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2023-04-09T18:50:54Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den topologischen Begriff Homotopie. Für die daraus entstandene Begriffsbildung der homologischen Algebra siehe [[Homotopie (homologische Algebra)]]. Zu homotopen Gruppen in der [[Chemie]] siehe [[Topizität]].}}
[[Datei:Mug and Torus morph.gif|200px|mini|Eine Homotopie, die eine Kaffeetasse in einen Donut (einen [[Volltorus]]) überführt.]]
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist eine '''Homotopie''' (von {{elS|ὁμός|homos}} ‚gleich‘ und τόπος ''tópos'' ‚Ort‘, ‚Platz‘) eine [[Stetige Funktion|stetige]] Deformation zwischen zwei [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] von einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in eine andere Kurve.
Eine Anwendung von Homotopie ist die Definition der [[Homotopiegruppe]]n, welche wichtige [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] sind.

Der Begriff „Homotopie“ bezeichnet sowohl die Eigenschaft zweier Abbildungen, zueinander '''homotop (präferiert)''' zu sein, als auch die Abbildung („stetige Deformation“), die diese Eigenschaft vermittelt.

== Definition ==
Eine ''Homotopie'' zwischen zwei [[Stetige Funktion|stetigen Abbildungen]] <math>f,g \colon X \to Y</math> ist eine stetige Abbildung
: <math>H\colon X \times {[0, 1]} \to Y</math>
mit der Eigenschaft für alle <math>x\in X</math> gilt
: <math>H(x,0)=f(x)\quad</math> und <math>\quad H(x,1)=g(x)</math>
wobei <math>[0, 1]</math> das [[Intervall (Mathematik)#Abgeschlossenes Intervall|Einheitsintervall]] ist.

Der erste Parameter entspricht also dem der ursprünglichen Abbildungen und der zweite gibt den Grad der [[Verformung|Deformation]] an. Eine Homotopie definiert eine ein-parametrige Familie <math>(H_t(x))_{0\leq t\leq 1}</math> mit <math>H_t(x):=H(x,t)</math>, so dass <math>H_0(x)=f(x)</math> und <math>H_1(x)=g(x)</math>. Besonders anschaulich wird die Definition, wenn man sich den zweiten Parameter als „Zeit“ vorstellt (vgl. Bild).

Äquivalent kann man eine Homotopie definieren als einen (stetigen) [[Weg (Mathematik)|Weg]] von <math>f</math> nach <math>g</math> im Raum der stetigen Funktionen <math>C(X,Y)</math> mit der [[Kompakt-offene Topologie|kompakt-offenen Topologie]].

Man sagt, <math>f</math> sei ''homotop'' zu <math>g</math> und schreibt <math>f \sim g</math>. Homotopie ist eine [[Äquivalenzrelation]] auf der [[Menge (Mathematik)|Menge]] der stetigen Abbildungen <math> X \to Y</math>, die zugehörigen [[Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]] heißen ''Homotopieklassen'', die Menge dieser Äquivalenzklassen wird häufig mit <math>[X,Y]</math> bezeichnet.

Eine stetige Abbildung <math>f \colon X\to Y</math> heißt ''nullhomotop'', wenn sie homotop zu einer [[Konstante Funktion|konstanten Abbildung]] ist.

=== Eigenschaften ===
* Homotopierelationen bleiben unter [[Komposition (Mathematik)|Komposition]]en erhalten, das heißt wenn <math>f_1,\, f_2\colon Y\to Z</math> und <math>g_1,\, g_2\colon X\to Y</math> stetige Funktionen sind und
:: <math>f_1\sim f_2;\quad</math> <math>g_1\sim g_2</math>
: gilt, dann gilt auch
:: <math>f_1 \circ g_1\sim f_2 \circ g_2.</math><ref>{{Literatur|Autor=John M. Lee|Titel=Introduction to Smooth Manifolds|Hrsg=Springer|Auflage=2|Seiten=74-75}}</ref>

== Beispiel ==
[[Datei:Homotopie Bsp.png|150px|mini|Homotopie eines Kreises in R² auf einen Punkt]]
Sei <math>X=S^{1}\subset \mathbb R^2</math> der [[Einheitskreis]] in der Ebene und <math>Y=\mathbb R^2</math> die ganze Ebene. Die Abbildung <math>f</math> sei die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] von <math>X</math> in <math>Y</math>, und <math>g</math> sei die Abbildung, die ganz <math>X</math> auf den [[Koordinatenursprung|Ursprung]] abbildet, also
:<math>f\colon X\to Y</math>, <math>f(x)=x</math> und <math>g \colon X\to Y</math>, <math>g(x)=0</math>.
Dann sind <math>f</math> und <math>g</math> zueinander homotop. Denn
: <math>H \colon X \times [ 0, 1] \to \mathbb R^2</math> mit <math>H(x,t) = (1-t) \cdot f(x)</math>
ist stetig und erfüllt <math>H(x,0)=1\cdot f(x) =f(x)</math> und <math>H(x,1)=0\cdot f(x)=0=g(x)</math>.

