imported>FAUmath: Im "Lehrbuch der Algebra" von Gerd Fischer ist der Satz über das Produkt homogener Polynome in der aktuellen Form nicht korrekt. Denn das Nullpolynom ist homogen, muss aber nicht notwendigerweise in ein Produkt aus zwei homogenen Faktoren zerfallen. Bsp: f=0, g=X+1 (beliebiges nicht homogenes Polynom), h=0. Dann ist gh=0 homogen, aber nicht beide Faktoren. Liebe Grüße vom Department Mathematik der FAU Erlangen-Nürnberg.

2024-02-03T16:29:52Z

Im "Lehrbuch der Algebra" von Gerd Fischer ist der Satz über das Produkt homogener Polynome in der aktuellen Form nicht korrekt. Denn das Nullpolynom ist homogen, muss aber nicht notwendigerweise in ein Produkt aus zwei homogenen Faktoren zerfallen. Bsp: f=0, g=X+1 (beliebiges nicht homogenes Polynom), h=0. Dann ist gh=0 homogen, aber nicht beide Faktoren. Liebe Grüße vom Department Mathematik der FAU Erlangen-Nürnberg.

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Ein [[Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|(multivariables) Polynom]] heißt '''homogen''', falls alle [[Monom]]e, aus denen das Polynom besteht, den gleichen [[Grad (Polynom)|Grad]] haben. Homogene Polynome werden auch als '''[[Form (Algebra)|Formen]]''' bezeichnet.

== Definition ==
Sei <math>R</math> ein [[kommutativer Ring mit Eins]] und <math>R[X_1, \dotsc, X_n]</math> der [[Polynomring]] über <math>R</math> in <math>n</math> Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom <math>p \in R[X_1, \dotsc, X_n]</math>, für das ein <math>\alpha \in R</math> mit
: <math>p = \alpha X_1^{i_1} \cdot\dots\cdot X_n^{i_n}</math>
existiert. Der Grad dieses Monoms ist
: <math>\mathrm{deg}(p)=i_1 + \dotsb + i_n.</math>
Ein Polynom in <math>R[X_1, \dotsc, X_n]</math> wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

== Eigenschaften ==
* <math>f \in R[X_1, \dotsc, X_n]</math> ist genau dann homogen vom Grad <math>k</math>, wenn in <math>R[X_1, \dotsc, X_n][T]</math> gilt:<ref>Fischer: ''Lehrbuch der Algebra.'' 2013, S. 169, Lemma.</ref>
*: <math>f(TX_1, \dotsc, TX_n) = T^k\cdot f(X_1, \dotsc, X_n)</math>
* Seien <math>R</math> ein Integritätsring und <math>f,g,h \in R[X_1, \dotsc, X_n]</math> mit <math> f = gh</math>. Dann gilt die Implikation
*: <math>g</math> und <math>h</math> sind homogen <math>\implies</math> <math>f</math> ist homogen.
* Fordert man zusätzlich <math>g,h \neq 0 \in R[X_1, \dotsc, X_n]</math>, ist sogar die Äquivalenz erfüllt:
*: <math>g</math> und <math>h</math> sind homogen <math>\Longleftrightarrow</math> <math>f</math> ist homogen.

== Beispiele ==
* Jedes Monom ist homogen.
* Die Menge aller homogenen Polynome in <math>R[X]</math>, dem Polynomring in einer Variablen über <math>R</math>, ist gegeben durch
*:<math>\{ a X^n \; \mid \; a \in R, \; n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \}.</math>
* Einfache Beispiele für homogene Polynome in <math>\mathbb{Z}[ X, Y ]</math> (siehe [[ganze Zahl]]en):
** <math>X^4 - Y^4</math> ist homogen wegen <math>\deg( X^4 ) = \deg( Y^4 ) = 4.</math>
** <math>X^7 + 5 X^3 Y^4 + X Y^6</math> ist homogen wegen <math>\deg( X^7 ) = \deg( X^3 Y^4 ) = \deg( X Y^6 ) = 7.</math>
* Beispiele für nicht-homogene Polynome in <math>\mathbb{Q}[ X, Y, Z ]</math> (siehe [[rationale Zahl]]en):
** <math>X^4 Z - \frac{3}{4} Y Z^2</math> ist nicht homogen wegen <math>\deg( X^4 Z ) = 5 \neq 3 = \deg( Y Z^2 ).</math>
** <math>X^3 Y^3 Z^2 - 3 X^2 Y^6 - \frac{7}{3} Y^5</math> ist nicht homogen wegen <math>\deg( X^3 Y^3 Z^2 ) = \deg( X^2 Y^6 ) = 8</math> und <math>\deg( Y^5 ) = 5.</math>

== Graduierung ==
Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine [[direkte Summe]] schreiben:
: <math>R[X_1, \dotsc, X_n] = \bigoplus_{d\geq0}A_d,</math>
wobei
: <math>A_d = \bigoplus_{e_1+\dotsb+e_n = d,\ e_i\geq0}R\cdot X_1^{e_1} \cdot\dots\cdot X_n^{e_n}</math>
die Menge der homogenen Polynome vom Grad <math>d</math> zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt
: <math>A_d\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},</math>
der Polynomring ist also ein [[graduierter Ring]].

== Verallgemeinerung ==
Allgemein heißen in einem graduierten Ring
: <math>\bigoplus_{d\geq0}A_d</math>
die Elemente aus <math>A_d</math> homogen vom Grad <math>d</math>.

== Siehe auch ==
* [[Homogene Funktion]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, S. 169.

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Polynom]]

Homogenes Polynom - Versionsgeschichte