imported>Derkoenig: lf nach Verschiebung

2025-03-08T12:17:23Z

lf nach Verschiebung

Neue Seite

Ein '''homogener Raum''' (seltener '''Kleinscher Raum''' oder '''Kleinsche Geometrie''' nach [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]]) ist in der [[Mathematik]] ein Raum mit einer [[Transitive Wirkung|transitiven Gruppenwirkung]]. Die entsprechende Gruppe wird '''Bewegungsgruppe''' genannt.

Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich aussieht“. Beispielsweise sind [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare Mannigfaltigkeiten]] homogen, denn zu je zwei Punkten <math>x, y</math> gibt es einen [[Diffeomorphismus]], der <math>x</math> auf <math>y</math> abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die [[Riemannscher homogener Raum|Riemannschen homogenen Räume]].

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine Menge, auf der die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> [[Transitive Gruppenoperation|transitiv operiert]]. Das heißt, es gibt eine Abbildung
:<math>G \times M \to M</math>
:<math>(g,x) \mapsto gx</math>
mit folgenden Eigenschaften:
* Für alle <math>g, h \in G</math> und alle <math>x \in M</math> gilt
::<math>(gh)x = g(hx)</math>.
* Für alle <math>x \in M</math> gilt:
::<math>ex = x</math>,
:wobei <math>e \in G</math> das [[Neutrales Element|neutrale Element]] ist.
* Für alle <math>x, y \in M</math> gibt es ein <math>g \in G</math> mit
::<math>y = gx</math>.
Das Tupel <math>(M,G)</math> heißt dann homogener Raum und <math>G</math> nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.<ref name="LexikonMathematikHomogenerRaum">{{Literatur |Titel=Homogener Raum |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Beispiele ==
Oft hat die zugrundeliegende Menge des homogenen Raums eine zusätzliche Struktur, etwa im Rahmen der mathematischen Teilgebiete [[Gruppentheorie]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] oder [[Riemannsche Geometrie|Riemannschen Differentialgeometrie]].

=== Nebenklassenraum ===
Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Menge <math>G/H</math> aller [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Linksnebenklassen]] <math>xH</math> einer Gruppe <math>G</math> mit einer [[Untergruppe]] <math>H \leq G</math>. Die Gruppe <math>G</math> operiert durch
:<math>g(xH) = (gx)H</math>
auf <math>G/H</math>, wodurch <math>(G/H,G)</math> zu einem homogenen Raum wird.<ref name="LexikonMathematikHomogenerRaum" />

=== Riemannscher homogener Raum ===
{{Hauptartikel|Riemannscher homogener Raum}}

Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten <math>x, y</math> eine [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|Isometrie]], die <math>x</math> auf <math>y</math> abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in der [[Riemannsche Geometrie|Riemannschen Geometrie]]. Ihre [[Krümmung]] kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.

== Eigenschaften ==
Falls die transitiv wirkende Gruppe <math>G</math> endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge <math>M</math>
:<math>\vert M\vert = \frac{ \vert G\vert} {\vert G_x\vert}</math>,
wobei <math>G_x</math> den [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] eines (beliebigen) Elements <math>x\in M</math> bezeichnet.

== Siehe auch ==
* [[Erlanger Programm]]

== Literatur ==
* Kai Köhler: ''Differentialgeometrie und homogene Räume.'' S. 151 ff., Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9 ({{Google Buch |BuchID=B3u8BAAAQBAJ |SeitenID=PA151}}).
* Jeff Cheeger, David G. Ebin: ''Comparison theorems in Riemannian geometry.'' North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York 1975.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]

Homogener Raum - Versionsgeschichte

imported>Derkoenig: lf nach Verschiebung