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2025-04-04T05:32:23Z

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In der [[Mathematik]], genauer in der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], sind die '''Homotopiegruppen''' ein Werkzeug, um [[topologischer Raum|topologische Räume]] zu klassifizieren. Die [[Stetige Funktion|stetigen]] Abbildungen einer [[Dimension (Mathematik)|''n''-dimensionalen]] [[Topologische Sphäre|Sphäre]] in einen gegebenen Raum werden zu [[Äquivalenzklasse]]n, den sogenannten [[Homotopie]]klassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen ''homotop'', wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die ''n''-te ''Homotopiegruppe'' des Raumes genannt wird.

Anschaulich kann die Homotopiegruppe <math>\pi_n(X,x_0)</math> als Maß dafür verstanden werden, auf wie viele ''wesentlich'' unterschiedliche Arten die <math>S^n</math> in den Raum <math>X</math> abgebildet werden kann.<ref>{{Literatur |Autor=Fridtjof Toenniessen |Titel=Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Datum=2017-08-07 |ISBN=978-3-662-54963-6 |Online=https://books.google.com/books?id=_DS_tAEACAAJ&newbks=0&hl=en |Abruf=2021-12-31}}</ref>

Die erste Homotopiegruppe heißt auch [[Fundamentalgruppe]].

[[Homotopieäquivalenz|Homotopieäquivalente]] topologische Räume haben isomorphe Homotopiegruppen. Haben zwei Räume verschiedene Homotopiegruppen, so können sie nicht [[Homotopieäquivalenz|homotopieäquivalent]] sein, somit auch nicht [[homöomorph]]. Für [[CW-Komplex]]e gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung.

== Definition ==

In der Sphäre <math>S^n</math> wählen wir einen Punkt <math>a</math>, den wir ''Basispunkt'' nennen. Sei <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>b \in X</math> ein Basispunkt. Wir definieren <math>\pi_n(X,b)</math> als die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen <math>f\colon (S^n, a) \to (X,b)</math> (d. h. es ist <math>f(a)=b</math>). Genauer gesagt, werden die Äquivalenzklassen durch Homotopien definiert, die den Basispunkt festhalten.<ref>Es ist wichtig, hier nur Homotopien zuzulassen, die den Basispunkt festlassen. Die Menge <math>\left[S^n,X\right]</math> der [[Freie Homotopie|freien Homotopieklassen]] hat keine natürliche Gruppenstruktur und sie ist im Allgemeinen nicht in Bijektion zu <math>\pi_n(X,b)</math>. Man hat eine [[Surjektiv|surjektive]] Abbildung <math>\pi_n(X,b)\to \left[S^n,X\right]</math>, unter der zwei Elemente genau dann derselben freien Homotopieklasse entsprechen, wenn sie im selben [[Orbit (Mathematik)|Orbit]] der Wirkung von <math>\pi_1(X,b)</math> auf <math>\pi_n(X,b)</math> liegen.</ref> Äquivalent könnten wir <math>\pi_n(X,b)</math> als die Menge der Homotopieklassen relativ zu <math>\partial I^n</math> der stetigen Abbildungen <math>g\colon (I^n, \partial I^n) \to (X,b)</math> definieren, d. h. derjenigen stetigen Abbildungen vom ''n''-dimensionalen Einheitswürfel nach <math>X</math>, die den Rand des Würfels in den Punkt <math>b</math> abbilden. Dies ist auf <math>I^n/\partial I^n \cong S^n</math> zurückzuführen.

