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2026-02-10T12:13:46Z

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Die '''Hilbert-Transformation''' ist in der [[Funktionalanalysis]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], eine lineare [[Integraltransformation]]. Sie ist nach [[David Hilbert]] benannt, welcher sie Anfang des 20. Jahrhunderts bei Arbeiten am [[Hilbertsche Probleme#Hilberts einundzwanzigstes Problem|Riemann-Hilbert-Problem]] für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] formulierte. Erstmals explizit benannt wurde sie 1924 von [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] basierend auf Arbeiten von [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] und [[Hermann Weyl]]. Ihre Anwendung erzeugt die zu einer reellen Funktion gehörende imaginäre Funktion mit Hilfe einer Faltung mit dem sog. Cauchy-Kern.

Sie wird im Bereich der [[Fourier-Transformation]] und der [[Fourieranalyse]] angewendet. Weitere Anwendungsgebiete liegen im Bereich der [[Signalverarbeitung]], bei der sie dazu dient, aus einem reellen Signal ein [[analytisches Signal]] bzw. ein [[monogenes Signal]] zu bilden. Charakteristisch ist die allgemeine Phasenverschiebung des Imaginärteils gegenüber dem Realteil um π/2 bzw. 90°.

[[Datei:Hilbert transform.svg|mini|Blau: Signalverlauf Rot: Hilbert-Transformation des blauen Signals]]

== Definition ==
Die Hilbert-Transformation ist für reelle Variablen <math>x</math> und <math>y</math> und für reell- oder komplexwertige Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> definiert als:
:<math>g(y) = \mathcal{H}\left\{ {f} \right\}\left( {y} \right) = \frac{1}{\pi}\, \operatorname{p.v.}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{y-x}\mathrm{d}x</math>

Das Integral ist dabei als [[Cauchyscher Hauptwert|Cauchy-Hauptwert]] zu verstehen, das heißt

:<math>\frac{1}{\pi}\, \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{y-x} \, \mathrm{d}x =
\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}\int_{|x-y| > \varepsilon} \frac{f(x)}{y-x} \, \mathrm{d}x</math>

Dieses Integral hat die Form eines [[Faltungsintegral]]s, so dass sich die Hilbert-Transformation mit dem Faltungsoperator <math>\ast</math> auch in folgender Form schreiben lässt:

:<math>g(y) = \mathcal{H}\left\{ {f} \right\}\left( {y} \right) = f(y) \ast \frac{1}{\pi y}</math>

Diese Transformation ist umkehrbar. Die inverse Hilbert-Transformation ist gegeben durch:
:<math>f = \mathcal{H}^{-1}\left\{ {g} \right\} = -\mathcal{H}\left\{ {g} \right\}</math>
und
:<math>\mathcal{H}^{-1}\left\{ {g} \right\} = \mathcal{H}^3\left\{ {g} \right\} = f</math>

== Eigenschaften ==
Einige wesentliche Eigenschaften der Hilbert-Transformation bei reeller Variable <math>t</math> und für reelle oder komplexe Funktionen <math>x</math> bzw. <math>y</math> sind:

;Linearität:
:<math>\mathcal{H} \left\{ a \cdot x + b \cdot y \right\} = a \cdot \mathcal{H} \left\{ x \right\} + b \cdot \mathcal{H} \left\{ y \right\}</math>

;Filterung:Diese Beziehung ist nur gültig, solange der Satz von [[Albert H. Nuttal|Nuttall]] mit Gleichheit erfüllt ist, d. h. die Spektren (Fouriertransformation) der beiden Funktionen x und y dürfen nicht überlappen<ref>{{Literatur |Autor=J. McFadden |Titel=An alternate proof of Nuttall's theorem on output cross-covariances |Hrsg=IEEE Transactions on Information Theory |Band=11 |Datum=1965 |Seiten=306-307}}</ref>.
:<math>\mathcal{H} \left\{ x \ast y \right\} = \mathcal{H} \left\{ x\right\} \ast y = x \ast \mathcal{H} \left\{ y \right\}</math>

=== Beziehung zur Fourier-Transformation ===

Insbesondere in der [[Nachrichtentechnik]] und deren Signalverarbeitung spielt der Bezug zur [[Fourier-Transformation]] eine wesentliche Rolle. Hierfür sind die Transformationspaare in beiden Richtungen von Interesse. Im Weiteren wird die in den Ingenieurwissenschaften übliche Notation <math>\mathrm{j}</math> für die [[Komplexe Zahl|imaginäre Einheit]] benutzt. In der Mathematik ist für die ''imaginäre Einheit'' die Notation <math>\mathrm{i}</math> üblich. Es gilt für <math>\mathrm{j}</math> die [[Identitätsgleichung|charakteristische Identität]] <math>{\mathrm{j}}^2 = -1</math>.

