imported>Filomusa: /* Ursprüngliche Fassung */ Einfügen der Anwendung auf den Fall Q[i] nach Noam D Elkies.

2024-11-20T15:23:04Z

Ursprüngliche Fassung: Einfügen der Anwendung auf den Fall Q[i] nach Noam D Elkies.

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Der [[Mathematik|mathematische]] '''Satz''', den [[David Hilbert]] unter der '''Nummer 90''' in seiner ''Theorie der algebraischen Zahlkörper'' aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter [[Körpererweiterung]]en. Er wurde en passant bereits 1855 von [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]] bewiesen.<ref>Franz Lemmermeyer (2018): ''[https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/publ/HZB.pdf 120 Jahre Hilberts Zahlbericht.]'' (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.</ref>

== Ursprüngliche Fassung ==
Es sei <math>L/K</math> eine zyklische [[Körpererweiterung#Galoiserweiterung|Galoiserweiterung]] und <math>\sigma</math> ein Erzeuger der zugehörigen [[Galoisgruppe]]. Dann ist jedes <math>y\in L^\times</math> mit [[Norm (Körpererweiterung)|Norm]] <math>N_{L/K}(y)=1</math> von der Form
:<math>y=\frac{\sigma x}x</math>
mit einem geeigneten <math>x\in L^\times</math>.

=== Anwendung auf Gaußsche Zahlen ===
[[Noam D. Elkies]] hat beschrieben,<ref>{{Literatur|Autor=Noam David Elkies|Titel=Pythagorean triples and Hilbert’s Theorem 90|Online=https://people.math.harvard.edu/~elkies/Misc/hilbert.pdf |Format=PDF|Umfang=1|Abruf=2024-11-20|KBytes=59}}</ref> dass „Hilbert 90“ im Falle <math>\Q[\mathrm{i}]/\Q</math> auf einfachste Weise mit der bekannten [[Pythagoreisches_Tripel#Herleitung_aus_Hilbert_90|Parametrisierung der Pythagoreischen Tripel]] äquivalent ist.

== Galoiskohomologische Fassung ==
<math>E</math> ist ein [[Körper (Algebra)|Körper]], <math>E/F</math> eine [[galoissch]]e [[Körpererweiterung]] und <math>G = \text{Gal}(E/F)</math>. Dann folgt für die [[Galoiskohomologie]]:
:<math>H^1(G, E^\times) = 0</math>

== Algebraisch-geometrische Fassung ==
Es sei <math>X</math> ein [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]]. Dann ist
:<math>\mathrm H^1_{\mathrm{\acute et}}(X,\mathbb G_{\mathrm m})=\mathrm{Pic}\,X.</math>
Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale [[Geradenbündel (Faserbündel)|Geradenbündel]] ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

== Hilbert 90 für motivische Kohomologie ==
Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von
:<math>\mathrm H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{1-\sigma} H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{N_{X/Y}} H^1(X,\mathbb G_{\mathrm m})</math>
für zyklische Galois[[Überlagerung (Topologie)|überlagerungen]] <math>Y/X</math> mit Erzeuger <math>\sigma</math>. Für das [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

== Literatur ==
* [[David Hilbert]]: ''[https://jscholarship.library.jhu.edu/bitstream/handle/1774.2/34070/31151007439122.pdf?sequence=410&isAllowed=y Die Theorie der algebraischen Zahlkörper.]'' (PDF; 90 MB). In: ''Zahlbericht.'' Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.

== Weblinks ==
{{Wikisource|Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/166|Hilberts Satz 90. In: David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Hilberts Satz 90]]
[[Kategorie:David Hilbert als Namensgeber]]

Hilberts Satz 90 - Versionsgeschichte

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