== Relative Homotopie ==
Ist <math>E</math> eine Teilmenge von <math>X</math>, und stimmen zwei stetige Abbildungen <math>f,g\colon X\to Y</math> auf <math>E</math> überein, so heißen <math>f</math> und <math>g</math> ''homotop relativ zu <math>E</math>'', wenn es eine Homotopie <math>H\colon f\sim g</math> gibt, für die <math>H(e,t)</math> für jedes <math>e\in E</math> unabhängig von <math>t</math> ist.

[[Datei:Homotopy curves.svg|240px|mini|Homotopie zweier Kurven]]
[[Datei:HomotopySmall.gif|mini|Die beiden hier gezeigten gestrichelten Wege sind relativ zu ihren Endpunkten homotop. Die Animation repräsentiert eine mögliche Homotopie.]]
Ein wichtiger Spezialfall ist die Homotopie von Wegen relativ der Endpunkte:
Ein ''Weg'' ist eine stetige Abbildung <math>\gamma\colon [0,1]\to X</math>; dabei ist <math>[0,1]</math> das Einheitsintervall. Zwei Wege heißen ''homotop relativ der Endpunkte'', wenn sie homotop relativ <math>\{0,1\}</math> sind, d. h. wenn die Homotopie die Anfangs- und Endpunkte festhält.
(Sonst wären Wege in der gleichen [[Zusammenhängender Raum|Wegzusammenhangskomponente]] ''immer'' homotop.) Sind also <math>\gamma_0</math> und <math>\gamma_1</math> zwei Wege in <math>Y</math> mit <math>\gamma_0(0)=\gamma_1(0)=x</math> und <math>\gamma_0(1)=\gamma_1(1)=y</math>, so ist eine Homotopie relativ der Endpunkte zwischen ihnen eine stetige Abbildung
: <math>H:[0,1]\times [0,1]\to Y</math>
mit <math>H(t,0)=\gamma_0(t)</math>, <math>H(t,1)=\gamma_1(t)</math>, <math>H(0,s)=x</math> und <math>H(1,s)=y</math>.

Ein Weg heißt nullhomotop genau dann, wenn er homotop zum konstanten Weg <math>\gamma(t)=x_0</math> ist.

Der andere häufig auftretende Fall ist die Homotopie von Abbildungen zwischen [[Punktierter topologischer Raum|punktierten Räumen]]. Sind <math>(X,x_0)</math> und <math>(Y,y_0)</math> punktierte Räume, so sind zwei stetige Abbildungen <math>f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)</math> homotop ''als Abbildungen von punktierten Räumen'', wenn sie relativ <math>x_0</math> homotop sind.

=== Beispiel: Die Fundamentalgruppe ===
Die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen punktierter Räume von <math>(S^1,*)</math> nach <math>(X,x_0)</math> ist die [[Fundamentalgruppe]] von <math>X</math> zum Basispunkt <math>x_0</math>.

Ist zum Beispiel <math>(X,x_0)</math> ein Kreis mit einem beliebigen ausgewählten Punkt <math>x_0</math>, dann ist der Weg, der durch einmaliges Umrunden des Kreises beschrieben wird, nicht homotop zum Weg, den man durch Stillstehen am Ausgangspunkt <math>x_0</math> erhält.

== Homotopieäquivalenz ==
{{Hauptartikel|Homotopieäquivalenz}}

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei topologische Räume und sind <math>f \colon X \to Y</math> und <math>g \colon Y \to X</math> stetige Abbildungen. Dann sind die Verknüpfungen <math>g\circ f</math> und <math>f\circ g</math> jeweils stetige Abbildungen von <math>X</math> bzw. <math>Y</math> auf sich selbst, und man kann versuchen, diese zur Identität auf X bzw. Y zu homotopieren.

