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2025-05-03T19:42:30Z

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Die '''homologische Algebra''' ist ein [[Teilgebiet der Mathematik]], das seine Ursprünge in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] hat. Die dort verwendeten Methoden lassen sich wesentlich verallgemeinern und auch in anderen mathematischen Gebieten einsetzen. Das Erscheinen des heute klassischen Werkes ''Homological Algebra'' von [[Henri Cartan]] und [[Samuel Eilenberg]] im Jahre 1956 kann als Beginn der homologischen Algebra betrachtet werden. Im darauffolgenden Jahr verallgemeinerte [[Alexander Grothendieck]] diese Ideen für [[abelsche Kategorie]]n.<ref>{{Literatur |Autor=[[Alexander Grothendieck]] |Titel=[[Grothendiecks Tohoku-Paper|Sur quelques points d'algèbre homologique]] |Sammelwerk=[[Tohoku Mathematical Journal]] |Band=9 |Datum=1957 |Seiten=119–221}}</ref>

== Ursprünge in der algebraischen Topologie ==
In der algebraischen Topologie werden gewissen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] zuerst sogenannte [[Kettenkomplex]]e bzw. [[Kokettenkomplex]]e und dann daraus gebildete [[Homologiegruppe|Homologie-]] bzw. [[Kohomologiegruppe]]n in [[Funktor (Mathematik)|funktorieller]] Weise zugeordnet.
Kettenkomplexe <math>\mathcal{C}</math> sind Folgen
:<math>\ldots \xrightarrow{d_{n+2}}C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}}C_{n} \xrightarrow{d_{n}}C_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} \ldots </math>
von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]], [[Vektorraum|Vektorräumen]] oder anderen Strukturen <math>C_n</math> und [[Morphismus|Morphismen]] <math>d_n</math> zwischen ihnen, so dass stets <math>d_n\circ d_{n+1}=0</math> gilt, das heißt, dass das [[Bild (Mathematik)|Bild]] von <math>d_{n+1}</math> im [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>d_n</math> liegt. Daher kann man die [[Faktorgruppe]]n <math>H_n(\mathcal{C}) = \mathrm{ker}(d_{n}) / \mathrm{im}(d_{n+1})</math> bilden, die man die <math>n</math>-te Homologiegruppe nennt. Ein typisches Beispiel sind [[Simplizialkomplex]]e, die daraus abgeleiteten Homologiegruppen nennt man dann simpliziale Homologiegruppen. Dreht man in obigen Überlegungen alle Pfeile um, so erhält man auf analoge Weise die Kohomologiegruppen. Das allgemeine Vorgehen lässt sich daher wie folgt zusammenfassen:
: Topologischer Raum <math>\longrightarrow</math> (Ko-)Kettenkomplex <math>\longrightarrow</math> (Ko-)Homologiegruppen.

In einem ersten Schritt abstrahiert man von den topologischen Räumen und geht direkt von Kettenkomplexen aus. Damit kann man auch für andere [[Mathematische Struktur|mathematische Strukturen]] (Ko-)Homologietheorien aufbauen. So ergibt sich beispielsweise die [[Hochschild-Homologie und Kohomologie|Hochschild-Homologie]] aus einem Kettenkomplex, der einer [[Algebra über einem Körper]] zugeordnet wird. Diese Betrachtungsweise führt zwanglos zur Untersuchung [[Exakte Sequenz|exakter Sequenzen]] und ihres Verhaltens unter [[Funktor (Mathematik)|Funktoren]]. Weite Teile der Theorie lassen sich in beliebigen [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] ausführen. Für viele Anwendungen genügt aber bereits die Kategorie der Moduln über einem Ring, in der sich die grundlegenden Ideen entwickeln lassen. In diesem Zusammenhang sei auch auf den [[Einbettungssatz von Mitchell]] verwiesen.

[[Yuri Manin|Manin]] und Sergei Gelfand sehen den Ursprung der homologischen Algebra in [[David Hilbert|Hilberts]] Untersuchungen von [[Hilbertscher Syzygiensatz|Syzygien]].<ref>{{Literatur |Autor=Sergei I. Gelfand, [[Yuri Manin|Yuri I. Manin]] |Titel=Methods of Homological Algebra |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=978-3-642-07813-2 |Fundstelle=S. 139 |Zitat=Homological algebra was founded by D. Hilbert.}}</ref>

