imported>Kalle Ute Inge Cindy Troy: /* Faltung und Antipode */

2025-04-21T14:29:23Z

Faltung und Antipode

Neue Seite

{| width="25%" align="right" border="1"
|- bgcolor=#abcdef
| '''Hopfalgebra'''
|-
|
|- bgcolor=#fedcba
|
berührt die Spezialgebiete
|- bgcolor=#abcdef
|
*[[Mathematik]]
**[[Abstrakte Algebra]]
**[[Lineare Algebra]]
**[[Kommutative Algebra]]
|-
|
|- bgcolor=#fedcba
|
ist Spezialfall von
|- bgcolor=#abcdef
|
*[[Bialgebra]]
|}

Eine '''Hopf-Algebra''' – benannt nach dem Mathematiker [[Heinz Hopf]] – <math>H</math> über einem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist eine [[Bialgebra]] <math>(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)</math> mit einer <math>\mathbb{K}</math>-linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, <math>S\colon H\to H</math>, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
<div style="text-align: center;">
[[Datei:Hopf algebra.svg|Diagramm definierende Eigenschaft der Antipode]]
</div>
Formal in der [[Sweedler-Notation]] – benannt nach [[Moss Sweedler]] – geschrieben heißt das:
<math>S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon\left(c\right)1.</math>

== Faltung und Antipode ==

Sei <math>A</math> eine [[Algebra (Struktur)|Algebra]] und <math>C</math> eine [[Koalgebra]]. Die <math>\mathbb K</math>-linearen Abbildungen von <math>C</math> nach <math>A</math> bilden eine Algebra mit Produkt <math>*</math>, genannt Faltung, definiert durch
: <math>(f*g)(x):=f(x_{(1)})g(x_{(2)}) </math>.

Das neutrale Element in dieser Algebra ist <math>\eta \circ \epsilon</math>, denn
: <math>(f*(\eta \circ \epsilon))(x) = f(x_{(1)})\eta(\epsilon(x_{(2)})) = f(x_{(1)}\epsilon(x_{(2)}))\eta(1) = f(x) </math>
und entsprechend auch
: <math>((\eta \circ \epsilon)*f)(x) = f(x) </math>.

Für eine [[Bialgebra]] <math>H</math> bilden die <math>\mathbb K</math>-linearen Abbildungen von <math>H</math> nach <math>H</math> auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode <math>S</math> ist das zur [[identische Abbildung|identischen Abbildung]] [[inverses Element|inverse Element]] in dieser Algebra. Das heißt
: <math>S*\mathrm{id} = \eta\circ\epsilon = \mathrm{id}*S </math>.

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopf-Algebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopf-Algebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

== Beispiele ==

=== Gruppenalgebra ===
Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die [[Gruppenalgebra]] <math>\mathbb K G</math>. Sie wird durch
: <math>\Delta(g) := g \otimes g</math> für <math>g \in G</math>
und
: <math>\epsilon(g) := 1</math> für <math>g \in G</math>
zu einer [[Bialgebra]], die Antipode
: <math>S(g) := g^{-1}</math> für <math>g \in G</math>
macht sie zu einer Hopf-Algebra.

=== Universelle einhüllende Algebra ===
Die [[universelle einhüllende Algebra]] <math>\mathrm U(\mathfrak g)</math> einer [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak g</math> ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element <math>x \in \mathfrak g</math> ist das Koprodukt durch
: <math>\Delta(x) := 1\otimes x + x \otimes 1 </math>
und die Koeins durch
: <math>\epsilon(x) := 0 </math>
definiert.

: <math>S(x) := -x </math>
definiert die Antipode.

== Gruppenartige und primitive Elemente ==
Ein Element <math>g</math> einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn <math>\Delta(g)=g \otimes g</math> und <math>\epsilon(g)=1 </math>. Für die Antipode gilt dann <math>S(g)=g^{-1} </math>.

Ein Element <math>x</math> heißt „primitiv“, wenn <math>\Delta(x)=1\otimes x + x\otimes 1 </math>. Daraus folgt, dass <math>\epsilon(x)=0 </math> und <math>S(x)=-x </math>.

Ein Element <math>x</math> heißt „schiefprimitiv“, wenn <math>\Delta(x)=g\otimes x + x\otimes h </math> mit gruppenähnlichen Elementen <math>g</math> und <math>h</math>. Daraus folgt, dass <math>\epsilon(x)=0 </math> und <math>S(x)=-g^{-1}xh^{-1} </math>.

== Literatur ==

* [[Christian Kassel]]: ''Quantum Groups'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.
* [[Moss Sweedler|Moss E. Sweedler]]: ''Hopf algebras.'' Benjamin, New York NY 1969.

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Hopf-Algebra - Versionsgeschichte

imported>Kalle Ute Inge Cindy Troy: /* Faltung und Antipode */