Für <math>n\ge 1</math> kann man die Menge der Homotopieklassen mit einer Gruppenstruktur versehen. Die Konstruktion der Gruppenstruktur von <math>\pi_n(X,b)</math> ähnelt der im Falle <math>n=1</math>, also der [[Fundamentalgruppe]]. Die Idee der Konstruktion der [[Gruppenoperation]] in der Fundamentalgruppe ist das Hintereinanderdurchlaufen von Wegen, in der allgemeineren <math>n</math>-ten Homotopiegruppe gehen wir ähnlich vor, nur, dass wir nun <math>n</math>-Würfel entlang einer Seite zusammenkleben, d. h. wir definieren die Summe zweier Abbildungen <math>f,g\colon(I^n, \partial I^n) \to (X,b)</math> durch
:<math>(f*g)(t) = \begin{cases} f(t_1,\ldots, t_{n-1}, 2t_n) & t_n \le \frac 12\\
g(t_1,\ldots, t_{n-1}, 2t_n-1) & t_n \ge \frac 12
\end{cases}</math>
In der Darstellung durch Sphären ist die Summe zweier Homotopieklassen die Homotopieklasse derjenigen Abbildung, die man erhält, wenn man die Sphäre zunächst am Äquator entlang zusammenzieht und dann auf der oberen Sphäre ''f'', auf der unteren ''g'' anwendet. Genauer: <math>f+g</math> ist die Komposition der 'Äquatorzusammenzurrung' <math>S^n \to S^n \vee S^n</math> ([[Wedge-Produkt (Topologie)|Einpunktvereinigung]]) und der Abbildung <math>f\vee g\colon S^n \vee S^n \to X</math>.

Ist <math>n \ge 2</math>, so ist <math>\pi_n(X, b)</math> eine [[abelsche Gruppe]]. Zum Beweis dieser Tatsache beachte man, dass zwei Homotopien ab Dimension zwei umeinander „gedreht“ werden können. Für <math>n=1</math> ist das nicht möglich, da der Rand von <math>I^1</math> nicht wegzusammenhängend ist.

== Beispiele ==
=== Homotopiegruppen von Sphären ===
Für <math>0<k<n</math> gilt <math>\pi_k(S^n)=0</math>, für <math>k=n</math> folgt aus dem [[Satz von Hopf]], dass
:<math>\pi_n(S^n)=\Z</math>
ist. [[Jean-Pierre Serre]] hat bewiesen, dass <Math>\pi_k(S^n)</math> für <math>k\not= n, 2n-1</math> eine [[endliche Gruppe]] sein muss.

=== Eilenberg-MacLane-Räume ===
Topologische Räume <Math>X</math>, die <math>\pi_k(X)=0</math> für alle <math>k\not=0,n</math> erfüllen, heißen [[Eilenberg-MacLane-Raum|Eilenberg-MacLane-Räume]] <math>K(\pi,n)</math> mit <math>\pi:=\pi_n(X)</math>.

Beispiele von <math>K(\pi,1)</math>-Räumen sind geschlossene, orientierbare [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] mit Ausnahme der <math>S^2</math>, geschlossene, orientierbare, [[Verbundene Summe#3-Mannigfaltigkeiten|prime 3-Mannigfaltigkeiten]] mit Ausnahme der <math>S^2\times S^1</math> und alle [[CAT(0)-Raum|CAT(0)-Räume]], darunter [[Lokal symmetrischer Raum|lokal-symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ]], insbesondere [[Hyperbolische Mannigfaltigkeit|hyperbolische Mannigfaltigkeiten]].

== Die lange exakte Sequenz einer Faserung ==

Ist <math>p\colon (E,e_0) \to (B, b_0)</math> eine [[Serre-Faserung]] mit [[Faser (Mathematik)|Faser]] <math>F</math>, das
heißt eine stetige Abbildung, die die [[Faserung|Homotopiehochhebungseigenschaft]] für [[CW-Komplex]]e besitzt, so existiert eine lange [[exakte Sequenz]] von Homotopiegruppen

:<math>\ldots\to \pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\ldots\to\pi_0(E)\to\pi_0(B)\to 0</math>

Die <math>\pi_0</math> betreffenden Abbildungen sind hier keine [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]], da <math>\pi_0</math> nicht gruppenwertig ist, sie sind aber exakt in dem Sinne, dass das Bild dem Kern (die Komponente des Basispunktes ist das ausgezeichnete Element) gleicht.

