~2025-37392-61: Vertauschung der Indizes n und n+1. Der Kern einer n-ten Abbildung kann in dem genannten Setting nicht im Bild der (n+1)-ten Abbildung enthalten sein, sondern andersherum.

2025-11-30T11:18:05Z

Vertauschung der Indizes n und n+1. Der Kern einer n-ten Abbildung kann in dem genannten Setting nicht im Bild der (n+1)-ten Abbildung enthalten sein, sondern andersherum.

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Unter '''Homologie''' ({{grcS|ὁμός|homos}}, „ähnlich, gleich“, und {{lang|grc|λόγος|logos}}, hier: „Verhältnis, Analogie, Proportion“<ref>Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. Braunschweig 31914, Band 2, S. 58–61. Stichwort {{lang|grc|λόγος}}, Bedeutung C.5 ([http://www.zeno.org/nid/20008566984 Online-Version])</ref>) versteht man in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] eine Folge von [[Abelsche Gruppe|Abelschen Gruppen]], den '''Homologiegruppen''', die topologischen Räumen zugeordnet werden. Homologie ist nützlich, denn sie erlaubt, das „Loch“ eines [[Torus]] mathematisch zu formalisieren. Sie gibt ferner Aufschluss über wichtige Merkmale eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] (wie [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhang]] oder [[Orientierung (Mathematik)|Orientierbarkeit]]) und hat eine Reihe weiterer wünschenswerter Eigenschaften (wie die [[Satz von Künneth|Künneth-Formel]]). Sie ist eine [[topologische Invariante]], das heißt, sie erlaubt, manche topologische Räume voneinander zu unterscheiden.

Es gibt verschiedene '''Homologietheorien''' (z. B. [[Simpliziale Homologie|simpliziale]], [[Singuläre Homologie|singuläre]] oder [[zelluläre Homologie]]) zur Berechnung der Homologie, die jedoch alle die gleichen Homologiegruppen liefern. Somit ergibt es Sinn, von der '''Homologie eines Raumes''' zu sprechen.

In der modernen Mathematik wird Homologie analog auch mathematischen Objekten zugewiesen, die keine topologischen Räume sind. Allen Homologietheorien ist gemein, dass eine Folge von [[Kettenkomplex]]en konstruiert wird, die durch eine Folge von Abbildungen verknüpft sind. Aus den Abbildungen errechnen sich anschließend die Homologiegruppen.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2002 |ISBN=978-0-521-79540-1 |Online= |Abruf=}}</ref>

== Konstruktion von Homologiegruppen ==

Man geht im Allgemeinen wie folgt vor: Einem mathematischen Objekt <math>X</math> wird zunächst ein ''[[Kettenkomplex]]'' zugeordnet, der Information über <math>X</math> enthält. Ein Kettenkomplex ist eine Folge von [[Modul (Mathematik)|Moduln]] <math>A_0, A_1, \dots</math> über einem festen [[Ring (Algebra)|Ring]], verbunden durch [[Homomorphismus|Homomorphismen]] <math>d_n\colon A_n \to A_{n-1}</math>, so dass die Hintereinanderausführung je zweier dieser Abbildungen die [[Nullabbildung]] ist: <math>d_n\circ d_{n+1} = 0</math> für jedes <math>n</math>. Dies bedeutet, dass das [[Bild (Mathematik)|Bild]] der <math>n</math>-ten Abbildung stets im [[Kern (Algebra)|Kern]] der <math>(n+1)</math>-ten Abbildung enthalten ist. Man definiert nun die
<math>n</math>-te Homologiegruppe von <math>X</math> als den [[Quotientenmodul]]

: <math>\,H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).</math>

Ein Kettenkomplex heißt ''exakt'', wenn das Bild der <math>(n+1)</math>-ten Abbildung stets der Kern der <math>n</math>-ten Abbildung ist; die ''Homologiegruppen'' von <math>X</math> messen also, „wie unexakt“ der <math>X</math> zugeordnete Kettenkomplex ist.

== Beispiele ==

Das erste Beispiel stammt aus der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]]: die [[simpliziale Homologie]] eines [[Simplizialkomplex|simplizialen Komplexes]] <math>X</math>. Hier ist <math>A_n</math> der [[Freier Modul|freie Modul]] über den <math>n</math>-dimensionalen orientierten Simplizes von <math>X</math>. Die Abbildungen <math>d_n</math> heißen ''Randabbildungen'' und bilden das Simplex mit den Ecken

: <math> (a[0], a[1], \dots, a[n]) </math>

auf die alternierende Summe der „Randflächen“

: <math> \sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0], \dots, a[i-1], a[i+1], \dots, a[n]) </math>

ab.

Für Moduln über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] (d. h. Vektorräume) beschreibt die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der <math>n</math>-ten Homologiegruppe von <math>X</math> die Anzahl der <math>n</math>-dimensionalen Löcher von <math>X</math>.