== Hom-Funktor und Tensor-Funktor ==
Eine besondere Bedeutung hat die Anwendung des [[Hom-Funktor]]s auf Sequenzen. Sei
:<math> 0 \rightarrow A_1 \xrightarrow{\alpha} A_2 \xrightarrow{\beta} A_3 \rightarrow 0 </math>
eine kurze exakte Sequenz, etwa in der Kategorie der Moduln über einem Ring. Dabei bedeutet ''exakt'', dass an jeder Stelle [[Kern (Algebra)|Kern]] und [[Bild (Mathematik)|Bild]] der beteiligten Morphismen gleich sind. Insbesondere ist die Exaktheit bei <math>A_1</math> zur [[Injektivität]] von <math>\alpha</math>, die Exaktheit bei <math>A_3</math> ist zur [[Surjektivität]] von <math>\beta</math> äquivalent. ''Kurz'' steht für die Länge 3 der Sequenz, die endständigen [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekte]] werden dabei nicht mitgezählt. Man beachte, dass noch kürzere Sequenzen trivial sind: Eine exakte Sequenz der Länge 2 besagt lediglich, dass <math>A_1</math> und <math>A_2</math> isomorph sind, eine exakte Sequenz der Länge 1 ist nur für <math>A_1=0</math> möglich.
Wendet man darauf nun den Hom-Funktor <math>\mathrm{Hom}(B,-)</math> an, wobei <math>B</math> ein weiterer Modul sei, bzw. ein weiteres Objekt aus der betrachteten Kategorie, so erhält man eine exakte Sequenz
:<math>0 \rightarrow \mathrm{Hom}(B,A_1) \xrightarrow{\alpha^*} \mathrm{Hom}(B,A_2) \xrightarrow{\beta^*} \mathrm{Hom}(B,A_3)</math>,
wobei <math>\alpha^* = \mathrm{Hom}(B,\alpha)</math> durch <math>\alpha^*(f) := \alpha\circ f</math> definiert ist und analog <math>\beta^*</math>. Im Allgemeinen lässt sich diese Sequenz nicht exakt mit dem Nullobjekt verlängern, das heißt <math>\beta^*</math> ist im Allgemeinen nicht surjektiv. Dies führt einerseits zum Begriff des [[Projektiver Modul|projektiven Moduls]], denn genau für projektive Moduln <math>B</math> lassen sich alle solche Sequenzen exakt mit dem Nullobjekt fortsetzen, andererseits zum Begriff des [[Ext (Mathematik)|Ext-Funktors]], der im allgemeinen Fall bei einer exakten Fortsetzung obiger Sequenz an die Stelle des Nullobjektes auf der rechten Seite der Sequenz tritt.

Ersetzt man den Hom-Funktor durch das [[Tensorprodukt]] mit einem Modul <math>B</math>, so findet man ähnliche Verhältnisse vor. Wendet man den Funktor <math>(B\otimes -)</math> auf obige kurze exakte Sequenz an, so erhält man die exakte Sequenz
:<math>B\otimes A_1 \xrightarrow{\alpha^*} B\otimes A_2 \xrightarrow{\beta^*} B\otimes A_3 \rightarrow 0</math>,
wobei nun <math>\alpha^*</math> als <math>\mathrm{id}_B\otimes \alpha</math> definiert ist, und analog <math>\beta^*</math>. Diese Sequenz lässt sich auf der linken Seite im Allgemeinen nicht durch 0 exakt fortsetzen, das heißt, <math>\alpha^*</math> ist im Allgemeinen nicht injektiv. Dies führt einerseits zum Begriff des [[Flacher Modul|flachen Moduls]], denn genau für flache Moduln <math>B</math> lassen sich alle solche Sequenzen exakt mit dem Nullobjekt fortsetzen, andererseits zum Begriff des [[Tor (Mathematik)|Tor-Funktors]], der bei einer exakten Fortsetzung obiger Sequenz an die Stelle des Nullobjektes auf der linken Seite der Sequenz tritt.

Betrachtet man das Gemeinsame der gerade mittels der Funktoren <math>\mathrm{Hom}(B,-)</math> und <math>(B\otimes -)</math> vorgestellten Konstruktionen, so erhält man den Begriff des [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktors]], Ext und Tor lassen sich als Ableitungen dieser beiden Funktoren verstehen.

== Sequenzen von Homologiegruppen ==
Ein weiteres wichtiges Thema der homologischen Algebra sind gewisse exakte Sequenzen aus (Ko-)Homologiegruppen, die deren Berechnung unterstützen, was hier kurz angerissen werden soll. Unter einem Homomorphismus zwischen zwei Kettenkomplexen <math>\mathcal{C}=((C_n)_n, (d_n)_n)</math> und <math>\mathcal{C^{'}}=((C_n^{'})_n, (d_n^{'})_n)</math> versteht man eine Folge <math>(\varphi_n)_n</math> von Homomorphismen <math>\varphi_n:C_n\rightarrow C_n^{'}</math>, so dass

<div class="center"><math>
\begin{array}{ccccccc}
\ldots\xrightarrow{d_{n+2}} & C_{n+1} & \xrightarrow{d_{n+1}} & C_n & \xrightarrow{d_n}& C_{n-1} & \xrightarrow{d_{n-1}}\ldots\\