{|
!unsymmetrische Normierung
!    
!Transformation mit der Frequenz
|----
|
:<math>\mathcal{F}\left\{ \frac{1}{\pi t} \right\} = - \mathrm{j} \cdot \operatorname{sgn}(\omega) =
e^{-\mathrm{j} \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(\omega)}</math>

:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{ \frac{1}{\pi \omega} \right\} =
\mathrm{j} \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot \operatorname{sgn}(t)</math>
|
|
:<math>\mathcal{F}\left\{ \frac{1}{\pi t} \right\} = - \mathrm{j} \cdot \operatorname{sgn}(f) =
e^{-\mathrm{j} \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(f)}</math>

:<math>\mathcal{F}^{-1}\left\{ \frac{1}{\pi f} \right\} =
\mathrm{j} \cdot \operatorname{sgn}(t)</math>
|}
[[Datei:Hilbert-transfer-function.svg|miniatur|Hilbert-Transformation als Übertragungsfunktion im Frequenzbereich]]
Betrachtet sei nun die Faltungsoperation im Zeitbereich, die der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht.

:<math>\hat x(t) = \mathcal{H}\left\{ x(t)\right\} = x(t) \ast \frac{1}{\pi t}</math>

:<math>\hat X(\mathrm{j}\omega) =
X(\mathrm{j}\omega) \cdot (-\mathrm{j} \cdot \operatorname{sgn}(\omega))</math>

Das führt zur Übertragungsfunktion

:<math>H_H(\mathrm{j}\omega) = -\mathrm{j} \cdot \operatorname{sgn}(\omega)\,</math>.

Die Hilbert-Transformation kann in diesem Zusammenhang als eine Phasenverschiebung um <math>\tfrac{\pi}{2}</math> (bzw. +90°) für [[negative Frequenz]]en und um <math>-\tfrac{\pi}{2}</math> (bzw. −90°) für positive Frequenzen aufgefasst werden. Nachrichtentechnische Anwendungen liegen im Bereich von [[Modulation (Technik)|Modulationsverfahren]], insbesondere der [[Einseitenbandmodulation]] als Bestandteil eines [[analytisches Signal|analytischen Signals]]. Die technische Realisierung erfolgt näherungsweise in Form von speziellen [[Allpass]]filtern, die auch als ''Hilbert-Transformatoren'' bezeichnet werden.

=== Diskrete Hilbert-Transformation ===
Ein bandbegrenztes Signal <math>g\left(t\right)</math> limitiert auch die Hilbert-Transformierte von <math>g\left(t\right)</math> auf die gleiche Bandbreite. Beträgt die Bandbegrenzung maximal die halbe [[Abtastfrequenz]], kann gemäß dem [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]] ohne Informationsverlust eine zeitdiskrete Folge <math>g\left[k\right]</math>, mit <math>k</math> positiv und ganzzahlig, gebildet werden. Die diskrete Hilbert-Transformation ist dann gegeben als:

:<math>\mathcal{H} \left\{ g[k] \right\} = h[k] \ast g[k]</math>

mit der [[Impulsantwort]] <math>h\left[k\right]</math> der zeitdiskreten Hilbert-Transformation:

:<math>h[k]= \frac{1 - \mathrm{cos}(\pi k)}{\pi k} =
\begin{cases}
0, & k \text{ gerade},\\
\frac2{\pi k} & k \text{ ungerade}
\end{cases}
</math>

Die zeitdiskrete Hilbert-Transformation ist nicht kausal; für praktische Implementierungen im Rahmen der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]], wo diese Form eine Rolle spielt, wird <math>h\left[k\right]</math> näherungsweise mit endlicher Länge implementiert. Zu beachten ist, dass die zeitdiskrete Impulsantwort <math>h\left[k\right]</math> nicht der abgetasteten, kontinuierlichen Impulsantwort <math>h\left(t\right)</math> entspricht.