Falls es solche <math>f</math> und <math>g</math> gibt, dass <math>g\circ f</math> homotop zu <math>\operatorname{id}_X</math> und <math>f\circ g</math> homotop zu <math>\operatorname{id}_Y</math> ist, so nennt man <math>X</math> und <math>Y</math> ''homotopieäquivalent'' oder ''vom gleichen Homotopietyp''. Die Abbildungen <math>f</math> und <math>g</math> heißen dann ''Homotopieäquivalenzen''.

Homotopieäquivalente Räume haben die meisten topologischen Eigenschaften gemeinsam. Falls <math>X</math> und <math>Y</math> homotopieäquivalent sind, so gilt
* falls <math>X</math> [[Zusammenhängender Raum#Wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]], so auch <math>Y</math>.
* falls <math>X</math> und <math>Y</math> wegzusammenhängend, so sind die [[Fundamentalgruppe]]n und die höheren [[Homotopiegruppe]]n isomorph.
* die [[Axiomatische Homologie|Homologie]]- und [[Kohomologie]]gruppen von <math>X</math> und <math>Y</math> sind gleich.
* <math>X</math> und <math>Y</math> sind [[Retrakt#Deformationsretrakt|Deformationsretrakte]] eines topologischen Raums <math>Z</math>.

== {{Anker|Isotopie}} Isotopie ==
=== Definition ===
Wenn zwei gegebene homotope Abbildungen <math>f \colon X \to Y</math> und <math>g \colon X \to Y</math> zu einer bestimmten [[Regularitätsklasse]] gehören oder andere zusätzliche Eigenschaften besitzen, kann man sich fragen, ob die beiden innerhalb dieser Klasse durch einen Weg miteinander verbunden werden können. Dies führt zum Konzept der '''Isotopie'''. Eine Isotopie ist eine Homotopie
:<math>H \colon X \times [0, 1] \to Y</math>
wie oben, wobei alle Zwischenabbildungen <math>H_t := H(\cdot,t)</math> (für festes ''t'') ebenfalls die geforderten Zusatzeigenschaften besitzen sollen. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen ''Isotopieklassen''.

=== Beispiele ===
Zwei [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] sind also isotop, wenn eine Homotopie existiert, so dass alle <math>H_t</math> Homöomorphismen sind. Zwei [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] sind isotop, wenn alle <math>H_t</math> selbst Diffeomorphismen sind. (Man bezeichnet sie dann auch als ''diffeotop''.) Zwei [[Einbettung (Mathematik)|Einbettungen]] sind isotop, wenn alle <math>H_t</math> Einbettungen sind.

=== Unterschied zur Homotopie ===
Zu verlangen, dass zwei Abbildungen isotop sind, kann tatsächlich eine stärkere Anforderung sein, als zu verlangen, dass sie homotop sind. Zum Beispiel ist der Homöomorphismus der [[Einheitskreis]]scheibe in <math>\R^2</math>, der durch <math>f(x,y)=(-x,-y)</math> definiert ist, dasselbe wie eine 180-Grad-Drehung um den Nullpunkt, darum sind die Identitätsabbildung und <math>f</math> isotop, denn sie können durch Drehungen miteinander verbunden werden. Im Gegensatz dazu ist die Abbildung auf dem Intervall <math>\left[-1,1\right]</math> in <math>\R</math>, definiert durch <math>f(x)=-x</math> ''nicht'' isotop zur Identität. Das liegt daran, dass jede Homotopie der beiden Abbildungen zu einem bestimmten Zeitpunkt die beiden Endpunkte miteinander vertauschen muss; zu diesem Zeitpunkt werden sie auf denselben Punkt abgebildet und die entsprechende Abbildung ist kein Homöomorphismus. Hingegen ist <math>f</math> homotop zur Identität, zum Beispiel durch die Homotopie <math>H''\colon\left[-1,1\right]\times\left[0,1\right]\to\left[-1,1\right]</math>, gegeben durch <math>H(x,t)=2tx-x</math>.

=== Anwendungen ===
In der [[Geometrische Topologie|Geometrischen Topologie]] werden Isotopien benutzt, um Äquivalenzrelationen herzustellen.

Zum Beispiel in der [[Knotentheorie]] – wann sind zwei Knoten <math>K_1</math> und <math>K_2</math> als gleich zu betrachten? Die intuitive Idee, den einen Knoten in den anderen zu deformieren, führt dazu, dass man einen Weg von Homöomorphismen verlangt: Eine Isotopie, die mit der Identität des [[Dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raumes]] beginnt und bei einem Homöomorphismus ''h'' endet, so dass ''h'' den Knoten <math>K_1</math> in den Knoten <math>K_2</math> überführt. Eine solche Isotopie des umgebenden Raumes wird '''ambiente Isotopie'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Tammo tom Dieck]] |Titel=Topologie |Auflage=2 |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2000 |ISBN=3-11-016236-9 |Seiten=277}}</ref> oder '''Umgebungsisotopie''' genannt.