\ldots & \downarrow_{\varphi_{n+1}} & & \downarrow_{\varphi_{n}} & & \downarrow_{\varphi_{n-1}} & \ldots\\

\ldots\xrightarrow{d_{n+2}^{'}} & C_{n+1}^{'} & \xrightarrow{d_{n+1}^{'}} & C_n^{'} & \xrightarrow{d_n^{'}}& C_{n-1}^{'} & \xrightarrow{d_{n-1}^{'}}\ldots
\end{array}
</math></div>

ein [[kommutatives Diagramm]] ist. Kerne und Bilder solcher Homomorphismen sind die Kettenkomplexe aus den Kernen und Bildern der <math>\varphi_n</math>. Damit kann man von exakten Sequenzen von Kettenkomplexen sprechen und bewegt sich in einer Kategorie, die nicht aus Moduln über einem Ring besteht. Der Homomorphismus <math>\varphi = (\varphi_n)_n</math> zwischen den Kettenkomplexen induziert Homomorphismen <math>H_n(\varphi):H_n(\mathcal{C})\rightarrow H_n(\mathcal{C}^{'})</math>, indem man
:<math>H_n(\varphi)(x+\mathrm{im}(d_{n+1})) := \varphi_n(x)+\mathrm{im}(d_{n+1}^{'})</math> für <math>x\in \mathrm{ker}d_{n}</math>
setzt und sich von der [[Wohldefiniertheit]] überzeugt. Ein typisches und grundlegendes Resultat der homologischen Algebra besagt:

Ist <math>0\rightarrow\mathcal{C}\,\xrightarrow{\varphi}\,\mathcal{C}^{'}\,\xrightarrow{\psi}\, \mathcal{C}^{''}\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, so liefert das [[Schlangenlemma]] Homomorphismen <math>\omega_n: H_n(\mathcal{C}^{''})\rightarrow H_{n-1}(\mathcal{C})</math>, so dass
:<math>\ldots \rightarrow H_n(\mathcal{C})\xrightarrow{H_n(\varphi)} H_n(\mathcal{C}^{'})\xrightarrow{H_n(\psi)}H_n(\mathcal{C}^{''})\xrightarrow{\omega_n} H_{n-1}(\mathcal{C}) \rightarrow\ldots </math>
eine exakte Sequenz ist.

Sind einige der auftretenden Homologiegruppen 0, so kann man [[Isomorphismus|Isomorphismen]] zwischen anderen konstruieren und so zu Aussagen über Homologiegruppen gelangen. Obigen Satz nennt man manchmal den ''Hauptsatz über Kettenkomplexe'' und spricht von sogenannten ''langen exakten Sequenzen''. Ähnliche Sequenzen kann man für Ableitungen [[Additiver Funktor|additiver Funktoren]] konstruieren. Weitere Verallgemeinerungen führen zu den sogenannten [[Spektralsequenz]]en.

== Siehe auch ==
*[[De-Rham-Kohomologie]]
*[[Galoiskohomologie]]
*[[Garbenkohomologie]]
*[[Gruppenkohomologie]]
*[[Kategorientheorie]]
*[[K-Theorie]]
*[[Mayer-Vietoris-Sequenz]]
*[[Universelles Koeffiziententheorem]]

== Literatur ==
* Henri Cartan, Samuel Eilenberg: ''Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum''. Nachdruck des 1956 erschienenen Originals. Princeton University Press, Princeton (1999) ISBN 0-691-04991-2
* [[David Eisenbud]]: ''Commutative Algebra. With a View Toward Algebraic Geometry.'' Springer-Verlag, 1999, ISBN 0-387-94269-6 (behandelt ab Kap. 16 homologische Algebra).
* John McCleary: ''A User's Guide to Spectral Sequences.'' Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-56759-9.
* Peter Hilton und Urs Stammbach: ''A course in homological algebra.'' 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6.
* [[Saunders Mac Lane]]: ''Homology'', Springer [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] Band 114 (1967)
* Joseph J. Rotman: ''An Introduction to Homological Algebra.'' 2. Auflage, Springer-Verlag, New York 2009, ISBN 978-0-387-24527-0.
* Tilman Bauer: [http://wwwmath.uni-muenster.de/u/tbauer/Homologische-Algebra/homalg.pdf ''Homologische Algebra und Gruppenkohomologie'']. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05, Universität Münster, überarbeitete Fassung vom 18. Juni 2008. Abgerufen am 3. September 2014.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Homological algebra|Homologische Algebra}}
* [http://www.math.hawaii.edu/~lee/homolog/ Lecture notes (unvollständig)]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4160598-6}}

[[Kategorie:Homologische Algebra| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Homologische Algebra - Versionsgeschichte

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