=== Kausalitätsbedingung im Frequenzbereich ===

Durch die Impulsantwort lässt sich ein System vollständig beschreiben. Soll die Bedingung [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)#Kausale Systeme|Kausalität]] erfüllt werden, dann muss die Impulsantwort für die Zeit vor der Anregung den Wert Null aufweisen.
Abstrakt lässt sich das über eine Multiplikation mit der [[Heaviside-Funktion|Sprungfunktion]] ausdrücken.

:<math>h(t) = h(t) \cdot \sigma_{\frac{1}{2}}(t)</math>

Durch Fouriertransformation lässt sich aus der Impulsantwort die entsprechende Übertragungsfunktion <math>H</math> im Frequenzbereich ermitteln. Das führt schließlich zu einem Faltungsintegral, das der Hilbert-Transformation entspricht.

:<math>H(\mathrm{j}\omega) =
- \mathrm{j} \mathcal{H} \left\{H(f) \right\} =
- \mathrm{j} \cdot \left[ \Re\left(\mathcal{H} \left\{H(f) \right\}\right) +
\mathrm{j} \Im\left(\mathcal{H} \left\{H(f) \right\}\right)\right] =
\Re\left(H(f)\right) + \mathrm{j}\Im\left(H(f)\right)</math>

Daraus folgen die Kausalitätsbedingungen für eine beliebige [[Übertragungsfunktion]]:

:<math>\Re\left(H(f)\right) = \mathcal{H} \left\{ \Im\left(H(f)\right) \right\}</math>

und

:<math>\Im\left(H(f)\right) = - \mathcal{H} \left\{ \Re\left(H(f)\right) \right\}</math>

=== Korrespondenzen ===
Einige wichtige Korrespondenzen der Hilbert-Transformation sind: (Hinweis: Die Voraussetzungen wie gültiger Wertebereich oder Definitionsbereich wurden der Übersicht wegen weggelassen.)

{| class="wikitable centered" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe8"
! Signal <math>x(t)\,</math> !! Hilbert-Transformierte <math>\mathcal{H}\{x(t)\}</math>
|-
| <math>\sin(t)\,</math> || <math>-\cos(t)\,</math>
|-
| <math>\cos(t)\,</math> || <math>\sin(t)\,</math>
|-
| <math>\frac{1}{t^2 + 1}</math> || <math>\frac{t}{t^2 + 1}</math>
|-
| <math>\frac{\sin(t)}{t}</math> [[Sinc-Funktion]] || <math>\frac{1 - \cos(t)}{t}</math>
|-
| <math>\sqcap(t)</math> [[Rechteck-Funktion]] || <math>{1 \over \pi} \ln \left | \frac{t + \frac{1}{2}}{t - \frac{1}{2}} \right |</math>
|-
| <math>\delta(t)</math> [[Delta-Distribution|Dirac-Delta-Distribution]] || <math> \frac{1}{\pi t}</math>
|-
| <math>e^{-t^2}</math> || <math> e^{-t^2} \operatorname{erfi}(t) </math> [[Imaginäre Fehlerfunktion]] erfi
|}

== Anwendungsbeispiel ==

=== Ultraschallprüfung ===
[[Datei:US Hilbert.png|mini|hochkant=1.5|Mit einem Ultraschalltransducer gemessenes Drucksignal (schwarz) und mittels Matlab berechnete Einhüllende (rot). Der aus der Hilbert-Transformation berechnete Betrag des Analytischen Signals
ist die Einhüllende vom Drucksignal.]]
In der [[Ultraschallprüfung]] und Ultraschallbildgebung verwendet man sogenannte Ultraschalltransducer. Diese senden einen kurzen Ultraschallpuls
in das zu untersuchende Medium. An Grenzflächen, also an Unstetigkeiten von Materialdichte und Schallgeschwindigkeit,
wird der Ultraschallpuls teilweise reflektiert. Der reflektierte [[Ultraschall]] wird dann vom [[Transducer]] zeitabhängig
gemessen. So lassen sich aus den Reflexionen Informationen über die Tiefe von Grenzflächen ableiten. Die Signale der
Ultraschallprüfung enthalten Über- und Unterdruckbereiche. Mit Hilfe der Hilbert-Transformation lässt sich das [[Analytisches Signal|Analytische Signal]] des reflektierten Signals berechnen. Der Betrag des Analytischen Signals entspricht in diesem Fall der
Einhüllenden des Drucksignals. Erst dadurch lässt sich die genaue Position einer Grenzfläche bestimmen.

