imported>Christian1985: /* Definition */

2024-10-30T16:22:23Z

Definition

Neue Seite

Eine '''Homologiesphäre''' bezeichnet in der [[Mathematik]] eine <math>n</math>-dimensionale [[Mannigfaltigkeit]] <math>M</math>, deren [[Singuläre Homologie|singuläre Homologiegruppen]] isomorph zu denen der gewöhnlichen <math>n</math>-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] sind.

== Definition ==
Eine <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit <math>M</math> heißt Homologiesphäre, falls für ihre singulären Homologiegruppen

:<math>H_0(M,\Z) \cong H_n(M,\Z) \cong \Z</math>

für ein <math>n > 1 </math> und

:<math>H_j(M,\Z) = \{0\}</math>

für alle anderen <math>j</math> gilt.

== Eigenschaften ==
Aus der Homologie kann man ablesen, dass <math>M</math> eine kompakte, [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] Mannigfaltigkeit ohne Rand ist.
Im Allgemeinen ist <math>M</math> jedoch nicht [[einfach zusammenhängend]]:
Teilt man die [[Fundamentalgruppe]] <math>\pi_1(M)</math> durch ihre [[Kommutatorgruppe]] dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe <math>H_1(M,\Z)</math> ist. Das bedeutet aus <math>H_1(M,\Z) = \{0\}</math> kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine [[perfekte Gruppe]], also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass <math>\pi_1(M)</math> trivial sein muss.

== Geschichtliche Einordnung ==
Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der <math>3</math>-dimensionalen Topologie betrachtet.

[[Henri Poincaré|Poincaré]] glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die <math>3</math>-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte [[Poincaré-Homologiesphäre]]) und formulierte dann die schärfere [[Poincaré-Vermutung]] (bei der zusätzlich <math>\pi_1(M) =\{0\}</math> gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von [[Grigori Jakowlewitsch Perelman|Perelman]] bewiesen wurde.

== Verbindung zur Homotopiesphäre ==
Eine Anwendung des [[Homotopiegruppe#Homotopie und Homologie. Der Satz von Hurewicz|Satzes von Hurewicz]] und des [[Satz von Whitehead|Satzes von Whitehead]] zeigt, dass jede [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] <math>n</math>-dimensionale Homologiesphäre eine [[Homotopiesphäre]], d. h. [[Homotopieäquivalenz|homotopieäquivalent]] zur Sphäre <math>S^n</math> sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für <math>n>3</math> folgt dann, dass sie auch [[Homöomorphismus|homöomorph]] zur <math>S^n</math> ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären <math>M\not=S^n</math> nur für <math>\pi_1M\not=0</math>.

== Weblinks ==
* [https://mathoverflow.net/questions/4798/classification-of-homology-3-spheres Classification of homology 3-spheres?] (mathoverflow)

{{SORTIERUNG:Homologiesphare}}
[[Kategorie:Geometrische Topologie]]

Homologiesphäre - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Definition */