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2026-01-16T13:56:35Z

Hofstadter-Conway-10.000-Dollar-Folge: Vornamen korrigiert: Collin -> Colin

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In der [[Mathematik]] sind die '''Hofstadter-Folgen''' Angehörige einer Familie ganzzahliger Folgen, die durch [[Nichtlineare Systeme|nichtlineare]] [[Differenzengleichung]]en beschrieben werden.

== Hofstadter-Folgen aus dem Buch ''Gödel, Escher, Bach'' ==
Die ersten Hofstadter-Folgen wurden von [[Douglas Richard Hofstadter]] in seinem Buch ''[[Gödel, Escher, Bach]]: ein Endloses Geflochtenes Band'' beschrieben. In der Reihenfolge ihrer Einführung in Kapitel III: ''Figur und Hintergrund'' (Figur-Figur-Folge) und Kapitel V: ''Rekursive Strukturen und Prozesse'' (restliche Folgen):

=== Hofstadters Figur-Figur-Folgen ===
Hofstadters ''Figur-Figur-'' (auch: ''R-und-S-'') ''Folgen'' sind wie folgt beschrieben:<ref name="Hofstadter_1988_S79">{{Literatur |Autor=Douglas Richard Hofstadter |Titel=Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band |Auflage=11. |Verlag=Klett-Cotta |Ort=Stuttgart |Datum=1988 |ISBN=3-608-93037-X |Seiten=79}}</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/HofstadterFigure-FigureSequence.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter Figure-Figure Sequence}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
R(1)&=1\ ;\ S(1)=2 \\
R(n)&=R(n-1)+S(n-1), \quad n>1.
\end{align}
</math>

Die Folge {S(''n'')} wird dabei beschrieben als Folge der positiven [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]], die nicht in der Folge {R(''n'')} enthalten sind. Die ersten Zahlen dieser Folgen sind:

: R: 1, 3, 7, 12, 18, 26, 35, 45, 56, 69, 83, 98, 114, 131, 150, 170, 191, 213, 236, 260, … ({{OEIS|A005228}})
: S: 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, … ({{OEIS|A030124}})

=== Hofstadters G-Folge ===
Hofstadters ''G-Folge'' ist wie folgt beschrieben:<ref name="Hofstadter_1988_S148">{{Literatur |Autor=Douglas Richard Hofstadter |Titel=Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band |Auflage=11. |Verlag=Klett-Cotta |Ort=Stuttgart |Datum=1988 |ISBN=3-608-93037-X |Seiten=148}}</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/HofstadterG-Sequence.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter G-Sequence}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
G(0)&=0 \\
G(n)&=n-G(G(n-1)), \quad n>0.
\end{align}
</math>

Die ersten Zahlen dieser Folge sind:

: 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, … ({{OEIS|A005206}})

Diese Folge erhält man, indem man bei den natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … jede Zahl doppelt schreibt, die in der unteren [[Wijthoff-Folge]] vorkommt, d. h. 1, 3, 4, …

=== Hofstadters H-Folge ===
Hofstadters ''H-Folge'' ist wie folgt beschrieben:<ref name="Hofstadter_1988_S148" /><ref>[http://mathworld.wolfram.com/HofstadterH-Sequence.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter H-Sequence}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
H(0)&=0 \\
H(n)&=n-H(H(H(n-1))), \quad n>0.
\end{align}
</math>

Die ersten Zahlen dieser Folge sind:

: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, … ({{OEIS|A005374}})

=== Hofstadters {{"|Text=verheiratete Folgen|Sprache=de}} ===
Hofstadters {{"|Text=verheiratete Folgen|Sprache=de}} sind wie folgt beschrieben:<ref name="Hofstadter_1988_S148" /><ref>[http://mathworld.wolfram.com/HofstadterMale-FemaleSequences.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter Male-Female Sequences}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
F(0)&=1\ ;\ M(0)=0 \\
F(n)&=n-M(F(n-1)), \quad n>0 \\
M(n)&=n-F(M(n-1)), \quad n>0.
\end{align}
</math>