== Implementierung ==
=== Berechnung über Fouriertransformation ===
Für praktische Implementierungen kann das [[Analytisches Signal|analytische Signal]] einer reellen Zahlenfolge der Länge <math>N</math> mittels der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] näherungsweise realisiert werden: Zunächst wird die Fourier-Transformierte der Eingabefolge berechnet, danach werden in dem berechneten Spektrum alle Spektralanteile, die für negative Frequenzanteile stehen, auf 0 gesetzt. Abschließend wird mittels der inversen Fouriertransformation die Ausgabefolge berechnet.<ref>S. Lawrence Marple: ''Computing the discrete-time analytic signal via FFT'', IEEE Transactions on Signal Processing, Ausgabe 47, Nr. 9, September 1999, Seiten 2600–2603.</ref>

Folgendes Beispiel setzt voraus, dass <math>X[k=1]</math> den DC-Anteil und <math>X[k=\tfrac{N}{2}+1]</math> die [[Nyquist-Frequenz]] des Spektrums enthält.

# Berechnung der Fouriertransformierten <math>X\left[k\right]</math> von der Eingangsfolge mit der Länge <math>N</math>. Aus Effizienzgründen wird dafür die [[Schnelle Fourier-Transformation]] (FFT) eingesetzt.
# Bildung eines Vektors <math>H\left[k\right]</math> der Länge <math>N</math>, der nur die Werte 0, 1 und 2 nach folgender Regel aufweist:
#* <math>H[k] = 1</math> für <math>k = 1,\,\tfrac{N}{2}+1</math>
#* <math>H[k] = 2</math> für <math>k = 2,\,3,\ldots,\,\tfrac{N}{2}</math>
#* <math>H[k] = 0</math> für <math>k = \tfrac{N}{2}+2,\ldots,\,N</math>
# Bildung der elementweisen Produkte <math>Y\left[k\right] =H\left[k\right]\cdot X\left[k\right]</math>
# Berechnung der inversen Fouriertransformierten von <math>Y\left[k\right]</math>, um die Ausgangsfolge zu bestimmen.

=== Berechnung mit FIR-Filter ===
[[Datei:FIR Hilbert Transform Filter.svg|mini|hochkant=1.5|Hilbert-Transformationsfilter (FIR) mit 6. Ordnung]]
Alternativ kann die Hilbert-Transformation in Näherung auch mit [[FIR-Filter]]n gerader Ordnung in Form eines [[Allpass]]es realisiert werden, wie in nebenstehender Abbildung für ein Hilbert-Transformationsfilter 6. Ordnung dargestellt. Erkennbar dabei, dass bei Hilbert-Transformationsfiltern immer die ungeraden Filterkoeffizienten von Wert 0 sind, und die verbleibenden geraden Filterkoeffizienten <math>\alpha_0,\,\alpha_2,\,\alpha_4,\ldots, \alpha_n=\tfrac{2}{\pi (n+1)}</math> (für gerade n)

lassen sich aufgrund von Symmetriegründen paarweise mit invertierten Vorzeichen zusammenfassen. Das Ausgangssignal <math>y_I\left[k\right]</math> (I-Komponente) wird im Filter nur zeitlich verzögert, um mit dem gefilterten Signal <math>y_Q\left[k\right]</math> (Q-Komponente) in Phase zu sein. Die so gebildete Kombination

:<math>y_I[k] + \mathrm{j} \cdot y_Q[k]</math>

wird als [[analytisches Signal]] des reellwertigen Eingangssignals <math>x\left[k\right]</math> bezeichnet.

== Funktionalanalysis ==
Die Hilbert-Transformation ist in der Funktionalanalysis als prototypisches Beispiel eines singulären [[Integraloperator]]s von Bedeutung.

[[A priori]] ist die Hilbert-Transformation nur für Funktionen definiert, für die das Hauptwert-Integral in der Definition überall konvergiert. Das ist beispielsweise für alle [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktionen]] der Fall. Man kann allerdings beweisen, dass der so definierte Operator eine [[Beschränkter Operator|beschränkte Fortsetzung]] auf die [[Lp-Raum|Räume]] <math>L^p(\mathbb{R})</math> für <math>1 besitzt.

Damit definiert die Hilbert-Transformation einen [[beschränkter Operator|beschränkten Operator]] <math>\mathcal{H}\colon L^p(\mathbb{R}) \stackrel{\mathcal H}{\to} L^p(\mathbb{R})</math>, falls <math>1 . Dieser Operator ist für ein festes <math>f \in L^p(\mathbb{R})</math> immer noch fast überall durch das Hauptwert-Integral gegeben.

