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2025-08-11T22:08:54Z

Energieaufwand in Abhängigkeit vom Radiusverhältnis: link

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[[Datei:Hohmann transfer orbit.svg|mini|Die Hohmann-Bahn (gelb) verbindet zwei Kreisbahnen, z. B. eine erdnahe Bahn (grün, <math>r_e=R</math>) mit dem geostationären Orbit (rot, <math>r_a=R'</math>, nicht maßstäblich).]]
Der '''Hohmann-Transfer''' ist ein energetisch günstiger Übergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden [[Himmelskörper]]. Die Transfer-[[Ellipse]] ('''Hohmann-Bahn''') verläuft sowohl zur Ausgangsbahn als auch zur Zielbahn tangential; dort ist jeweils ein [[Kraftstoß]] nötig, um die Geschwindigkeit anzupassen. Eine solche Skizze findet sich bereits um 1911 bei [[Konstantin Eduardowitsch Ziolkowski|Ziolkowski]]. 1925 wurde dieser Transfer von [[Walter Hohmann]] als optimal angesehen.<ref>Walter Hohmann: ''Die Erreichbarkeit der Himmelskörper – Untersuchungen über das Raumfahrtproblem.'' Oldenbourg, München 1925</ref> Für [[koplanar]]e, kreisförmige Ausgangs- und Zielbahnen mit einem Radiusverhältnis unter 11,94 ist er das auch, für extremere Verhältnisse und stark gegeneinander geneigte oder gar gegenläufige Bahnen ist ein [[bi-elliptischer Transfer]] energetisch günstiger.

Den idealisierenden Voraussetzungen nahe kommt die Aufgabe, Satelliten aus einer [[Low Earth Orbit|erdnahen]] in eine [[geostationäre Umlaufbahn]] zu bringen, siehe [[geostationäre Transferbahn]]. Für Flüge zum Mond oder benachbarten Planeten ist die [[Zentralfeld]]-Näherung weniger gut – mit [[Swing-by]]-Manövern und zeitraubenden Umwegen<ref>Shane D. Ross: ''The Interplanetary Transport Network'', American Scientist 94, 2006, S. 230–237, {{DOI|10.1511/2006.3.230}} [https://www.researchgate.net/publication/334410936_The_Interplanetary_Transport_Network online].</ref> lässt sich gegenüber dem [[Gleichung#Analytische Lösung|analytisch]] gefundenen Hohmann-Transfer Treibstoff sparen.

== Berechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationäre Bahn ==
{{Hauptartikel|Geostationäre Transferbahn}}
Um Satelliten [[Satellitenorbit#Geostationärer Orbit (GEO)|geostationär]] zu positionieren, werden diese oft zunächst auf eine kreisförmige, niedrige Umlaufbahn gebracht, [[Low Earth Orbit|{{lang|en|''Low Earth Orbit''}} (LEO)]], siehe (1) in der Grafik. Ein erster Kraftstoß (<math>\Delta v_e</math>) bringt den Satelliten auf die [[Ellipse|elliptische]] Hohmann-Bahn (2), deren [[Apogäum]] im Bereich des Zielorbits (3) liegt. Dort erhöht ein weiterer Kraftstoß (<math>\Delta v_a</math>) auch das [[Perigäum]] der Bahn, die damit wieder kreisförmig ist.

=== Geschwindigkeiten ===
[[Datei:Total energy during Hohmann transfer.png|mini|hochkant=1.2|Gesamtenergie-Bilanz beim Hohmann-Übergang zwischen zwei Kreisbahnen mit dem Anfangsradius <math>r_p</math> und dem Endradius <math>r_a</math>. Die schwarze Linie gibt die Energie für Kreisbahnen mit dem jeweiligen Radius an.]]
Nach der [[Vis-Viva-Gleichung]] beträgt die Geschwindigkeit ''v(r)'' eines Körpers am Ort ''r'' auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse ''a'' um die Erde:
: (1) <math> v = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }</math>
mit <math>\mu = (m+M)\cdot \gamma\approx M \cdot \gamma </math>, wobei <math>m</math> die Satellitenmasse, <math>M</math> die Erdmasse und <math>\gamma</math> die [[Gravitationskonstante]] sind. Bezeichnen <math>r_\mathrm{e}</math> den Perigäums- bzw. LEO-Radius, <math>r_\mathrm{a}</math> den Apogäums- bzw. GEO-Radius und <math>a = \frac{r_\mathrm{e} + r_\mathrm{a}}{2} </math> die große Halbachse der Transferellipse, so gelten für die Ausgangsgeschwindigkeit vLEO, Perigäumsgeschwindigkeit ve, Apogäumsgeschwindigkeit va sowie Endgeschwindigkeit vGEO die folgenden Gleichungen:
: (2) <math>v_\mathrm{LEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{e}} }</math>
: (3) <math>v_\mathrm{e} =\sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r_e} - \frac{1}{a} \right) } > v_\mathrm{LEO}</math>
: (4) <math>v_\mathrm{a} = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r_a} - \frac{1}{a} \right) } < v_\mathrm{GEO}</math>
: (5) <math>v_\mathrm{GEO} = \sqrt{ \frac{\mu}{r_\mathrm{a}} }</math>.

