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2025-08-15T23:10:07Z

Verträglichkeit mit Zusatzstrukturen: Math-Umgebung und Form

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In der [[Kategorientheorie]] bezeichnet <math>\operatorname{Hom}_C(A,B)</math> (oder einfach <math>\operatorname{Hom}(A,B)</math>, wenn der Bezug zur Kategorie klar ist, oder auch <math>\operatorname{Mor}_C(A,B)</math> oder <math>C(A,B)</math>) die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der '''Homomorphismen''' (oder '''Morphismen''') von einem Objekt <math>A</math> zu einem Objekt <math>B</math> einer Kategorie <math>C</math> und zählt somit zu den grundlegenden Daten einer Kategorie. Die jeweilige Abbildung <math>\operatorname{Hom}_C</math> ist der '''Hom-[[Funktor (Mathematik)|Funktor]]''' zu der Kategorie <math>C</math>.

Wenn beispielsweise die Objekte der Kategorie aus „Mengen mit zusätzlichen Eigenschaften“ bestehen (z. B. [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Topologischer Raum|topologische Räume]]), so sind die zugehörigen Morphismen im Allgemeinen genau die mit diesen Eigenschaften verträglichen Abbildungen (zum Beispiel Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen).

== Hom als Funktor ==

Man kann <math>\operatorname{Hom}</math> jedoch auch auffassen als Abbildung, die jedem Paar <math>(A,B)</math> von <math>C</math>-Objekten eine Menge <math>\operatorname{Hom}(A,B)</math> zuordnet.
Man hat jedoch noch mehr: Ist <math>f\colon A'\to A</math> ein <math>C</math>-Morphismus, also ein Element von <math>\operatorname{Hom}(A',A)</math>, so kann man jedem <math>h \in \operatorname{Hom}(A,B)</math> den [[Homomorphismus]] <math>h\circ f \in \operatorname{Hom}(A',B)</math> zuordnen und erhält so eine Abbildung
:<math>\operatorname{Hom}(f,B)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A',B).</math>
Ebenso erhält man zu einem Homomorphismus <math>g\in \operatorname{Hom}(B,B')</math> eine Abbildung
:<math>\operatorname{Hom}(A,g)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A,B'),</math>
indem man <math>h</math> auf <math>g\circ h</math> abbildet.
Kombiniert erhält man eine Abbildung
:<math>\operatorname{Hom}(f,g)\colon \operatorname{Hom}(A,B)\to \operatorname{Hom}(A',B').</math>

Man verifiziert leicht die folgenden Eigenschaften:
* <math>\operatorname{Hom}(\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_B) = \operatorname{id}_{\operatorname{Hom}(A,B)}</math>, wobei <math>\operatorname{id}_A</math> usw. die [[Identische Abbildung|Identität]] des jeweiligen Objektes bezeichnet.
* <math>\operatorname{Hom}(f,g) \circ \operatorname{Hom}(f',g') = \operatorname{Hom}(f'\circ f,g\circ g')</math>, soweit die Verknüpfungen definiert sind (d. h. entsprechende Definitions- und Zielbereiche übereinstimmen).

In der kategorientheoretischen Sprache kann man dies unter Verwendung der Begriffe der [[Kategorientheorie#Duale Kategorie|dualen Kategorie]] und der [[Produktkategorie]] so ausdrücken:

<math>\operatorname{Hom}</math> ist ein [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] von <math>C^{op}\times C</math> in die Kategorie '''Set''' der Mengen.
Man beachte: Objekte von <math>C^{op}\times C</math> sind Paare <math>(A,B)</math> von <math>C</math>-Objekten, Morphismen von <math>(A,B)</math> nach <math>(A',B')</math> sind Paare <math>(f,g)</math> von Morphismen, wobei <math>g \in \operatorname{Hom}_C(B,B')</math> und <math>f \in \operatorname{Hom}_{C^{op}}(A,A') = \operatorname{Hom}_C(A',A)</math> ist, und es ist
<math>(f,g) \circ (f',g') = (f'\circ f,g\circ g')</math>, soweit definiert.

Insbesondere erhält man so zu einem festen Objekt <math>A \in \operatorname{Ob}(C)</math> einen kovarianten Funktor
<math>\operatorname{Hom}(A,-)</math> und einen kontravarianten Funktor <math>\operatorname{Hom}(-,A)</math> von <math>C</math> nach '''Set''', die sogenannten '''partiellen Hom-Funktoren'''.

