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2025-01-21T17:42:29Z

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Der '''Homomorphiesatz''' ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Satz (Mathematik)|Satz]] aus dem Gebiet der [[Algebra]], der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Vektorraum|Vektorräumen]] und [[Ringtheorie|Ringen]] gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] und [[Normalteiler]]n, [[Vektorraumhomomorphismus|Vektorraumhomomorphismen]] und [[Untervektorraum|Untervektorräumen]] sowie [[Ringhomomorphismus|Ringhomomorphismen]] und [[Ideal (Ringtheorie)|Idealen]] her. Der Homomorphiesatz lautet:
:Ist <math>f \colon A \to B</math> ein [[Homomorphismus]] und <math>\ker (f)</math> der [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>f</math>, dann ist der Quotient <math>A/\ker(f)</math> [[Isomorphismus|isomorph]] zum [[Bild (Mathematik)|Bild]] <math>f(A)</math>.

== Gruppe ==
=== Aussage ===
Ist <math>f\colon\left(G,\circ\right)\to\left(H,\star\right)</math> ein [[Gruppenhomomorphismus]], dann ist der [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>N\colon =\ker\left(f\right)</math> ein [[Normalteiler]] von <math>G</math> und die [[Faktorgruppe]] <math>G/N</math> ist isomorph zum Bild <math>f\left(G\right)</math>. Ein entsprechender [[Isomorphismus]] ist gegeben durch <math>\tilde{f} \colon G/N \rightarrow f(G);gN \mapsto f\left(g\right)</math>.

=== Beweis ===
Es reicht zu zeigen, dass die Abbildung <math>\tilde f</math> ein [[Gruppenisomorphismus]] ist.

<math>\tilde f</math> ist [[wohldefiniert]] und [[Injektivität|injektiv]], da
:<math>aN=bN \Leftrightarrow b^{-1}a\in N \Leftrightarrow f(b^{-1}a)=e \Leftrightarrow \tilde f(aN)=f(a)=f(b)=\tilde f(bN)</math>

<math>\tilde f</math> ist ein [[Gruppenhomomorphismus]], da für alle Nebenklassen <math>aN</math> und <math>bN</math> gilt:
:<math>\tilde f \left(aN \circ bN\right)= \tilde f \left(abN\right) = f(ab)= f(a)\star f(b)= \tilde f (aN) \star \tilde f (bN)</math>

<math>\tilde f</math> [[Surjektivität|surjektiv]], da für jedes <math>g\colon=f\left(g'\right)\in f\left(G\right)</math> gilt: <math>\tilde{f}\left(g'N\right)=f\left(g'\right)=g</math>.

Hieraus folgt, dass <math>\tilde f \colon G/N \rightarrow f(G)</math> ein [[Gruppenisomorphismus]] ist, und somit <math>G/N \cong f\left(G\right)</math>.

=== Beispiele ===
*Es stehe <math>\operatorname{GL}(n,K)</math> für die [[allgemeine lineare Gruppe]], dargestellt durch [[Reguläre Matrix|reguläre Matrizen]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>. Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]]
::<math>\det \colon \operatorname{GL}(n,K)\to K^*=K\setminus \{0\}</math>
:ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der [[Spezielle lineare Gruppe|speziellen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{SL}(n,K)</math> der <math>n\times n</math>-Matrizen mit Determinante <math>1</math> besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt
::<math>\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)\cong K^*</math>.

:Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe <math>\operatorname{GL}(n,K)</math> die Faktorgruppe <math>\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)</math> abelsch ist.

*Analog zeigt man:
::<math>\operatorname{O}(n,K)/\operatorname{SO}(n,K)\cong\left\{-1,1\right\}</math>
:wobei <math>\operatorname{O}(n,K)</math> für die [[orthogonale Gruppe]] und <math>\operatorname{SO}(n,K)</math> für die spezielle orthogonale Gruppe steht.

