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2025-10-28T08:08:00Z

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[[Datei:Disdyakistriacontahedron.jpg|mini|3D-Ansicht eines Hexakisikosaeders ([[:Datei:Disdyakistriacontahedron.gif|Animation]])]]
[[Datei:Disdyakis triacontahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Hexakisikosaeders]]
[[Datei:Disdyakistriacontahedron net.png|mini|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Hexakisikosaeders]]

Das '''Hexakisikosaeder''' (aus {{grcS|prefix=nein|ἑξάκις|hexakis}} „sechsmal“ und ''[[Ikosaeder]]'' „Zwanzigflächner“) oder '''Disdyakistriakontaeder''' ({{grcS|prefix=nein|δίς|dis}} „zweimal“, {{lang|grc|δυάκις|dyakis}} „zweimal“ und ''[[Triakontaeder]]'' „Dreißigflächner“) ist ein [[Krümmung|konvexes]] [[Polyeder]], das sich aus 120 unregelmäßigen [[Dreieck]]en zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Ikosidodekaederstumpf]] und hat 62 Ecken sowie 180 Kanten.

== Entstehung ==

=== Rhombentriakontaeder als Basis ===

Werden auf die 30 Begrenzungsflächen eines [[Rhombentriakontaeder]]s (Kantenlänge <math>a</math>) [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] mit den Flankenlängen <math>b</math> und <math>c \,(< b)</math> aufgesetzt, entsteht ein Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

: <math> \frac{a}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}} \, 

* Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
* Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten <math>a</math> und <math>b</math> entsteht, wenn <math> b = \frac{a}{2} \, (3\sqrt{5} - 5) \approx 0{,}854102 \cdot a</math> ist.
* Nimmt ''b'' den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem [[Deltoidalhexakontaeder]] mit den Kantenlängen <math>a</math> und <math>b</math>.
* Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

=== Ikosidodekaederstumpf als Basis ===

[[Datei:Dreieck Hexakisikosaeder.png|mini|Konstruktion des Dreiecks am Ikosidodekaederstumpf]]
Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des [[Großes Rhombenikosidodekaeder|abgestumpften Ikosidodekaeders]] zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisikosaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 165°), und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

Sei <math>d</math> die Kantenlänge des Ikosidodekaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

: <math> a = \frac{2}{5}\, d \, \sqrt{15 \,(5 - \sqrt{5})} </math>
: <math> b = \frac{3}{55}\, d \, \sqrt{15 \,(65 + 19\sqrt{5})} </math>
: <math> c = \frac{d}{11}\, \sqrt{15 \,(85 - 31\sqrt{5})} </math>

== Formeln ==
Im Folgenden bezeichne <math>a</math> die jeweils längste Kante des Hexakisikosaeders (<math>a > b > c</math>).

=== Regulär ===
Basis ist das abgestumpfte Ikosidodekaeder (dualer [[archimedischer Körper]]).

{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = \frac{25}{88} a^3 \, \sqrt{6\,(185 + 82\sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = \frac{15}{44} a^2 \, \sqrt{10 \,(417 + 107\sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = \frac{a}{4} \, \sqrt{\frac{15\,(275 + 119\sqrt{5})} {241}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{8} \, (5 + 3\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' Flächenwinkel  ≈ 164° 53′ 16″'''
| <math> \cos \, \alpha = -\frac{1}{241}\, (179 + 24\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,98572'''
| <math> \Psi = \frac{2\, \sqrt [3] {55\,\pi \left(185 + 82 \sqrt{5}\right)}} {\sqrt{10 \left(417 + 107 \sqrt{5}\right)}} </math>
|}

|

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = \frac{a^2}{352} \, \sqrt{10 \,(417 + 107\sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge'''
| <math>b = \frac{3}{22} \, a \, (4 + \sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Seitenlänge'''
| <math>c = \frac{5}{44} \, a \, (7 - \sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel  ≈ 88° 59′ 30″'''
| <math> \cos \, \alpha = \frac{1}{30} \, (5 - 2\sqrt{5})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel  ≈ 58° 14′ 17″'''
| <math> \cos \, \beta = \frac{1}{20} \, (15 - 2\sqrt{5})</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel  ≈ 32° 46′ 13″'''
| <math> \cos \, \gamma = \frac{1}{24} \, (9 + 5\sqrt{5})</math>
|}
|}

=== Rhombisch ===
Basis ist das [[Rhombentriakontaeder]] (Kantenlänge <math>a</math>).

