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2019-11-21T06:56:00Z

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Im Bereich der [[komplexe Analysis|Funktionentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], interessiert man sich für die Vielfältigkeit [[holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]] auf [[komplexe Mannigfaltigkeit|komplexe Mannigfaltigkeiten]]. Ein Konzept ist das der '''holomorphen Separabilität''' oder '''holomorphen Trennbarkeit'''. Ist eine komplexe Mannigfaltigkeit holomorph separabel, so ist sichergestellt, dass auf dieser Mannigfaltigkeit außer den konstanten Funktionen weitere holomorphe Funktionen existieren. Auf der Sphäre, welche das Standardbeispiel einer [[Mannigfaltigkeit]] ist, sind nur die konstanten Funktionen holomorph; die Sphäre ist also nicht holomorph separabel.

== Formale Definition ==
Es sei <math>X</math> eine <math>n</math>-dimensionale [[komplexe Mannigfaltigkeit]] und <math>\mathcal O(X)</math> bezeichne den [[Ring (Algebra)|Ring]] (bzw. die [[Garbe (Mathematik)|Garbe]]) der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f \colon X \to \Complex</math>.
Die Mannigfaltigkeit <math>X</math> heißt ''holomorph separabel'', wenn es für zwei beliebige Punkte <math>x, y \in X</math> mit <math>x \neq y </math> eine auf ganz <math>X</math> holomorphe Funktion <math>f \in \mathcal O(X)</math> gibt, so dass <math>f(x) \neq f(y)</math> gilt.

Man sagt: „Die holomorphen Funktionen trennen die Punkte.“

== Beispiele ==
*Kann man eine komplexe Mannigfaltigkeit oder einen komplexen Raum [[Injektivität|injektiv]] (und holomorph) nach <math>\mathbb{C}^n</math> abbilden, so ist der Raum holomorph separabel.
:* Folglich ist jedes Gebiet in <math>\mathbb{C}^n</math> holomorph separabel.
:* Jede [[steinsche Mannigfaltigkeit]] ist holomorph separabel. (Es gibt eine Definition steinscher Mannigfaltigkeiten, die „holomorph separabel“ als Bedingung nennt.)
* Räume, die nicht-diskrete, kompakte, komplexe Unterräume oder Untermannigfaltigkeiten besitzen, sind nicht holomorph separabel.
** Folglich sind die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] und der [[Torus]], beziehungsweise allgemeiner die [[Jacobi-Varietät]], nicht holomorph separabel.

== Literatur ==
* Klaus Fritzsche, [[Hans Grauert]]: ''From Holomorphic Functions to Complex Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.

[[Kategorie:Komplexe Mannigfaltigkeit]]

Holomorph separable Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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