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2019-12-01T17:09:08Z

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Die '''hillschen Gleichungen''' (nach [[George William Hill]] (1838–1914)) beschreiben Bahnänderungen eines [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] innerhalb des mitrotierenden Bezugssystems. Mit ihnen lässt sich berechnen, welchen weiteren Verlauf (Bahn und Geschwindigkeit) ein Satellit nimmt, wenn man seine Geschwindigkeit verändert.

Sie sind die Lösung des gekoppelten Gleichungssystems:
*<math>\ddot x + 2\omega \dot z = b_x </math>
*<math>\ddot y + \omega ^2 y = b_y </math>
*<math>\ddot z - 2\omega \dot x - 3\omega ^2 z = b_z </math>

== Bahngleichungen ==
:
*<math>x(\omega , t) = \left( {x_0 - 2\frac{{\dot z_0 }}{\omega }} \right) + 2\frac{{\dot z_0 }}{\omega }\cos \omega t + \left( {6z_0 + 4\frac{{\dot x_0 }}{\omega }} \right)\sin \omega t - \left( {6z_0 + 3\frac{{\dot x_0 }}{\omega }} \right)\omega t</math>

*<math>z(\omega , t) = \left( {4z_0 + 2\frac{{\dot x_0 }}{\omega }} \right) + \frac{{\dot z_0 }}{\omega }\sin \omega t - \left( {3z_0 + 2\frac{{\dot x_0 }}{\omega }} \right)\cos \omega t</math>

== Geschwindigkeitsgleichungen ==
*<math>\dot x(\omega , t) = - 3\dot x_0 - 6\omega z_0 - 2\dot z_0 \sin \omega t + \left( {6\omega z_0 + 4\dot x_0 } \right)\cos \omega t</math>

*<math>\dot z(\omega , t) = \left( {3\omega z_0 + 2\dot x_0 } \right)\sin \omega t + \dot z_0 \cos \omega t</math>

== Beispiele ==

=== Radiales Manöver ===
[[Datei:RadialesBahnmanöver.jpg|mini|Bahnänderung eines Satelliten bei radialer Geschwindigkeitsänderung]]
Ein radiales Manöver führt zu einer [[Ellipse]] mit dem Verhältnis '''1:2'''.

'''Anfangsbedingungen''': 
Position: <math>(x; z)=(0; 0)</math> 
Geschwindigkeit: <math>(\dot x;\dot z)=(0; \Delta v)</math> 

'''Bahngleichungen''':
*<math>x = 2\frac{{\Delta v}}{\omega }\left( {\cos \omega t - 1} \right)</math>
*<math>z = \frac{{\Delta v}}{\omega }\sin \omega t</math>

=== Tangentiales Manöver ===
[[Datei:TangentialesBahnmanöver.jpg|mini|Bahnänderung eines Satelliten bei tangentialer Geschwindigkeitsänderung]]
Ein tangentiales Manöver führt zu einer Zykloidenförmigen Bahn.

'''Anfangsbedingungen''': 
Position: <math>(x; z)=(0; 0)</math> 
Geschwindigkeit: <math>(\dot x;\dot z)=(\Delta v; 0)</math> 

'''Bahngleichungen''':
*<math>x = 4\frac{{\Delta v}}{\omega }\sin \omega t - 3\Delta v \cdot t</math>
*<math>z = 2\frac{{\Delta v}}{\omega }\left( {1 - \cos \omega t} \right)</math>
*<math>\dot x_1 = - 3\dot x_0 + 4\dot x_0 \cos \omega t</math>

Nach einem halben Umlauf bewegt sich der Satellit im mitrotierenden Bezugssystem mit '''siebenfachen <math>\Delta v</math>''' in die Gegenrichtung:
*<math>\dot x_1 \left( {t = \frac{T}{2}} \right) = - 3\Delta v - 4\Delta v = - 7\Delta v</math>

=== Hohmannmanöver ===
[[Datei:Hohmannmanöver.jpg|mini|Durchführung des Hohmannübergang mit zwei Manövern]]
Beim [[Hohmannbahn#Durchführung|Hohmannübergang]] werden zwei tangentiale Manöver ausgeführt.

'''Siehe auch:''' [[Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem)]]

[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]

Hillsche Gleichungen - Versionsgeschichte

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