* t die Zeit
* i die imaginäre Einheit
* <math>\lambda</math>, <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind [[reelle Zahl|reelle]] Parameter
** <math>\lambda</math> ist ein [[Eigenwertproblem|Eigenwert]].
Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines [[Parameter (Mathematik)|Parameters]] ein [[Grenzzyklus]] aus einem [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] entsteht. Es werden zwei Fälle unterschieden, je nachdem, ob ein [[Stabilitätstheorie|stabiler]] Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder ein instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung):<ref>Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation, Scholarpedia, siehe Weblinks</ref>
* Im Fall der superkritischen Hopf-Bifurkation (<math>\alpha<0</math>) tritt für <math>\lambda<0</math> ein stabiler Fixpunkt auf, der beim Übergang zu <math>\lambda>0</math> in einen instabilen Fixpunkt bzw. einen stabilen Grenzzyklus übergeht.
* Im Fall der subkritischen Hopf-Bifurkation (<math>\alpha>0</math>) tritt bei <math>\lambda<0</math> ein instabiler Grenzzyklus bzw. ein stabiler Fixpunkt auf, der mit <math>\lambda>0</math> in einen instabilen Fixpunkt übergeht.

Die Parameter <math>\lambda</math> und <math>\alpha</math> bestimmen im Wesentlichen die Stabilität des Systems nahe <math>\lambda = 0</math>, wohingegen <math>\beta</math> die Rotation der [[Trajektorie (Mathematik)|Trajektorien]] und damit auch die Windungsrichtung beeinflusst.

Die [[Kodimension]] der Hopf-Bifurkation ist wie bei der [[Sattel-Knoten-Bifurkation]], der [[Pitchfork-Bifurkation]] und der [[Transkritische Bifurkation|Transkritischen Bifurkation]] gleich eins; diese anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich jedoch am Fixpunkt durch einen Eigenwert <math>\lambda = 0</math> der Jacobimatrix aus.

== Literatur ==
* John Guckenheimer, Philip Holmes: ''Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields'', Springer, ISBN 0-387-90819-6
* Yu.A. Kuznetsov: ''Elements of Applied Bifurcation Theory'', Springer, 3. Auflage 2004
* [[Jerrold E. Marsden]], M. McCracken: ''Hopf Bifurcation and its Applications'', Springer 1976
== Weblinks ==
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Andronov-Hopf_Bifurcation}} (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]

Hopf-Bifurkation - Versionsgeschichte

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