==== Allgemein ====
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlängen ''a'', ''b''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = 2a^2 \left(2a \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{20b^2 - 2a^2(5 + \sqrt{5}})\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 60a \, \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})} {10}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Pyramide (Geometrie)#Eigenschaften|Pyramidenhöhe]]'''
| <math>k = \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(5 + \sqrt{5})} {10}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''
| <math>\rho = \frac{a \left(a \sqrt{50 + 20\sqrt{5}} + \sqrt{50b^2 - 5a^2(5 + \sqrt{5}})\right)}{5\sqrt{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''a'')'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{5b^2(1 + \sqrt{5}) - 2a^2(3 + 2\sqrt{5}) - 2a\sqrt{10b^2(5 - \sqrt{5}) - 20a^2}} {20b^2 - 2a^2 (3 + \sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''b'')'''
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2\sqrt{5} - a^2(3 + \sqrt{5})} {10b^2 - a^2 (3 + \sqrt{5})} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (über Kante ''c'')'''
| <math> \cos \, \alpha_3 = \frac{a^2(1 - \sqrt{5}) + 2b^2\sqrt{5}} {a^2 (3 + \sqrt{5}) - 10b^2} </math>
|}

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = \frac{a}{2} \, \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})} {10}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Kantenlänge'''
| <math>c = \sqrt{\frac{5b^2 - a^2\sqrt{5}} {5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel'''
| <math> \sin \, \alpha = \frac{a}{b} \, \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})} {10b^2 - 2a^2\sqrt{5}}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel'''
| <math> \sin \, \beta = \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})} {10b^2 - 2a^2\sqrt{5}}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel'''
| <math> \sin \, \gamma = \frac{1}{b} \, \sqrt{\frac{10b^2 - a^2(3 + \sqrt{5})} {10}} </math>
|}

==== Speziell ====
{| class="toptextcells left"
|style="width:50%"|

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Volumen'''
| <math>V = 8a^3 \sqrt{25 - 10\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Oberflächeninhalt'''
| <math>A_O = 120a^2 \, \sqrt{\frac{43 - 19\sqrt{5}}{10}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Inkugelradius'''
| <math>\rho = a\, \sqrt{\frac{25 + 9\sqrt{5}} {22}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (ü. Kanten ''a, b'') ≈ 163° 27′ 53″'''
| <math> \cos \, \alpha_{1,\,2} = -\frac{1}{44}\, (31 + 5\sqrt{5}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächenwinkel  (ü. Kante ''c'') ≈ 169° 48′ 9″'''
| <math> \cos \, \alpha_3 = -\frac{1}{22}\, (6 + 7\sqrt{5}) </math>
|}

|

{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Dreiecks
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächeninhalt'''
| <math>A = a^2 \, \sqrt{\frac{43 - 19\sqrt{5}}{10}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Seitenlänge'''
| <math>b = \frac{a}{2} \, (3\sqrt{5} - 5)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Seitenlänge'''
| <math>c = a \, \sqrt{\frac{175 - 77\sqrt{5}}{10}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Winkel  ≈ 89° 15′ 26″'''
| <math> \sin \, \alpha = \frac{1}{5} \sqrt{\frac{90 + 38\sqrt{5}}{7}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Winkel  ≈ 58° 39′ 10″'''
| <math> \sin \, \beta = \sqrt{\frac{30 - 2\sqrt{5}}{35}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3. Winkel  ≈ 32° 5′ 24″'''
| <math> \sin \, \gamma = \frac{2}{5} \sqrt{4 - \sqrt{5}} </math>
|}
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Disdyakis triacontahedron|Disdyakistriakontaeder}}
* {{MathWorld|DisdyakisTriacontahedron|Disdyakistriakontaeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]

Hexakisikosaeder - Versionsgeschichte

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