Diese Folgen werden in englischer Sprache entsprechend der US-amerikanischen Originalausgabe von Hofstadters Buch als {{" |Sprache=en |Text=Female (F) and Male (M) sequences}} (dt. ''weibliche und männliche Folgen'') bezeichnet; die Bezeichnung als ''verheiratete'' Folgen kommt im englischen Originaltext nicht vor und ist ein Übersetzungskompromiss.<ref>{{Literatur |Autor=Douglas Richard Hofstadter |Titel={{lang|en-US|Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid}} |Verlag={{lang|en-US|Vintage Books}} |Ort=New York, NY, USA |Datum=1980 |ISBN=0-465-02656-7 |Seiten=137}}</ref> Gleichwohl kann von Hofstadters Einverständnis mit dieser Namensübertragung ausgegangen werden, da er Deutsch spricht und die deutsche Ausgabe seines Buches durchgesehen hat.<ref>{{Literatur |Autor=Douglas Richard Hofstadter |Titel=Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band |Auflage=11. |Verlag=Klett-Cotta |Ort=Stuttgart |Datum=1988 |ISBN=3-608-93037-X |Seiten=820}}</ref>

Die ersten Zahlen dieser Folgen sind:

: F: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, … ({{OEIS|A005378}})
: M: 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, … ({{OEIS|A005379}})

=== Hofstadters Q-Folge ===
Hofstadters Q-Folge ist wie folgt beschrieben:<ref name="Hofstadter_1988_S149">{{Literatur |Autor=Douglas Richard Hofstadter |Titel=Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band |Auflage=11. |Verlag=Klett-Cotta |Ort=Stuttgart |Datum=1988 |ISBN=3-608-93037-X |Seiten=149}}</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/HofstadtersQ-Sequence.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter’s Q-Sequence}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
Q(1)&=Q(2)=1, \\
Q(n)&=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)), \quad n>2.
\end{align}
</math>

Die ersten Zahlen dieser Folge sind:

: 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12, … ({{OEIS|A005185}})

Hofstadter nennt die Elemente dieser Folge <math>Q</math>-Zahlen;<ref name="Hofstadter_1988_S149" /> die Q-Zahl von 6 ist also 4. Die Darstellung der <math>Q</math>-Folge in Hofstadters Buch ist die erste bekannte Erwähnung einer [[Meta-Fibonacci-Folge]] in der Literatur.<ref name="Emerson_2006_S1,7">{{Literatur |Autor={{lang|en|Nathanial D. Emerson}} |Titel={{lang|en|A Family of Meta-Fibonacci Sequences Defined by Variable-Order Recursions}} |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=9 |Nummer=1 |Verlag=University of Waterloo |Ort=Waterloo, Ontario, Kanada |Datum=2006 |ISSN=1530-7638 |Seiten=1, 7 |Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Emerson/emerson6.pdf cs.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=}}</ref>

Während die Elemente der [[Fibonacci-Folge]] durch das Summieren der beiden jeweils vorhergehenden Elemente bestimmt werden, bestimmen die beiden jeweils vorhergehenden Elemente einer <math>Q</math>-Zahl, um wie viele Elemente in der Q-Folge zurückgegangen werden soll, um zu den beiden Summanden zu gelangen. Daher hängen die Indizes dieser beiden Summanden von der <math>Q</math>-Folge selbst ab.

<math>Q(1)</math>, das erste Element der Folge (die erste <math>Q</math>-Zahl), ist im Verlauf der Berechnung von Elementen der Q-Folge niemals als Summand an der Berechnung weiterer Elemente der Folge beteiligt; es wird allein verwendet, um den Index zu berechnen, mit dem auf das zweite Element der Folge Bezug genommen wird.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=5–6 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref>