*Es stehe <math>S_n</math> für die [[symmetrische Gruppe]]. Die [[Vorzeichen (Permutation)|Signum-Abbildung]] <math>\operatorname{sign}\colon S_n\to\left\{-1,1\right\}</math> definiert einen [[Gruppenhomomorphismus]] mit <math>\operatorname{ker}\left(\operatorname{sign}\right)=\operatorname{Alt}_n</math> ([[alternierende Gruppe]]), der für <math>n\ge 2</math> surjektiv ist. Nach dem Homomorphiesatz gilt also für <math>n\ge 2</math>:
*:<math>S_n/\operatorname{Alt}_n\cong\left\{-1,1\right\}</math>

== Ring ==
Ist <math>f\colon R\to S</math> ein [[Ringhomomorphismus]], dann ist der Kern <math>\ker(f)</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] von <math>R</math> und der [[Faktorring]] <math>R/{\ker(f)}</math> ist isomorph zum Bild <math>\operatorname{im}(f)</math>.

Der Beweis verläuft analog zum [[#Beweis|Beweis für Gruppen]], es muss nur noch gezeigt werden:

:<math>\tilde f\left(aN\cdot bN\right)=\tilde f\left(\left(a\cdot b\right)N\right)=f\left(a\cdot b\right)=f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)=\tilde f\left(aN\right)\cdot\tilde f\left(bN\right)</math>

== Vektorraum ==
=== Aussage ===
Ist <math>f</math> ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. eine [[lineare Abbildung]] von <math>V</math> nach <math>W</math>, dann ist der Kern <math>\ker(f)</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math> und der [[Faktorraum]] <math>V/{\ker(f)}</math> ist isomorph zum Bild <math>\operatorname{im}(f)</math>.

=== Beispiel ===
Der Differentialoperator
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\colon\ C^1(\mathbb{R})\rightarrow C^0(\mathbb{R}),\quad f(x)\mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f(x)=f'(x)</math>
ist ein Homomorphismus vom Vektorraum der auf <math>\mathbb{R}</math> stetig differenzierbaren Funktionen <math>C^1(\mathbb{R})</math>
in den Vektorraum der auf <math>\mathbb{R}</math> stetigen Funktionen <math>C^0(\mathbb{R})</math>.
Sein Kern ist die Menge der konstanten Funktionen, die hier als <math>\mathbb{R}</math> notiert wird. Nach dem Homomorphiesatz gilt
:<math>C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R}\cong C^0(\mathbb{R})</math>
Der Isomorphismus ist dabei der induzierte Homomorphismus
:<math>\widetilde{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}} :C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R}\rightarrow C^0(\mathbb{R}),\quad f(x)+\mathbb{R}\mapsto f'(x)</math>.
Sein inverser Homomorphismus ist die unbestimmte Integration
:<math>\int \cdot\,\, \mathrm{d}x\colon\ C^0(\mathbb{R})\rightarrow C^1(\mathbb{R})/\mathbb{R},\quad g(x)\mapsto\int g(x){\mathrm d} x=G(x)+\mathbb{R},</math>
wobei <math>G(x)</math> eine beliebige [[Stammfunktion]] von <math>g(x)</math> ist.

== Verallgemeinerungen ==
* Homomorphiesatz für algebraische Strukturen:
: Sind <math>(A, (f_i)_{i \in \{1, \dotsc, n\}})</math> und <math>(B, (g_i)_{i \in \{1, \dotsc, n\}})</math> zwei [[Algebraische Struktur#Arten algebraischer Strukturen|algebraische Strukturen gleicher Art]] und ist <math>\varphi\colon A\to B</math> ein [[Homomorphismus]] dieser Art mit Kern <math>\theta_\varphi</math>, so gilt <math>A/\theta_\varphi \simeq \varphi(A)</math>.
* Der Satz gilt allgemein in jeder [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorie]].
* Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppen]]; allerdings ist das [[Bild (Mathematik)|Bild]] dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im Allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der [[Teilraumtopologie|induzierten Topologie]]. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch ein [[Homöomorphismus]] ist.

== Literatur ==
* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 54, S. 167–168
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Homomorphiesatz - Versionsgeschichte

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