imported>Sokrates 399: Typografie.

2026-02-14T11:21:22Z

Typografie.

Neue Seite

Der '''Hilbertwürfel''', auch '''Hilbertquader''' oder '''hilbertscher Fundamentalquader''' genannt, {{enS|Hilbert cube}}, ist ein nach dem Mathematiker [[David Hilbert]] benannter [[topologischer Raum]], der den aus dem [[Anschauungsraum]] bekannten [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] <math>[0,1]^3</math> auf unendlich viele [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinert.

== Definition ==
Der Hilbertwürfel <math>W</math> ist der Produktraum <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>, versehen mit der [[Produkttopologie]]. Das bedeutet im Einzelnen:
* <math>W</math> ist die Menge aller Folgen <math>x=(\xi_n)_n</math> mit <math>0\le \xi_n \le 1</math> für alle <math>n</math>.
* Eine Folge <math>(x_m)_m</math> in <math>W</math>, wobei <math>x_m=(\xi_n^{(m)})_n</math>, konvergiert genau dann gegen ein <math>x=(\xi_n)_n\in W</math>, wenn <math>\lim_{m\to \infty}\xi_n^{(m)} = \xi_n</math> für alle Indizes <math>n\in \N</math>.

== Eigenschaften ==
* Der Hilbertwürfel ist [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[wegzusammenhängend]], denn diese Eigenschaften übertragen sich auf Produkträume.
* Der Hilbertwürfel ist ein [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorffraum]], wie unmittelbar aus dem [[Satz von Tychonoff]] folgt.
* Der Hilbertwürfel ist [[Metrisierbarer Raum|metrisierbar]], eine die Topologie definierende Metrik ist durch
: <math>d((\xi_n)_n,(\eta_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty \frac{|\xi_n-\eta_n|}{2^n}</math>
:gegeben.
* Wie alle kompakten, metrisierbaren Räume ist der Hilbertwürfel [[Separabler Raum|separabel]] und genügt dem [[Abzählbarkeitsaxiom#Zweites Abzählbarkeitsaxiom|Zweiten Abzählbarkeitsaxiom]] (und damit auch dem [[Abzählbarkeitsaxiom#Erstes Abzählbarkeitsaxiom|Ersten Abzählbarkeitsaxiom]]). Hierbei ist die Menge
: <math>D=\{(\xi_n)_n\in W;\, \xi_n\in \Q \mbox{ und } \xi_n=0 \mbox{ für fast alle } n\}</math>
: eine abzählbare [[dichte Teilmenge]] von <math>W</math>. Die Menge aller <math>\tfrac{1}{m}</math>-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus <math>D</math> ist dann eine abzählbare Basis.
* Die [[lebesgue’sche Überdeckungsdimension]] des Hilbertwürfels <math>W</math> ist unendlich, denn für jedes <math>m</math> enthält der Hilbertwürfel den zu <math>[0,1]^m</math> homöomorphen [[Unterraum]] <math>W_m:= \{(\xi_n)_n\in W;\,\xi_n = 0 \mbox{ für alle } n>m\}</math>, muss daher eine Dimension <math>\ge m</math> haben für alle <math>m\in \N</math> und das heißt <math>\dim W = \infty</math>.

== Universelle Eigenschaft ==
=== Kompakte Räume mit abzählbarer Basis ===
Der Hilbertwürfel <math>W</math> ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. <math>W</math> ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt:<ref>[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung'' (= ''BI-Hochschultaschenbücher.'' 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 Kapitel 5.2, Satz 8.</ref>
* Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist [[Homöomorphie|homöomorph]] zu einem [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Unterraum]] des Hilbertwürfels.

=== Polnische Räume ===
Auch [[Polnischer Raum|polnische Räume]] lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt:<ref>Oliver Deiser: ''Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen.'' 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf S. 335.</ref>
* Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die [[Gδ-_und_Fσ-Mengen|<math>G_\delta</math>-Mengen]] im Hilbertwürfel.
* Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

== Der Hilbertwürfel im l<sup>2</sup> ==
Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im [[Hilbertraum]] <math>\ell^2</math> der [[Folgenraum|quadratsummierbaren Folgen]]. Definiere
:<math>\tilde{W} := \{(\xi_n)_n\in \ell^2;\, |\xi_n| \le \tfrac{1}{n} \mbox{ für alle }n\}</math>.

Dann ist <math>\textstyle \varphi \colon W\rightarrow \tilde{W}, (\xi_n)_n \mapsto (\frac{2\xi_n-1}{n})_n</math> ein Homöomorphismus, wenn man <math>\tilde{W}</math> mit der [[Teilraumtopologie]] der [[Normtopologie]] des Hilbertraums <math>\ell^2</math> versieht. Beachte, dass <math>\tilde{W}</math> keine Nullumgebung in <math>\ell^2</math> ist, denn <math>\tilde{W}</math> enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf <math>\tilde{W}</math> die relative Normtopologie und die relative [[schwache Topologie]] zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären <math>\textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [0,\frac{1}{2^n}]</math> oder <math>\textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]</math> oder <math>\textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [0,\frac{1}{n}]</math>, versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre <math>W</math> selbst eine Teilmenge des Hilbertraums <math>\ell^2</math>. Die erste Variante wird in<ref>[[Wolfgang Franz (Mathematiker)|Wolfgang Franz]]: ''Topologie.'' Band 1: ''Allgemeine Topologie'' (= ''Sammlung Göschen.'' Bd. 6181). 4., verbesserte und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 14.</ref> verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in,<ref>[[Klaus Jänich]]: ''Topologie.'' 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 199.</ref> wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Lutz Führer
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=[[Vieweg Verlag]]
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Auflage=4.
|Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert%2C%20Horst&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts (u. a.)
|Datum=1970
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Hilbertwurfel}}
[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:David Hilbert als Namensgeber]]

Hilbertwürfel - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie.