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2025-10-03T10:43:28Z

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[[Datei:Disdyakisdodecahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Hexakisoktaeders ([[:Datei:Disdyakisdodecahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Disdyakis dodecahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Hexakisoktaeders]]
[[Datei:Disdyakisdodecahedron net.png|mini|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Hexakisoktaeders]]

Das '''Hexakisoktaeder''' (aus {{grcS|prefix=nein|ἑξάκις|hexakis}} „sechsmal“ und ''[[Oktaeder]]'' „Achtflächner“) oder '''Disdyakisdodekaeder''' ({{grcS|prefix=nein|δίς|dis}} „zweimal“, {{lang|grc|δυάκις|dyakis}} „zweimal“ und ''[[Dodekaeder]]'' „Zwölfflächner“) ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 48 unregelmäßigen [[Dreieck]]en zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Kuboktaederstumpf]] und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.

== Entstehung ==

=== Rhombendodekaeder als Basis ===

Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines [[Rhombendodekaeder]]s (Kantenlänge <math>a</math>) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit den Flankenlängen <math>b</math> und <math>c \,(< b)</math> aufgesetzt, entsteht ein Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

: <math>\tfrac{a}{3} \sqrt{6} 

* Für den o. g. minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten <math>a</math> und <math>b</math> entsteht, wenn <math> b = 2a \, (\sqrt{2} - 1) </math> ist.
* Nimmt <math>b</math> den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem [[Deltoidalikositetraeder]] mit den Kantenlängen <math>a</math> und <math>b</math>.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

=== Kuboktaederstumpf als Basis ===

[[Datei:Dreieck Hexakisoktaeder.png|mini|Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf]]
Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

Sei ''d'' die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

: <math> a = \, \frac{2}{7}\, d \, \sqrt{60 + 6\sqrt{2}} </math>
: <math> b = \, \frac{3}{7}\, d \, \sqrt{12 + 6\sqrt{2}} </math>
: <math> c = \, \frac{2}{7}\, d \, \sqrt{30 - 3\sqrt{2}} </math>

== Formeln ==

Im Folgenden bezeichne <math>a</math> die jeweils längste Kante des Hexakisoktaeders (<math>a > b > c</math>).

=== Regulär ===

Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).

{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{a^3}{28} \, \sqrt{6\,(986 + 607\sqrt{2})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = \frac{3}{7} \, a^2 \, \sqrt{543 + 176\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = \frac{a}{2} \, \sqrt{\frac{402 + 195\sqrt{2}} {194}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Kantenkugelradius'''
| <math>r = \frac{a}{4} \, (1 + 2\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  ≈ 155° 4′ 56″'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{1}{97}\, (71 + 12\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,96908'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {756\,\pi \left(986 + 607 \sqrt{2}\right)}} {6 \sqrt{543 + 176 \sqrt{2}}} </math>
|}

|

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = \frac{a^2}{112} \, \sqrt{543 + 176\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge'''
| <math>b = \, \frac{3}{14} \, a \, (1 + 2\sqrt{2})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Seitenlänge'''
| <math>c = \, \frac{a}{14} \, (10 - \sqrt{2})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel  ≈ 87° 12′ 7″'''
| <math> \cos \, \alpha = \, \frac{1}{12} \, (2 - \sqrt{2})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel  ≈ 55° 1′ 29″'''
| <math> \cos \, \beta = \, \frac{1}{8} \, (6 - \sqrt{2})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel  ≈ 37° 46′ 24″'''
| <math> \cos \, \gamma = \, \frac{1}{12} \, (1 + 6\sqrt{2})</math>
|}
|}

=== Rhombisch ===

Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge <math>a</math>).

==== Allgemein ====

{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{8}{9} a^2 \sqrt{3} \left(2a + \sqrt{6b^2 - 4a^2}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 8a \, \sqrt{9b^2 - 4a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)#Eigenschaften|Pyramidenhöhe]]'''
| <math>k = \frac{1}{3} \sqrt{9b^2 - 6a^2}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho \, = \frac{a\,(2a + \sqrt{6b^2 - 4a^2})} {\sqrt{27b^2 - 12a^2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{9b^2 - 2a\,(4a +3\sqrt{6b^2 - a^2})} {18b^2 - 8a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{3b^2 - 4a^2} {9b^2 - 4a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''c'')'''
| <math> \cos \, \alpha_3 = \frac{3b^2} {4a^2 - 9b^2} </math>
|}

|

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = \frac{a}{6} \, \sqrt{9b^2 - 4a^2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Seitenlänge'''
| <math>c = \frac{1}{3} \sqrt{9b^2 - 3a^2}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel'''
| <math> \sin \, \alpha = \frac{a}{b} \, \sqrt{\frac{9b^2 - 4a^2} {9b^2 - 3a^2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel'''
| <math> \sin \, \beta = \sqrt{\frac{9b^2 - 4a^2} {9b^2 - 3a^2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel'''
| <math> \sin \, \gamma = \frac{\sqrt{9b^2 - 4a^2}}{3b} </math>
|}
|}

==== Speziell ====
{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{32}{9}a^3 \sqrt{3}\, (2 - \sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = 16a^2 \sqrt{26 - 18\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = 2a\, \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}} {21}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (ü. Kanten ''a, b'') ≈ 153° 6′ 4″'''
| <math> \cos \, \alpha_{1,\,2} = -\frac{1}{7}\, (2 + 3\sqrt{2}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (ü. Kante ''c'') ≈ 161° 4′ 4″'''
| <math> \cos \, \alpha_3 = -\frac{3}{14}\, (3 + \sqrt{2}) </math>
|}

|

{| class="wikitable"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="3"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = \frac{a^2}{3} \sqrt{26 - 18\sqrt{2}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge'''
| <math>b = 2a \, (\sqrt{2} - 1)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Seitenlänge'''
| <math>c = a \, \sqrt{\frac{35 - 24\sqrt{2}}{3}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel  ≈ 87° 42′ 53″'''
| <math> \sin \, \alpha = \, 2 \, \sqrt{\frac{57 + 37\sqrt{2}}{438}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel  ≈ 55° 52′ 13″'''
| <math> \sin \, \beta = \, 4 \, \sqrt{\frac{23 - 3\sqrt{2}}{438}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel  ≈ 36° 24′ 54″'''
| <math> \sin \, \gamma = \, \frac{1}{3} \sqrt{6 - 2\sqrt{2}} </math>
|}
|}

== Vorkommen ==

* Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als [[Kristallform]] vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen [[Kristallklasse]] m{{overline|3}}m.
* Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als [[Spielwürfel#Sonstige Polyeder|Spielwürfel]] (W48).

== Weblinks ==
{{Commonscat|Disdyakis dodecahedron|Disdyakisdodekaeder}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|DisdyakisDodecahedron|Reguläres Disdyakisdodekaeder}}
* [http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Hexakisoktaeder 3D-Animation eines Hexakisoktaeders] im [[Mineralienatlas]]

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Hexakisoktaeder - Versionsgeschichte

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