Im Fall <math>p=2</math> ist die Hilbert-Transformation sogar ein [[isometrischer Isomorphismus]] <math>\mathcal{H}\colon L^2(\mathbb{R}) \stackrel{\mathcal H}{\to} L^2(\mathbb{R})</math> (und damit ein [[unitärer Operator]]). Sie erfüllt die Gleichung <math>\mathcal{H}^2 = - \mathbb{I}</math>, wobei <math>\mathbb{I}</math> die [[identische Abbildung]] ist. Beides wird ersichtlich aus der Gleichung<math display="block"> \mathcal{F} (\mathcal{H} f) = -i \sgn(\xi) \, \mathcal{F} f</math>für <math>f \in L^2(\mathbb{R})</math>.

Die Hilbert-Transformation einer beschränkten Funktion ist im Allgemeinen nicht beschränkt, wie man am Beispiel der Rechtecks-Funktion oben sieht. Damit definiert die Hilbert-Transformation keinen Operator <math>L^\infty(\mathbb{R}) \to L^\infty(\mathbb{R})</math>.

Das gleiche Beispiel zeigt, dass die Hilbert-Transformation den Raum <math>L^1(\mathbb{R})</math> nicht auf sich selbst abbildet. Sie ist allerdings schwach beschränkt auf <math>L^1</math>. Das heißt, es gibt eine Konstante <math>C</math>, so dass<math display="block">|\{x \, : \, |\mathcal{H}f(x)| > \lambda\}| \leq \frac{C}{\lambda}\|f\|_{L^1(\mathbb{R})}</math>für alle <math>\lambda > 0</math> und alle Funktionen <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> gilt.

=== Beziehung zu den Kramers-Kronig-Relationen ===
Die [[Kramers-Kronig-Relationen]] der Physik erhält man mit der formalen Identität (siehe [[Distribution (Mathematik)]])
:<math>\frac{1}{x}=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{x+\mathrm i\varepsilon }=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{x}{x^2+\varepsilon ^2}-\mathrm i\cdot\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\,\frac{\varepsilon }{x^2+\varepsilon ^2}\,,</math>
wobei der erste Teil bei der Integration über <math>x</math> den [[Cauchyscher Hauptwert|Cauchy-Hauptwert CH]] von <math>\tfrac{1}{x}</math> und der zweite Teil das <math>\pi</math>-fache der [[Delta-Distribution|Dirac-Distribution <math>\delta</math>]] ergibt.

Die Hilbert-Transformation findet dann Anwendung, wenn eine reelle Funktion von der [[Reelle Zahl|reellen Achse <math>\mathbb{R}</math>]] zu einer in der darüber liegenden [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Halbebene]] [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] fortgesetzt werden soll.

=== Beschränktheit ===
Ein Resultat von [[Donald Burkholder|Burkholder]] und [[Jean Bourgain|Bourgain]] sagt, dass die Hilbert-Transformation genau dann auf <math>L^p(\R,E)</math> für alle <math>p\in (1,\infty)</math> beschränkt ist, wenn <math>E</math> ein [[UMD-Raum]] ist.<ref>{{Literatur|Autor=Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis|Titel=Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory|Datum=2016|Hrsg=Springer International Publishing|Ort=Cham|Seiten=267-372|ISBN=978-3-319-48520-1|DOI=10.1007/978-3-319-48520-1_4}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[ZHIT]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = [[Karl-Dirk Kammeyer]]
|Titel = MATLAB in der Nachrichtentechnik
|Verlag = J. Schlembach Fachverlag | Jahr = 2001 | ISBN = 3-935340-05-2 }}
* {{Literatur
| Autor=Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander K. E. Stenger
| Titel= Einführung in die Systemtheorie: Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik
| Auflage= 4. | Verlag= Teubner Verlag | Ort= Wiesbaden | Jahr= 2007 | ISBN= 978-3-8351-0176-0
}}

== Weblinks ==
* Julius O. Smith III ''[https://ccrma.stanford.edu/~jos/complex/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters]'', Stanford University (engl.)
* [https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.hilbert.html Python SciPy.org: Hilbert-Transformation mit Beispiel zur Hüllkurven-Berechnung (scipy.signal.hilbert)]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Hilberttransformation}}
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]
[[Kategorie:David Hilbert als Namensgeber]]

Hilbert-Transformation - Versionsgeschichte

imported>Invisigoth67: typo, form