=== Zahlen ===
Folgende Werte seien gegeben:
: <math>r_\mathrm{LEO} = r_\mathrm{e} = 6.678\, \mathrm{km}</math>
:: ''gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Anfangsflughöhe von 300 km''
: <math>r_\mathrm{a} = r_\mathrm{GEO} = 42.164\, \mathrm{km}</math>
: <math>\mu = 398.600\, \mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2</math>

Dann betragen die gemäß obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten:
: (6) <math>v_\mathrm{LEO} = 7{,}73\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>
: (7) <math>v_\mathrm{e} = 10{,}15\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>
: (8) <math>v_\mathrm{a} = 1{,}6\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>
: (9) <math>v_\mathrm{GEO} = 3{,}07\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>

Daraus ergeben sich die beiden benötigten Geschwindigkeitsänderungen.
: Für den Übergang vom LEO zur Transferellipse: <math>\Delta v_e = v_\mathrm{e} - v_\mathrm{LEO} = 2{,}47\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>
: Für den Übergang von der Transferellipse zum GEO: <math>\Delta v_a = v_\mathrm{GEO} - v_\mathrm{a} = 1{,}46\, \mathrm{km}/\mathrm{s}</math>

== Energieaufwand in Abhängigkeit vom Radiusverhältnis ==
[[Datei:Hohmannbahn-Geschwindigkeitsänderung.jpg|miniatur|hochkant=1.7|Die für den '''Hohmann-Transfer''' nötige Geschwindigkeitsänderung in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsverhältnis von Ausgangs- und Zielorbit]]

Die Ellipse des Hohmann-Transfers wird durch die [[Kosmische Geschwindigkeiten#Erste kosmische Geschwindigkeit oder Kreisbahngeschwindigkeit|Geschwindigkeiten der Ausgangs- und Zielkreisbahn]] beschrieben. Um von einer Ausgangskreisbahn <math>r_e</math> in die Ellipse überzugehen sowie am Ziel wieder in eine Kreisbahn <math>r_a</math> zu gelangen, sind zwei [[Impuls]]stöße bzw. zwei [[Delta v|Geschwindigkeitsänderungen]] <math>\Delta v_e</math>, <math>\Delta v_a</math> notwendig. Zur Betrachtung des benötigten Energieaufwandes kann dann auch noch die gesamte Differenz <math>\Delta{v} = \Delta{v}_a+\Delta{v}_e</math> betrachtet werden. Die Transferellipse ist durch die [[Halbachsen der Ellipse|Halbachse]]
<math>\frac{r_a + r_e}{2} \text{ mit } r_a > r_e > 0</math>
beschrieben.

:<math>\Delta v_e
= v_e
\left( \sqrt{\frac{2 r_a}{r_e+r_a}} - 1 \right)</math>,

:<math>\Delta v_a
= v_a
\left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_e}{r_a+r_e}} \right) </math>

Zur weiteren Diskussion ist es zweckmäßig, die [[dimensionslose Größe]]
<math>\frac{\Delta{v}}{v_e} = \frac{\Delta{v}_e}{v_e}+\frac{\Delta{v}_a}{v_e}= \frac{\Delta{v}_e}{v_e}+\sqrt{\frac{r_e}{r_a}}\frac{\Delta{v}_a}{v_a}</math>
zu betrachten. Mit der Hilfsgröße <math>R = \frac{r_a}{r_e} > 0</math> ergibt sich dann:

:<math>
\frac{\Delta{v}}{v_e}=\left(1-\frac{1}{R}\right)\left(\frac{2R}{1+R}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{1}{R}\right)^{\frac{1}{2}}-1
</math>

Wann sich der Hohmann-Transfer als brauchbar erweist, lässt sich durch genauere Diskussion der Geschwindigkeitsänderung ermitteln. Durch Ableitung und Gleichsetzung mit Null kann ein [[Extremwert]] der vorgenannten [[Mathematische Formel|Formel]] ermittelt werden:
:<math>
\frac{d(\Delta{v}/v_e)}{dR}=
\frac{1}{R^2}
\left[\frac{2R}{1+R}\right]^{\frac{1}{2}}+
\frac{R-1}{R(1+R)^2}
\left[\frac{2R}{1+R}\right]^{-\frac{1}{2}}-
\frac{1}{2R^\frac{3}{2}}=0
</math>

:<math>
\Leftrightarrow
R^3-15R^2-9R-1 = 0
</math>

Die einzige sinnvolle Lösung ergibt sich für <math>R = 15{,}582</math>.
Das Verhältnis <math>r_a/r_e</math> für ein Maximum
ist also durch den Zusammenhang:
<math>r_e\cdot 15{,}582 = r_a</math> gegeben. Weiter ist die Ableitung für jedes
<math>R > 15{,}582</math>
[[Streng monoton wachsende Funktion|streng monoton steigend]]. D. h., dass sich für jedes größere Verhältnis <math>r_a/r_e</math> der Energieaufwand wieder verringert.