Mit diesem Beispiel kann man eine simpliziale Homologie für jeden [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] definieren. Der Kettenkomplex für <math>X</math> wird so definiert, dass <math>A_n</math> der freie Modul über allen
[[Stetige Funktion|stetigen]] Abbildungen vom <math>n</math>-dimensionalen Einheitssimplex nach <math>X</math> ist. Die Homomorphismen <math>d_n</math> ergeben sich aus den simplizialen Randabbildungen.

In der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] benutzt man Homologie, um [[Abgeleiteter Funktor|abgeleitete Funktoren]] zu definieren. Man betrachtet dort einen additiven [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] <math>F</math> und einen Modul <math>X</math>. Der Kettenkomplex für <math>X</math> wird wie folgt konstruiert: <math>F_1</math> sei ein freier Modul und <math>p_1\colon F_1 \to X</math> ein [[Epimorphismus]], <math>F_2</math> sei ein freier Modul, der die Eigenschaft besitzen soll, dass ein Epimorphismus <math>p_2\colon F_2 \to \mathrm{ker}\,p_1</math> existiert, <math>\ldots</math> Man erhält also eine Sequenz freier Moduln <math>F_n</math> und Homomorphismen <math>p_n\colon F_n \to F_{n-1}</math> und durch Anwendung von <math>F</math> einen Kettenkomplex. Die <math>n</math>-te Homologie <math>H_n</math> dieses Komplexes hängt, wie man zeigen kann, nur von <math>F</math> und <math>X</math> ab. Man schreibt <math>H_n =: D^n F(X)</math> und nennt <math>D^nF</math> den <math>n</math>-ten abgeleiteten Funktor von <math>F</math>.

== Homologiefunktoren ==

Die Kettenkomplexe bilden eine [[Kategorientheorie|Kategorie]]: Ein Morphismus – man sagt: eine Kettenabbildung – vom Kettenkomplex <math>(A_n, d^A_n)</math> in den Kettenkomplex <math>(B_n, d^B_n)</math> ist eine Folge von Modulhomomorphismen <math>f_n\colon A_n \to B_n</math>, so dass <math>f_{n-1} \circ d^A_n = d_n^B \circ f_n</math> für jedes <math>n</math>. Die <math>n</math>-te Homologiegruppe <math>H_n</math> kann man als Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe in die Kategorie der Moduln über dem zugrunde liegenden Ring <math>R</math> auffassen.

Wenn der Kettenkomplex von <math>X</math> funktoriell abhängt (d. h. jeder Morphismus <math>X \to Y</math> induziert eine Kettenabbildung vom Kettenkomplex von <math>X</math> in den von <math>Y</math>), dann sind die <math>H_n</math> Funktoren von der Kategorie, zu der <math>X</math> gehört, in die Kategorie der Moduln.

Ein Unterschied zwischen Homologie und [[Kohomologie]] liegt darin, dass die Kettenkomplexe in der Kohomologie kontravariant von <math>X</math> abhängen und daher die Homologiegruppen (die dann ''Kohomologiegruppen'' genannt werden und in diesem Kontext mit <math>H^n</math> bezeichnet werden) ''[[Kategorientheorie|kontravariante]]'' Funktoren sind. Des Weiteren hat man meist auf der graduierten Kohomologiegruppe eine kanonische Ringstruktur, etwas Vergleichbares gibt es auf dem Niveau der Homologie nicht.

== Eigenschaften ==

Ist <math>(A_n, d_n)</math> ein Kettenkomplex, so dass alle <math>A_n</math> endlich erzeugte freie Moduln sind, von denen höchstens endlich viele nicht null sind, dann kann man die ''[[Euler-Charakteristik]]''

: <math> \chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}\,(A_n) </math>

definieren. Man kann zeigen, dass die Euler-Charakteristik auch bezüglich der Homologie ausgedrückt werden kann:

: <math> \chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}(H_n) </math>

In der algebraischen Topologie liefert das zwei Wege, die Invariante <math>\chi</math> für das Objekt <math>X</math>, aus dem der Kettenkomplex erzeugt wurde, auszurechnen.

Jede [[kurze exakte Sequenz]]

: <math> 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 </math>

von Kettenkomplexen liefert eine [[Exakte Folge|lange exakte Sequenz]] der Homologiegruppen

:<math> \cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,</math>

Alle Abbildungen dieser exakten Sequenz sind durch die Abbildungen zwischen den Kettenkomplexen induziert, außer den Abbildungen <math> H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) </math>, die ''verbindende Homomorphismen'' genannt werden und deren Existenz mit dem [[Schlangenlemma]] bewiesen wird.

== Siehe auch ==
* [[Axiomatische Homologie]]
* [[Singuläre Homologie]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Homology |title=Homology}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Algebraische Topologie}}

[[Kategorie:Homologietheorie| ]]

Homologietheorie - Versionsgeschichte

~2025-37392-61: Vertauschung der Indizes n und n+1. Der Kern einer n-ten Abbildung kann in dem genannten Setting nicht im Bild der (n+1)-ten Abbildung enthalten sein, sondern andersherum.