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2025-11-22T05:29:17Z

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{{Belege|Fachliteratur fehlt}}
'''Holonom''' ([[Griechische Sprache|griech.]]: „ganz gesetzlich“) ist eine Eigenschaft eines mechanischen Systems. Ein '''holonomes''' System von Körpern zeichnet sich dadurch aus, dass sich die Lage der Körper durch <math>n</math> [[generalisierte Koordinate]]n <math>q_1, q_2, \ldots, q_n</math> beschreiben lässt, die
* gänzlich unabhängig voneinander sind
oder
* durch ''m < n'' Bedingungen ([[Zwangsbedingung]]en)

::<math>a_i(q_1, q_2 ... q_n,t) = 0; \quad i \in [1,m]</math>

:verbunden sind.
Wie viele generalisierte Koordinaten das System beschreiben, also welchen Zahlenwert der Index <math>n</math> hat, muss durch die Bestimmung der [[Freiheitsgrade]] des Systems ermittelt werden.

== Nicht-holonome Systeme ==
Enthält mindestens eine der Bedingungen <math>a_i</math> eine oder mehrere [[Geschwindigkeit]]s<nowiki/>koordinaten <math>\dot{q}</math> (zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinaten), ist sie also von der Form

:<math>a_i(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n,t) = 0,</math>

und lassen sich die Geschwindigkeitskoordinaten ''nicht'' durch [[Integralrechnung|Integration]] eliminieren, so ist das System '''nicht-holonom'''.

[[Datei:rad.png|mini|205px|Auf der x-y-Ebene rollendes Rad (Draufsicht)]]
Als Beispiel rollt das Rad eines Fahrzeuges ohne zu gleiten auf einer ebenen Fläche. Die Unabhängigkeit der Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>\varphi</math> ist eingeschränkt durch die nicht-integrierbare Bedingung

:<math>v = - \frac{\dot{x}}{\sin \varphi} = \frac{\dot{y}}{\cos \varphi}</math>
<math>\Leftrightarrow \dot{x} \cdot \cos \varphi + \dot{y} \cdot \sin \varphi = 0.</math>

d. h. die Richtung <math>\vec v</math> der [[Rollbewegung]] kann nur senkrecht zur Radachse stehen.<ref>{{Internetquelle |autor=Jim Ostrowski, Andrew Lewis, Richard Murray |url=https://authors.library.caltech.edu/93892/1/00351153.pdf |titel=Nonholonomic Mechanics and Locomot ion: The Snakeboard Example |werk=Caltech Universitätsbibliothek |hrsg=Department of Mechanical Engineering, California Institute of Technology |datum=1994-05-13 |sprache=en |archiv-url=https://web.archive.org/web/20190501130925/https://authors.library.caltech.edu/93892/1/00351153.pdf |archiv-datum=2019-05-01 |abruf=2025-11-22}}</ref>

Während jede Konstellation des Systems mit den beliebig gewählten Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>\varphi</math> zulässig ist (3 [[Freiheitsgrad]]e „im Großen“), das Rad also jede beliebige Position und Ausrichtung in der Ebene einnehmen kann, gibt es beim Übergang von einer Konstellation zu einer [[infinitesimal]] benachbarten eine Einschränkung durch obige nicht-holonome Rollbedingung; „im Kleinen“ existieren daher nur 2 Freiheitsgrade.

Auf die tatsächliche Rollbewegung eines Rades ist das Beispiel nicht übertragbar, da durch den [[Schräglaufwinkel]] auch Geschwindigkeiten in Richtung der Radachse auftreten.

== Siehe auch ==
* [[Holonomie]]
* [[Zwangsbedingung#Holonome Zwangsbedingungen|Holonome Zwangsbedingungen]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Holonom - Versionsgeschichte

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