=== Beispiel: Die Hopf-Faserung ===
Die Basis <math>B</math> ist hier <math>S^2</math> und der [[Serre-Faserung#Hopf-Faserungen|Totalraum]] <math>E</math> ist <math>S^3</math>. Sei <math>p \colon S^3 \to S^2</math> die [[Hopf-Faserung|Hopfabbildung]], die die Faser <math>S^1</math> hat. Aus der langen exakten Sequenz

:<math>\ldots\to \pi_n(S^1)\to\pi_n(S^3)\to\pi_n(S^2)\to\pi_{n-1}(S^1)\to\ldots</math>

und der Tatsache, dass <math>\pi_n(S^1) = 0</math> für <math>n \ge 2</math>, folgt, dass <math>\pi_n(S^2) = \pi_n(S^3)</math> für <math>n \ge 3</math> gilt. Insbesondere ist <math>\pi_3(S^2) = \mathbb Z. </math>

== ''n''-Äquivalenzen und schwache Äquivalenzen. Der Satz von Whitehead ==

Eine stetige Abbildung <math>f\colon X\to Y</math> heißt <math>n</math>-Äquivalenz, wenn die induzierte Abbildung <math>\pi_k(X)\to\pi_k(Y)</math> für <math>k<n</math> ein [[Isomorphismus]] und für <math>k=n</math> eine Surjektion ist. Ist die Abbildung für alle <math>k</math> ein Isomorphismus, so nennt man die Abbildung eine schwache Äquivalenz.<ref>J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology''. University of Chicago Press, Chicago 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 9.6</ref>

Ein Satz von [[J. H. C. Whitehead]] besagt, dass eine schwache Äquivalenz zwischen [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] [[CW-Komplex]]en bereits eine [[Homotopieäquivalenz]] ist. Falls <math>X</math> und <math>Y</math> Dimension kleiner als <math>n</math> haben, so genügt bereits, dass <math>f</math> eine <math>n</math>-Äquivalenz ist.<ref>J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology''. University of Chicago Press, Chicago 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 10.3</ref>

== Homotopie und Homologie. Der Satz von Hurewicz ==

{{Hauptartikel|Hurewicz-Theorem}}

Für punktierte Räume <math>X</math> gibt es kanonische Homomorphismen von den Homotopiegruppen in die reduzierten [[Homologiegruppe]]n
: <math>h_n\colon\pi_n(X)\to\tilde H_n(X,\mathbb Z),</math>
die ''Hurewicz-Homomorphismen'' (nach [[Witold Hurewicz]]) genannt werden. Ein Satz von Hurewicz besagt: Ist <math>X</math> ein <math>(n-1)</math>-zusammenhängender Raum, d. h. gilt <math>\pi_k(X)=0</math> für <math>k<n</math>, dann ist der Hurewicz-Homomorphismus <math>h_n</math> im Fall <math>n=1</math> die [[Abelisierung]] und für <math>n>1</math> ein Isomorphismus.<ref>J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology''. University of Chicago Press, Chicago 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 15.1</ref>

== Relative Homotopiegruppen ==

Man kann auch ''relative'' Homotopiegruppen <math>\pi_n(X,A,a)</math> für Raumpaare <math>(X,A)</math> definieren, ihre Elemente sind Homotopieklassen von Abbildungen <math>(B^n, S^{n-1}, b) \to (X,A,a)</math>, zwei solche Abbildungen <math>f</math> und <math>g</math> heißen dabei homotop, wenn es eine Homotopie <math>F\colon (B^n \times I, S^{n-1} \times I, b \times I) \to (X,A,a)</math> gibt. Man erhält die absoluten Homotopiegruppen im Spezialfall <math>A = \{a\}</math>.

Für jedes Raumpaar gibt es eine lange exakte Sequenz

:<math>\ldots\to\pi_{n+1}(X,A)\to\pi_n(A)\to\pi_n(X)\to\pi_n(X,A)\to\ldots\to\pi_0(X)</math>

== Literatur ==

* J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology''. University of Chicago Press, Chicago 1999, ISBN 0-226-51183-9.

== Weblinks ==
* Putman: [https://www3.nd.edu/~andyp/notes/HomotopySpheresLowDimTop.pdf Homotopy groups of spheres and low-dimensional topology]

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Homotopietheorie]]
[[Kategorie:Topologische Invariante]]

Homotopiegruppe - Versionsgeschichte

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