== Beispiel ==
=== Transferbahn zum Mars ===
[[Datei:Hohmann transfer orbit2.svg|mini|links|Transfer ''Erde→Mars'' mit 1 Erd-Umlaufbahn (türkis), 2 Hohmann-Transfer-Ellipse (gelb) und 3 Mars-Umlaufbahn (rot)]]

Der Mars ist der Erde in [[Opposition (Astronomie)|Oppositionsstellung]] am nächsten. Ein [[Raumschiff]] oder eine [[Raumsonde]] kann diese geometrische Nähe aber nur unter hohem Aufwand nutzen, da in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde angeflogen werden müsste.

Nach Hohmann dagegen ist der energetisch günstigste Transfer derjenige, bei dem das Raumfahrzeug den Mars in [[Konjunktion (Astronomie)|Konjunktion]] zu der Position der Erde erreicht, von der aus es gestartet ist. In der Abbildung links umkreist das Raumfahrzeug zunächst die Erde (blaue Umlaufbahn 1), wechselt dann am in der Abbildung unteren Schnittpunkt (von 1 mit 2) durch einen Schubimpuls zum Transfer via der elliptischen Hohmann-Bahn (gelbe Transferbahn 2), bis sie am in der Abbildung oberen Schnittpunkt (von 2 mit 3) den Mars erreicht, um durch einen weiteren Schubimpuls nun diesen zu umkreisen (rote Umlaufbahn 3). Dabei grenzt die Transferellipse in den beiden Positionen auf der Hauptachse jeweils tangential an die Umlaufbahn der Erde bzw. an die vom Mars und die Sonne steht in einem ihrer Brennpunkte. Daher ist die doppelte [[große Halbachse]] der Transferellipse die Summe der Entfernungen von der Erde zur Sonne und von der Sonne zum Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten [[Keplersche Gesetze|Keplerschen Gesetz]] eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten.

[[Datei:MRO Transfer Orbit.png|mini|Transferbahn einer [[Mars Reconnaissance Orbiter|Mars-Sonde]]]]
Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des [[Mars Reconnaissance Orbiter]]s, die zwar einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn erfordert (die Übergangsbahn führt über die Marsbahn hinaus), dafür dauert die Reisezeit allerdings nur sieben Monate.

== Weak Stability Boundary ==
Soll der Zielplanet mit einer möglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden, bietet das sogenannte ''Weak-Stability-Boundary''-Verfahren einen weiteren Energiegewinn. Die Sonde wird abgebremst, indem
sie entlang von [[Librationspunkt]]en manövriert wird. Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986. Die ESA-Sonde [[SMART-1]] näherte sich nach dieser Methode dem Mond.

== Siehe auch ==
* [[Hillsche Gleichungen]]

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas |Titel=Raumfahrtsysteme: Eine Einführung mit Übungen und Lösungen |Hrsg=Springer Vieweg |Auflage=5 |Datum=2017 |ISBN=978-3662496374 |Seiten=123 ff.}}

* {{Literatur | Autor=Pedro Ramon Escobal | Titel=Methods of astrodynamics | Verlag=John Wiley & Sons | Jahr=1969 | ISBN=978-0-471-24528-5 }}
* {{Literatur | Autor=Palmore | Titel=An Elementary Proof of the Optimality of Hohmann Transfer | Verlag=Journal of Guidance | Jahr=1984 }}
* Chapter: 8.3 ''Hohmann Transfer.'' In: Ulrich Walter: ''Astronautics: The Physics of Space Flight'', Third Edition, Springer, ISBN 978-3-319-74372-1, S. 313–325

== Weblinks ==
* [https://www.esa.int/gsp/ACT/doc/ARI/ARI%20Study%20Report/ACT-RPT-MAD-ARI-03-4103b-InterplanetaryHighways-Milano.pdf Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries] (PDF; 9,3 MB)
* [https://www.leifiphysik.de/astronomie/planetensystem/grundwissen/bahnen-im-gravitationsfeld Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit ''v'' eines sich in einem Kraftfeld auf elliptischer Bahn bewegenden Körpers] ([[LEIFI]])
* [https://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf4-1.php Interplanetary Trajectories-Hohmann Transfer Orbits], jpl.nasa.gov, abgerufen am 4. November 2011

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]

Hohmann-Transfer - Versionsgeschichte

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