== Verträglichkeit mit Zusatzstrukturen ==

Im Allgemeinen ist <math>\operatorname{Hom}(A,B)</math> lediglich eine Menge (falls die Kategorie lokal klein ist) und trägt selbst nicht automatisch eine zusätzliche Struktur, abgesehen etwa davon, dass die [[Endomorphismus|Endomorphismen]] <math>\operatorname{End}(A):=\operatorname{Hom}(A,A)</math> unter Komposition ein [[Monoid]] mit <math>\operatorname{id}_A</math> als neutralem Element bilden.
Sind jedoch beispielsweise die Objekte von <math>\mathcal{C}</math> [[abelsche Gruppe]]n oder <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduln]] für einen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math>, so können Homomorphismen punktweise addiert und/oder mit Elementen aus <math>R</math> multipliziert werden, und somit bildet <math>\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)</math> dann selbst eine abelsche Gruppe bzw. einen <math>R</math>-Modul.
Man überprüft dann unmittelbar, dass die oben definierten Zuordnungen hiermit verträglich sind und dass somit <math>\operatorname{Hom}</math> in diesen Fällen sogar als Funktor in die Kategorie '''Ab''' der abelschen Gruppen bzw. die Kategorie <math>R</math>'''-Mod''' der <math>R</math>-Moduln aufgefasst werden kann.

Je nach betrachteter Kategorie <math>\mathcal{C}</math> sind weitere solche Zusatzstrukturen auf <math>\operatorname{Hom}(A,B)</math> möglich. Das heißt, <math>\operatorname{Hom}(A,B)</math> wird als Objekt einer Kategorie, die nicht unbedingt die Kategorie der Mengen ist, aufgefasst. Allgemein spricht man von einer über einer Kategorie <math>\mathcal{D}</math> ''[[Angereicherte Kategorie|angereicherten Kategorie]]'' (auch: <math>\mathcal{D}</math>-Kategorie), wenn der Hom-Funktor auf <math>\mathcal{C}</math> ein Funktor in die Kategorie <math>\mathcal{D}</math> ist und eine gewisse Verträglichkeit aufweist, die unterschiedlich gewählt werden kann, etwa mit einer gewählten [[Monoidale Struktur|monoidalen Struktur]] auf <math>\mathcal{D}</math>. Jede [[lokal kleine Kategorie]] ist über der Kategorie der Mengen mit dem [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] als monoidaler Struktur angereichert. Eine [[präadditive Kategorie]] ist eine über der Kategorie der [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] mit dem üblichen [[Tensorprodukt]] angereicherte Kategorie.

Auch über ganz simplen Kategorien, deren Objekte keine Mengen sind, kann man anreichern. Die Kategorie <math>\mathbf{2} := \{\stackrel 0 \bullet \to \stackrel 1 \bullet\}</math> habe zwei Objekte und neben den Identitäten einen interessanten Pfeil zwischen den Objekten. Sie hat endliche Produkte als monoidale Struktur. Unter dieser ist eine <math>\mathbf{2}</math>-Kategorie eine [[Quasiordnung]].
Die Quasiordnung <math>(\mathbb{R}^+, \geq)</math> kann mit Summen- („<math>\mathbb {R}^+_+</math>“)
oder Maximumsbildung („<math>\mathbb{R}^+_\mathrm{max}</math>“) als monoidale Struktur ausgestattet werden. Man erhält als <math>\mathbb{R}^+_+</math>-Kategorien verallgemeinerte [[Metrischer Raum|metrische Räume]], und als <math>\mathbb{R}^+_\mathrm{max}</math>-Kategorien Mengen mit verallgemeinerter [[Ultrametrik]]. (Die Verallgemeinerung besteht darin, dass Symmetrie nicht gefordert wird und Punkte mit einem Abstand von Null nicht identisch sein müssen.)

== Anwendungen ==

Bei der Untersuchung [[Abelsche Kategorie|abelscher Kategorien]] spielt auch der [[Ext (Mathematik)|Ext]]-Funktor, der [[Abgeleiteter Funktor|abgeleitete Funktor]] zu Hom, eine wichtige Rolle.

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Hom-Funktor - Versionsgeschichte

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