Obwohl sich die Elemente der <math>Q</math>-Folge chaotisch zu entwickeln scheinen,<ref name="Hofstadter_1988_S149" /><ref name="Pinn_1999_S3">{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=3 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|A Chaotic Cousin of Conway’s Recursive Sequence}} |Sammelwerk=Experimental Mathematics |Band=9 |Nummer=1 |Datum=2000 |Seiten=1 |arXiv=conat/9808031}}</ref><ref name="Emerson_2006_S1,7" /> können ihre Elemente wie diejenigen vieler Meta-Fibonacci-Folgen in aufeinanderfolgende Blöcke gruppiert werden, die die Literatur als ''Generationen'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=3–4 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=B. Balamohan, A. Kuznetsov, Stephan M. Tanny |Titel={{lang|en|On the Behaviour of a Variant of Hofstadter’s Q-Sequence}} |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=10 |Nummer=7 |Verlag=University of Waterloo |Ort=Waterloo, Ontario, Kanada |Datum=2007-06-27 |ISSN=1530-7638 |Seiten=19 |Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Tanny/tanny3.pdf cs.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=}}</ref> Im Fall der <math>Q</math>-Folge hat die <math>k</math>-te Generation <math>2^k</math> Angehörige.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=Übersicht, 8 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref> Wenn außerdem <math>g</math> die Generation angibt, der eine <math>Q</math>-Zahl angehört, dann sind die Summanden dieser <math>Q</math>-Zahl, die als ''Eltern'' bezeichnet werden, bei weitem am häufigsten in der Generation (<math>g-1</math>) angesiedelt und nur einige wenige in der Generation (<math>g-2</math>), niemals jedoch in einer noch früheren Generation.<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=4–5 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref>

Die meisten dieser Feststellungen sind empirische Beobachtungen, da praktisch keine der Eigenschaften der <math>Q</math>-Folge im strengen Sinn bewiesen ist.<ref name="Pinn_1999_S2">{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}} |Sammelwerk=Complexity |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=2 |arXiv=chao-dyn/9803012v2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|A Chaotic Cousin of Conway’s Recursive Sequence}} |Sammelwerk=Experimental Mathematics |Band=9 |Nummer=1 |Datum=2000 |Seiten=3 |arXiv=conat/9808031}}</ref><ref name="Balamohan_2007_S2">{{Literatur |Autor=B. Balamohan, A. Kuznetsov, Stephan M. Tanny |Titel={{lang|en|On the Behaviour of a Variant of Hofstadter’s Q-Sequence}} |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=10 |Nummer=7 |Verlag=University of Waterloo |Ort=Waterloo, Ontario, Kanada |Datum=2007-06-27 |ISSN=1530-7638 |Seiten=2 |Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Tanny/tanny3.pdf cs.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=}}</ref>

Es ist insbesondere unbekannt, ob die Folge für alle <math>n</math> [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] ist, das heißt, ob die Folge irgendwo abbricht, weil ihre [[Produktionsregel]] versucht, sich auf Elemente zu beziehen, die sich konzeptuell links vom ersten Element <math>Q(1)</math> befinden müssten.<ref name="Pinn_1999_S2" /><ref>{{Literatur |Autor=Nathanial D. Emerson |Titel={{lang|en|A Family of Meta-Fibonacci Sequences Defined by Variable-Order Recursions}} |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=9 |Nummer=1 |Verlag=University of Waterloo |Ort=Waterloo, Ontario, Kanada |Datum=2006 |ISSN=1530-7638 |Seiten=7 |Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Emerson/emerson6.pdf cs.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=}}</ref><ref name="Balamohan_2007_S2" />

== Verallgemeinerungen der Q-Folge ==
=== Hofstadter-Huber-Q<sub>r,s</sub>(n)-Familie ===
Zwanzig Jahre nachdem Hofstadter die <math>Q</math>-Folge zum ersten Mal beschrieben hatte, verwendeten er und [[Greg Huber]] den Buchstaben <math>Q</math>, um eine Verallgemeinerung der <math>Q</math>-Folge zu einer ''Familie'' von Folgen zu bezeichnen. Die ursprüngliche <math>Q</math>-Folge aus seinem Buch benannten sie in <math>U</math>-Folge um.<ref name="Balamohan_2007_S2" />

Die ursprüngliche <math>Q</math>-Folge wird verallgemeinert, indem (<math>n-1</math>) und (<math>n-2</math>) jeweils durch (<math>n-r</math>) und (<math>n-s</math>) ersetzt werden.<ref name="Balamohan_2007_S2" />

Dies führt zu der Folgenfamilie

:<math>
Q_{r,s}(n) =
\begin{cases}
1 , \quad 1 \le n \le s, \\
Q_{r,s}(n-Q_{r,s}(n-r))+Q_{r,s}(n-Q_{r,s}(n-s)), \quad n > s,
\end{cases}
</math>

wobei <math>s\ge 2</math> und <math>r<s</math> ist.