Eine andere wichtige Anwendung ist die Definition der [[Abbildungsklassengruppe]] ''Mod(M)'' einer [[Mannigfaltigkeit]] ''M''. Man betrachtet Diffeomorphismen von ''M'' „bis auf Isotopie“, das heißt, dass ''Mod(M)'' die ([[Diskretheit|diskrete]]) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der Diffeomorphismen von ''M'' ist, [[Quotientengruppe|modulo]] der Gruppe der Diffeomorphismen, die isotop zur Identität sind.

Homotopie kann in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] für eine robuste [[Initialisierung]] zur Lösung von [[Differential-algebraische Gleichung|differential-algebraischen Gleichungen]] eingesetzt werden (siehe [[Homotopieverfahren]]).

== Kettenhomotopie ==
Zwei [[Kettenkomplex#Kettenhomomorphismus|Kettenhomomorphismen]]
: <math> f_\bullet, g_\bullet \colon (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})</math>
zwischen [[Kettenkomplex]]en <math>(A_\bullet, d_{A,\bullet})</math> und <math>(B_\bullet, d_{B,\bullet})</math> heißen kettenhomotop, wenn es einen Homomorphismus
: <math>K_\bullet \colon (A_\bullet) \to (B_{\bullet+1})</math>
mit
: <math> d_{B,{\bullet+1}}K_\bullet + K_{\bullet-1}d_{A,{\bullet}} = f_\bullet - g_\bullet</math>
gibt.

Wenn <math>f,g \colon X\to Y</math> homotope Abbildungen zwischen topologischen Räumen sind, dann sind die induzierten Abbildungen der [[Singulärer Kettenkomplex|singulären Kettenkomplexe]]
: <math>f_\bullet, g_\bullet \colon (C_\bullet(X),d_\bullet)\to (C_\bullet(Y),d_\bullet)</math>
kettenhomotop.

== Punktierte Homotopie ==
{{Hauptartikel|Punktierter topologischer Raum}}
Zwei punktierte Abbildungen
: <math>f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)</math>
heißen ''homotop'', wenn es eine stetige Abbildung <math>H\colon X\times\left[0,1\right]\to Y</math> mit
: <math>H(x,0)=f(x)</math> und <math>H(x,1)=g(x)</math> für alle <math>x\in X</math>
: <math>H(x_0,t)=y_0</math> für alle <math>t\in\left[0,1\right]</math>
gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit <math>\left[X,Y\right]</math> bezeichnet.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Brayton Gray
|Titel=Homotopy theory. An introduction to algebraic topology
|Reihe=Pure and Applied Mathematics
|NummerReihe=64
|Verlag=Academic Press
|Ort=New York u. a.
|Datum=1975
|ISBN=0-12-296050-5}}
* {{Literatur
|Autor=Allen Hatcher
|Titel=Algebraic Topology
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge
|Datum=2002
|ISBN=0-521-79540-0
|Online=https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
* {{Literatur
|Hrsg=John McCleary
|Titel=Higher Homotopy Structures in Topology and Mathematical Physics
|TitelErg=Proceedings of an international Conference, June 13 – 15, 1996 at Vassar College, Poughkeepsie, New York, to Honor the sixtieth Birthday of Jim Stasheff
|Reihe=Contemporary Mathematics
|BandReihe=227
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence RI
|Datum=1999
|ISBN=0-8218-0913-X}}
* {{Literatur
|Autor=George W. Whitehead
|Titel=Elements of Homotopy Theory
|TitelErg=Corrected 3rd Printing
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=61
|Verlag=Springer
|Ort=New York u. a.
|Datum=1995
|ISBN=0-387-90336-4}}
* {{Literatur
|Autor=M. Sielemann, F. Casella, M. Otter, C. Claus, J. Eborn, S. E. Mattsson, H. Olsson
|Titel=Robust Initialization of Differential-Algebraic Equations Using Homotopy
|Verlag=International Modelica Conference
|Ort=Dresden
|Datum=2011
|ISBN=978-91-7393-096-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Homotopietheorie| ]]

Homotopie - Versionsgeschichte

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