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2022-09-02T09:56:25Z

Konstruktion: reell quadratische ZK sind immer total-reell

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In der [[Mathematik]] sind '''Hilbertsche Modulflächen''' bestimmte komplexe [[algebraische Fläche]]n, die man als [[Quotiententopologie|Quotienten]] des Produkts zweier [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischer Ebenen]] erhält.

== Konstruktion ==

Sei <math>F</math> ein reell quadratischer [[Zahlkörper]], also <math>F=\mathbb Q(\sqrt{a})</math> für eine quadratfreie natürliche Zahl <math>a</math>.

Sei <math>{\mathcal{O}}_F\subset F</math> der Ganzheitsring von <math>F</math>, also <math>{\mathcal{O}}_F=\mathbb Z\left[x_a\right]</math> mit <math>x_a=\sqrt{a}</math> falls <math>a</math> kongruent 2 oder 3 mod 4 und <math>x_a=\frac{1+\sqrt{a}}{2}</math> falls <math>a</math> kongruent 1 mod 4.

Seien <math>\left\{\sigma_+,\sigma_-:{\mathcal{O}}_F\rightarrow \mathbb R\right\}</math> die Einbettungen von <math>{\mathcal{O}}_F</math>, also
:<math>\sigma_\pm(m+nx_a)=m\pm nx_a</math> für alle <math>m,n\in\mathbb Z</math>.

Die Abbildungen <math>\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
\sigma_\pm(a_{11}) & \sigma_\pm(a_{12}) \\
\sigma_\pm(a_{21}) & \sigma_\pm(a_{22})
\end{pmatrix} </math> definieren Einbettungen <math>\sigma_\pm:SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R)</math>.

Die ''Hilbertsche Modulgruppe'' ist das Bild von <math>SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> unter der Einbettung
:<math>(\sigma_+,\sigma_-):SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R)</math>.

Die Gruppe [[SL(2,R)]] wirkt auf der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]] durch [[SL(2,R)#Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen|gebrochen-lineare Transformationen]]. Mittels der Einbettung nach <math>SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R)</math> wirkt <math>SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> dann auf <math>\mathbb H^2\times \mathbb H^2</math>, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn <math>\Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> eine Untergruppe von endlichem [[Index (Gruppentheorie)|Index]] ist, dann heißt der Quotientenraum <math>\Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2)</math> ''Hilbertsche Modulfläche'' und <math>\Gamma</math> ''Hilbertsche Modulgruppe''. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele [[Arithmetische Gruppe|arithmetischer Gruppen]].

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe <math>\Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> [[torsionsfrei]] ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche <math>\Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2)</math> ein [[lokal symmetrischer Raum]], andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche [[Algebraische Varietät#Singularitäten|Singularitäten]].

== Algebraische Flächen ==

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben [[Friedrich Hirzebruch]] und [[Don Zagier]].<ref>[http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/scanned/ClassificationHilbertModSurf/HilbertModularSurfaces.pdf Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces], in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, [http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/100/ Online]. (PDF; 1,4 MB)</ref>

== Zahlentheorie ==

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers <math>F</math>. Zum Beispiel ist die Anzahl der [[Ende (Topologie)|Enden]] der Hilbertschen Modulfläche gleich der [[Klassenzahl]] von <math>F</math>.<ref>Kapitel III.2.7. in: [[Armand Borel]], [[Lizhen Ji]]: ''Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces.'' Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2</ref> Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist <math>2\zeta_F(-1)</math>, wobei <math>\zeta_F</math> die [[Dedekindsche Zeta-Funktion]] des Körpers <math>F</math> bezeichnet.<ref>[[Gerard van der Geer]]: ''Hilbert modular surfaces.'' Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2</ref>

== Quellen ==
<references />
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Theorie geometrischer Strukturen]]

Hilbertsche Modulfläche - Versionsgeschichte

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