Mit <math>(r,s)=(1,2)</math> ist die ursprüngliche Q-Folge eine Angehörige dieser Familie. Bisher sind nur drei Folgen der Familie <math>Q_{r,s}</math> bekannt, nämlich die <math>U</math>-Folge<ref name="Balamohan_2007_S2" /> mit <math>(r,s)=(1,2)</math> (die die ursprüngliche <math>Q</math>-Folge darstellt), die <math>V</math>-Folge<ref>{{Literatur |Autor=B. Balamohan, A. Kuznetsov, Stephan M. Tanny |Titel={{lang|en|On the Behaviour of a Variant of Hofstadter’s Q-Sequence}} |Sammelwerk=Journal of Integer Sequences |Band=10 |Nummer=7 |Verlag=University of Waterloo |Ort=Waterloo, Ontario, Kanada |Datum=2007-06-27 |ISSN=1530-7638 |Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Tanny/tanny3.pdf cs.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=}}</ref> mit <math>(r,s) = (1,4)</math> und die <math>W</math>-Folge<ref name="Balamohan_2007_S2" /> mit <math>(r,s) = (2,4)</math>. Nur für die <math>V</math>-Folge, die sich nicht so chaotisch wie die anderen verhält, ist bewiesen, dass sie nicht abbricht.<ref name="Balamohan_2007_S2" /> Ähnlich der ursprünglichen <math>Q</math>-Folge wurden bis heute praktisch keine Eigenschaften der <math>W</math>-Folge im strengen Sinn bewiesen.<ref name="Balamohan_2007_S2" />

Die ersten Zahlen der <math>V</math>-Folge sind:

: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 11, … ({{OEIS|A063882}})

Die ersten Zahlen der <math>W</math>-Folge sind:

: 1, 1, 1, 1, 2, 4, 6, 7, 7, 5, 3, 8, 9, 11, 12, 9, 9, 13, 11, 9, … ({{OEIS|A087777}})

Für andere Werte von <math>(r,s)</math> brechen die Folgen früher oder später ab, d. h., es existiert ein <math>n</math> für das <math>Q_{r,s}(n)</math> nicht definiert ist, weil <math>n-Q_{r,s}(n-r) < 1</math>.<ref name="Balamohan_2007_S2" />

=== Pinn-F<sub>i,j</sub>(n)-Familie ===
1998 schlug [[Klaus Pinn]], Wissenschaftler an der [[Universität Münster]] und in engem Kontakt mit Hofstadter, eine andere Verallgemeinerung von Hofstadters <math>Q</math>-Folge vor, die Pinn ''<math>F</math>-Folgen'' nannte.<ref name="Pinn_2000_S16">{{Literatur |Autor=Klaus Pinn |Titel={{lang|en|A Chaotic Cousin of Conway’s Recursive Sequence}} |Sammelwerk=Experimental Mathematics |Band=9 |Nummer=1 |Datum=2000 |Seiten=16 |arXiv=conat/9808031}}</ref>

Die Pinn-<math>F_{i,j}</math>-Familie ist wie folgt beschrieben:

:<math>
F_{i,j}(n) =
\begin{cases}
1 , \quad n=1,2, \\
F_{i,j}(n-i-F_{i,j}(n-1))+F_{i,j}(n-j-F_{i,j}(n-2)), \quad n > 2.
\end{cases}
</math>

Pinn führte also die zusätzlichen Konstanten <math>i</math> und <math>j</math> ein, die den Index der Summanden konzeptuell nach links verschiebt (also näher an den Folgenanfang).<ref name="Pinn_2000_S16" />

Nur die <math>F</math>-Folgen mit <math>(i,j) = (0,0), (0,1), (1,0)</math> und <math>(1,1)</math>, deren erste die ursprüngliche <math>Q</math>-Folge darstellt, erscheinen wohldefiniert.<ref name="Pinn_2000_S16" /> Anders als <math>Q(1)</math> sind die ersten Elemente der Pinn-<math>F_{i,j}(n)</math>-Folgen Summanden bei der Berechnung weiterer Folgenelemente, wenn eine der zusätzlichen Konstanten 1 ist.

Die ersten Zahlen von Pinns <math>F_{0,1}</math>-Folge sind:

: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, … ({{OEIS|A055748}})

== Hofstadter-Conway-10.000-Dollar-Folge ==
Die Hofstadter-Conway-10.000-Dollar-Folge ist wie folgt beschrieben:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Hofstadter-Conway10000-DollarSequence.html {{lang|en-US|Mathworld: Hofstadter-Conway $10,000 Sequence}}]</ref>

:<math>
\begin{align}
a(1)&=a(2)=1, \\
a(n)&=a(a(n-1))+a(n-a(n-1)), \quad n>2.
\end{align}
</math>

Die ersten Zahlen dieser Folge sind:

: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, … ({{OEIS|A004001}})

Diese Folge erhielt ihren Namen durch einen von [[John Horton Conway]] ausgelobten Preis in Höhe von 10.000 Dollar für denjenigen, der bestimmte Merkmale ihres [[Asymptote|asymptotischen]] Verhaltens zeigen konnte. Das zwischenzeitlich auf 1.000 Dollar reduzierte Preisgeld wurde [[Colin L. Mallows]] zuerkannt.<ref>Michael Tempel: '' {{Webarchiv |url=http://el.media.mit.edu/logo-foundation/pubs/papers/easy_as_11223.html |text={{lang|en|Easy as 1 1 2 2 3}} |wayback=20080302115122 }}''.</ref> Hofstadter äußerte später, er habe die Folge und ihre Struktur ungefähr 10–15 Jahre vor der Auslobung des Conway-Preises gefunden.<ref name="Pinn_1999_S3" />

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=B. Balamohan, A. Kuznetsov, Stephan M. Tanny
|Titel={{lang|en|On the Behaviour of a Variant of Hofstadter’s Q-Sequence}}
|Sammelwerk=Journal of Integer Sequences
|Band=10
|Nummer=7
|Verlag=University of Waterloo
|Ort=Waterloo (Ontario/Kanada)
|Datum=2007
|ISSN=1530-7638
|Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Tanny/tanny3.pdf cs.uwaterloo.ca]
|Format=PDF
|KBytes=}}
* {{Literatur
|Autor={{lang|en|Nathanial D. Emerson}}
|Titel={{lang|en|A Family of Meta-Fibonacci Sequences Defined by Variable-Order Recursions}}
|Sammelwerk=Journal of Integer Sequences
|Band=9
|Nummer=1
|Verlag=University of Waterloo
|Ort=Waterloo (Ontario/Kanada)
|Datum=2006
|ISSN=1530-7638
|Online=[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Emerson/emerson6.pdf cs.uwaterloo.ca]
|Format=PDF
|KBytes=}}
* {{Literatur
|Autor=Douglas Richard Hofstadter
|Titel={{lang|en-US|Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid}}
|Verlag=Vintage Books
|Ort=New York
|Datum=1980
|ISBN=0-465-02656-7}}
* {{Literatur
|Autor=Douglas Richard Hofstadter
|Titel=Gödel, Escher, Bach: ein Endloses Geflochtenes Band
|Auflage=11.
|Verlag=Klett-Cotta
|Ort=Stuttgart
|Datum=1988
|ISBN=3-608-93037-X}}
* {{Literatur
|Autor=Klaus Pinn
|Titel={{lang|en|Order and Chaos in Hofstadter’s Q(n) Sequence}}
|Sammelwerk=Complexity
|Band=4
|Datum=1999
|Seiten=41–46
|arXiv=chao-dyn/9803012v2}}
* {{Literatur
|Autor=Klaus Pinn
|Titel={{lang|en|A Chaotic Cousin of Conway’s Recursive Sequence}}
|Sammelwerk=Experimental Mathematics
|Band=9
|Nummer=1
|Datum=2000
|Seiten=55–66
|arXiv=conat/9808031}}
* {{Literatur
|Autor=S. Plouffe, Neil J. A. Sloane
|Titel={{lang|en-US|The Encyclopedia of Integer Sequences}}
|Verlag=Academic Press
|Ort=San Diego
|Datum=1995
|ISBN=0-12-558630-2}}
* {{Literatur
|Autor=Neil J. A. Sloane
|Titel={{lang|en-US|[[The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]}}
|Sammelwerk=Notices of the American Mathematical Society
|Band=50
|Nummer=8
|Datum=2003
|Seiten=912
|Online=[http://www.ams.org/notices/200308/comm-sloane.pdf ams.org]
|Format=PDF
|KBytes=92}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folge ganzer Zahlen]]

Hofstadter-Folge - Versionsgeschichte

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